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专题4 空间向量的应用
（22-23高二下·江苏·期中）
1．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
（23-24高二上·江苏无锡·期中）
2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题：

(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
(3)求点到平面的距离.
（22-23高二下·江苏镇江·期末）
3．如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点．
(1)求证：PN∥面ACC1A1；
(2)求平面PMN与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
（23-24高三上·江苏扬州·期末）
4．如图，在四棱锥中，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，平面平面分别为的中点，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
（23-24高二下·江苏南京·期中）
5．如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求：
(1)与平面所成角的正弦值；
(2)点到平面的距离．
（23-24高三上·江苏苏州·期中）
6．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
(2)若点Q满足，当直线CQ与DP所成角最小时，求的值．
（23-24高三上·江苏常州·期末）
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，是的中点，是线段上一点，且平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面所成的二面角的正弦值．
（23-24高二上·江苏无锡·期中）
8．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.
(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.
（23-24高二上·江苏无锡·期中）
9．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点.
(1)求证：点，，，共面；
(2)求点到的距离.
（23-24高二上·江苏盐城·期末）
10．在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点．
(1)求到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
（23-24高二上·江苏南通·期中）
11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上．
(1)当是中点时，求点到平面的距离；
(2)当二面角的正弦值为时，求的值．
（22-23高二下·江苏扬州·期中）
12．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
（23-24高三上·江苏镇江·期中）
13．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．
(1)记平面交于点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（22-23高二下·江苏连云港·期中）
14．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

(1)求二面角的正弦值；
(2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（22-23高二下·江苏连云港·期中）
15．如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC．
(1)若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小；
(2)线段PC上一动点G满足，判断是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（22-23高二下·江苏苏州·期末）
16．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一点，使得平面？
(2)求二面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面；
（2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面.
【详解】（1）根据题意可知平面平面，
平面平面，
又是正方形，所以，平面，

所以平面，从而可得，，两两垂直；
以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
又为的中点，所以，
则，
所以，故共面．
又平面，所以平面；
（2）
易知，所以；
又，可得；
又，平面，
所以平面.
2．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）结论，利用线面角的向量求法求解即得.
（3）由（1）结论，利用点到平面距离的向量求法求解即得.
【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由，为的中点，为的中点，
得，
即，
设平面的法向量为，
则，取，得，
则，平面，所以直线平面.
（2）由（1）知，，且平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的余弦值为
（3）由（1）知，，且平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）可以利用空间向量证明：因为向量为平面的一个法向量，证明即可；也可以利用面面平行的性质：先证平面，平面，可得平面平面，进而可得结论；（2）利用空间向量，根据面面夹角的定义结合空间向量得，运算求解．
【详解】（1）解法一：
以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
取向量为平面的一个法向量，，
∴，
∴．
又∵平面，
∴平面．
解法二：
∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
（2）以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
∴，，
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，，则，
∴，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为．
4．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）法一：连结，由题设及线面垂直的判定和性质得，应用勾股定理得，最后利用线面垂直的判定和性质证结论；法二：构建空间直角坐标系，向量法证明线线垂直；
（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求二面角余弦值.
【详解】（1）方法一：连结.
因为为等边三角形，是的中点，所以.
又面面，面面面，所以面.
因为面，所以.
在Rt中，所以，
在中，所以，即，则.
又，所以，
又面，
所以面，又面，所以，
方法二：连结因为为等边三角形，是的中点，所以.
又面面，面面面，所以面.
如图，在平面内作，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

设，则.
因为，所以①，
因为，所以②，
由①②，解得：（舍负）.
所以，
因为为的中点，所以，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，平面，又平面，
所以，又，
以为原点，所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.
因为为的中点，所以，
由（1）知，又，面，所以面，
所以为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
因为，所以
取，则，则为平面的一个法向量.
所以，
由图知二面角的平面角为钝角，余弦值为.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解决即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）由题意可知两两垂直，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为；
（2），
设平面的法向量为，
则有，可取，
则点到平面的距离为．
6．(1)
(2)
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，再根据两平面的法向量求所成角的余弦值即可；
（2）结合（1）中的空间直角坐标系，先求出，再利用直线与直线所成角的向量求法求得，平方后再根据配方即可求得其最大值，进而即可求出的值．
【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，，，
由平面，且平面，则，
又，则，
又平面，则平面，
所以是平面的一个法向量，且，
因为，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2）结合（1）中的空间直角坐标系，
因为，所以，
又，则，
又，
则，
设，，则，，
则，
当且仅当，即时，取到最大值，
又因为在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角最小．
综上所述，的值为．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作，证得，再由平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）以为坐标原点，分别求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：过点作交于点，连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以，所以，
又因为平面，且平面，平面平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
所以分别为的中点，
因为，所以，
又因为，为的中点，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由，
在中，由余弦定理得，
所以，设轴与交于点，则，
可得，
又由（1）知，点为的中点，可得，
则，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，可得；
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，可得，
设平面与平面所成的角为，
可得，所以.
.
8．(1)
(2)点为的中点
【分析】（1）由题设条件建系，表示出相关点，分别计算坐标和平面的法向量坐标，利用线面所成角的空间向量计算公式即得；
（2）在原有坐标系中，设出参数表示出点的坐标，分别计算平面与平面的法向量，利用面面所成角的空间向量计算公式列出方程解之即得.
【详解】（1）
如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则
于是，,设平面的法向量为，
则
故可取.设直线与平面所成角为，
则
即直线与平面所成角的正弦值是.
（2）
如图，设，，则，因，故，解得：，
则,设平面的法向量为，
则故可取.
又,设平面的法向量为，
则故可取.
设平面与平面的夹角为，则，
解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
9．(1)参见解析
(2)
【分析】（1）可以先说明两个向量共线，从而说明共面；
（2）先利用关系求得，再利用勾股定理求点到直线距离.
【详解】（1）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
由已知可得：，
所以，所以，即向量共线，
所以点共面.
（2）由（1）可得：，
设向量的夹角为，则，
所以，又
所以点到直线的距离.
【点睛】本题考查空间向量在空间几何中的应用，最为关键的是建立合理的空间直角坐标系，找出相关点的坐标，求出相关向量，通过向量运算的结果说明几何元素的位置关系或大小.
10．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系后由点到面距离公式计算即可得；
（2）借助空间向量计算即可得.
【详解】（1）由平面，且、平面，
故、，又底面为正方形，
故，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、,
则，，，
设平面的法向量为，
则有，即，令，则有、，
故可为，
则到平面的距离；
（2）、，则，
则有，
故直线与平面所成角的正弦值为.
11．(1)
(2)
【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解；
（2）设，求平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，．
在平面内作，又，所以两两垂直，
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，N是中点，
则，，，，，，
，，．
设平面的法向量，
则即取．
所以点N到平面的距离．
（2）因为M是的中点，所以，设，
则，，．
设平面的法向量，
则即取．
设平面的法向量，
则即取．
设二面角的大小为，则．
设，因为二面角的正弦值为，
所以，解得，此时，
所以．
12．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则，
由题意可知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为，分别为，中点，则，可得，
且，，平面，所以平面.
（2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，
由平面，平面，可得，，
又因为为等边三角形，为中点，所以，
则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
（3）因为，
设，，则，
可得，，，即，
可得，
由（2）知：平面的一个法向量
设平面的法向量，则，
令，则，，可得；
则，
令，则，
可得，
因为，则，可得，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为
13．(1)证明见解析
(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，理由见解析
【分析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接、、，推导出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：连接、、，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为四边形是边长为的菱形，则，
又因为，则为等边三角形，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，
，
则，
取，则，，所以，，
由题意可得，
整理可得，即，因为，解得，
故当点为线段上靠近点的三等分点时，二面角的正弦值为.
14．(1)
(2)存在，.
【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而的值．
【详解】（1）解：由底面为直角梯形，其中，，且，
所以，又由平面，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则平面的法向量，且，
可得，
设平面的法向量，则，
取，可得，所以，
设二面角夹角为，则，则，所以二面角的正弦值为.
（2）解：设线段上存在，使得它到平面的距离为，
由，可得到平面的距离，
解得或(舍去)，所以，则．

15．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）根据题设可得两两互相垂直，构建空间直角坐标系求直线DE与PB的方向向量并求其数量积，即可确定异面直线的夹角.
（2）由（1）得，进而求得，再求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知二面角正弦值列方程求参数，即可判断存在性.
【详解】（1）因为，分别为，的中点，则，
因为，则，即．
又，，平面，
所以平面，又，
综上，两两互相垂直．
以为坐标原点，向量为正交基底建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
则，，．
所以，故，
所以异面直线与所成的角大小为.
（2）假设存在使二面角的正弦值为，即二面角的余弦值为
由，．
所以，，．
易知：平面的一个法向量为
设平面的法向量，则，令，则，
综上，有，即，
解得，．又，故．
故存在，使二面角的正弦值为．
16．(1)为的中点时，平面，证明见解析；
(2)二面角的余弦值为.
【分析】（1）取的中点为， 证明，利用线面平行判定定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求二面角的余弦值.
【详解】（1）当点为的中点时，平面，证明如下：
由已知，
所以四边形为矩形，
所以，，
已知，点为的中点，则，
又，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以在上存在一点，使得平面；
’
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又，
以点为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，，
所以，故，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，
所以，故，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，
则，观察图象可得，
所以.
所以二面角的余弦值为.

答案第1页，共2页
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