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专题3 空间向量线性运算
（22-23高二下·江苏连云港·期中）
1．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；

(1)用向量，，表示向量；
(2)求线段的长度．
（22-23高二下·江苏泰州·期中）
2．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，．

(1)分别用，，来表示向量，；
(2)若，，两两垂直，求直线PM与BN所成角的余弦值．
（22-23高二上·江苏无锡·期中）
3．1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，
(1)若，，，求；
(2)试用向量，，表示．
（22-23高二·江苏泰州·期末）
4．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且．
试用向量，，表示向量；
若，，，，求的值．
（23-24高二下·江苏扬州·期中）
5．已知空间三点、、.
(1)若向量与平行，且，求的坐标；
(2)求以、为邻边的平行四边形的面积．
（22-23高二下·江苏泰州·阶段练习）
6．已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
（22-23高二下·江苏连云港·期中）
7．如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．

(1)判断，，，四点是否共面，并说明理由；
(2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
（23-24高二下·江苏南京·期中）
8．如图，四面体中，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
（22-23高二下·江苏扬州·期中）
9．如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
（22-23高二下·江苏泰州·期中）
10．如图：已知四棱柱的底面ABCD是菱形，=，且.
（1）试用表示，并求；
（2）求证：；
（3）试判断直线与平面是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．
（22-23高三上·江苏泰州·期末）
11．在三棱锥中，平面平面，为正三角形， ，，
（1）求与所成角的余弦值；
（2）在平面中求一点，使得平面．
（22-23高三上·江苏南京·期末）
12．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，.
(1)求四面体ACB1D1体积的最大值；
(2)若二面角B-AC-D1的正弦值为，求ABCD-A1B1C1D1的体积.
（23-24高二上·江苏南通·期末）
13．如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
（23-24高二上·江苏盐城·期末）
14．在直三棱柱中，，，.
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)设点平面,⊥平面，求线段的长度.
（23-24高三上·江苏常州·期中）
15．已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
（22-23高二上·江苏苏州·期末）
16．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理利用向量的加减法法则求解即可，
（2）先根据题意可得，，，然后对平方化简可求得结果.
【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，，
所以
；
（2）因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
2．(1)，
(2)
【分析】（1）利用空间向量的加法和数乘计算即可；
（2）利用空间向量数量积的公式计算即可.
【详解】（1），
（2）

因为，，两两垂直，所以，
又因为，同理，
所以，
记直线PM与BN所成角为，则有，
所以直线PM与BN所成角的余弦值为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用向量，，的线性关系表达出来.
【详解】（1）由题意得：，因为，，，所以
（2）因为是四面体的棱的中点，所以，因为，所以，又因为，所以
4．（1）；（2）.
【分析】又，由此即可求出结果；
（2）利用，和数量及的定义，代入得结果．
【详解】解：又
由问知
．
【点睛】本题考查空间向量的基本定理，和空间向量的数量积的运算公式及空间向量基本定理的应用．
5．(1)或.
(2).
【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标；
（2）利用空间向量的数量积公式求出的值，然后利用三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积
【详解】（1）由已知可得，
因为向量与平行，设，其中，
则，解得.
所以，或.
（2）由题可得：，，
所以，因为，则，
所以，以、为邻边的平行四边形的面积为.
6．(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
（3）利用共线向量定理可求参数的值.
【详解】（1），，
故.
（2）由（1）可得
，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
（3）由（1）可得不共线，故，均不为零向量，
若向量，平行，则存在非零常数，使得，
整理得到：，
因为不共线，故，故或，
故.
7．(1)，，，四点共面，理由见解析
(2)为中点
【分析】（1）取的中点，取的中点，连接，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四点共面；
（2）设，得到，根据平面，列出方程，求得，即可求解.
【详解】（1）答案：四点共面.
证明：取的中点，连接，，取的中点，连接，
则在等边三角形中，，
又因为平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
设，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，
因为为公共点，所以，，，四点共面.
（2）解：设，故，
若平面，则，即，解得，
所以为中点时，平面．

8．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案；②由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为，则，
所以，所以，所以，
又因为所以，
则，又因为，
所以，又因为，
平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设，因为，
所以由可得：，
所以，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为直线与平面所成角为30°，
所以
则，化简可得：，
解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，
因为，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为，
此时分别为，的中点，所以，
设，设，
因为，
所以，所以，
因为在平面上，所以设，
所以，
所以，解得：，
所以，所以.

【点睛】关键点睛：本题第二问②的关键点在于且在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，再求解即可.
（2）根据，再平方求解即可.
【详解】（1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：

因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
10．（1）；（2）证明见解析；（3）平面.
【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，通过计算得出；
（2）通过计算，可得；
（3）通过计算数量积证明，从而可得直线平面.
【详解】解：（1），
，
；
（2） =，
，
；
（3） =，
，，同理可证，
平面，平面，，
.
11．（1）；（2）
【分析】（1）取的中点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算，即可求解与所成角的余弦值.
（2）设，则，根据，列出方程求得的值，从而得到的坐标.
【详解】（1）如图所示，取的中点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值
（2）由（1）可得，，
设，
故，
因为平面，且平面，
所以，则 ，解得，
所以，所以.
12．(1)；
(2)2.
【分析】（1）根据数量积和余弦定理得到，即，然后根据得到，最后利用不等式求四面体体积的最大值即可；
（2）根据二面角的定义得到为二面角的平面角，然后根据二面角的正弦值为列方程得到，，最后求体积即可.
【详解】（1）
设，，，
且，
由余弦定理得：，则，
又，所以，
且，当且仅当时等号成立，
即四面体体积的最大值为；
（2）
过点作的垂线，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，且，
又，平面，
所以平面，且平面，
所以，即为二面角的平面角，
记二面角的平面角为，
则二面角的平面角为，
所以，
则，且，所以，
且，
所以的体积为2.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可证得结论成立；
（2）计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：在正四棱柱中，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，则、、、，
所以，.
因为，所以，即.
（2）解：由，得，设平面的法向量，
则，令，得，，即.
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，求得,结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设点的坐标为，得到，求得平面的一个法向量为，得到，求得的值，结合向量的模的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由直三棱柱，可得平面，
因为平面，所以,
又因为，以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由，可得，
所以,
设异面直线与所成角为，
可得，
所以直线与所成角的余弦值为.
（2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，
因为点点平面,设点的坐标为，可得，
又由，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
要使得⊥平面，则满足，即，
解得，所以，
则，
即线段的长度为.
【点睛】
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）作辅助线，先证明四边形为平行四边形，得线线平行，再由线面平行判定定理可证；
（2）以为一组基底，先利用基底表达向量，再向量平方利用数量积求模，求得，由勾股定理计算可证垂直；
（3）先证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角余弦值，即可根据题意建立等量关系求参数.
【详解】（1）过分别作交于点交于点，
，
且，
，
∴四边形为平行四边形，，
平面．平面．
平面．
（2），
，
，，．
（3）取中点，连接
为等边三角形且，则．
在中，，
由，
在中，为中点，，，
.
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系．

．
即，
，设，
则，即，
故，
又，同理可得，
，
设平面的一个法向量，
而平面的一个法向量，
设二面角的的平面角为，则，
则，
化简得，
解得或.
16．(1)证明见解析；
(2)；
(3)的最大值为.
【分析】（1）法一：设，连结，，先证为平行四边形，得到，再由线面平行的判定证结论；法二：证面，构建空间直角坐标系，应用向量法证线面平行；
（2）应用向量法求二面角的大小即可；
（3）设，其中，进而得到，再结合向量垂直的坐标表示列方程得，最后求t的最大值．
【详解】（1）法一：设，连结，，
矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面；
法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，，，
从而，，，，
设面的法向量为，则由，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
则，又平面，所以，从而面.
（2）若，则，，面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，因为为锐角，所以，
所以二面角的大小为.
（3）因为点在线段上，而，
设，其中，则，从而，
于是，而，
由知，即，
所以，解得，故的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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