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压轴小题7 抛物线的综合问题
【2024江苏省如皋中学模拟T12】.已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为
B.的最小值为
C.点在抛物线上，且满足，则
D.过作两条直线分别交拋物线（异于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为
由抛物线的定义及焦半径公式计算可判定A、B选项，构造相似三角形结合抛物线性质先求得直线方程，再联立抛物线求弦长可判定C选项，设表示方程，利用点到直线的距离、同解方程计算即可判定D选项.
对于A：设，则，
当且仅当时取等号，故，
故，故的方程为，故A正确；
对于B：由的方程为可得：.
设.由抛物线定义可得：.
而，
所以.
当时，；
当时，
（当且仅当，即时等号成立.）
所以的最小值为.故B错误；
对于C：不妨设的斜率为正，如图示：分别过作垂直准线于，过作于.
由抛物线定义可得：.
因为，不妨设，则
所以在直角三角形中，.
由勾股定理得：
.
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
与抛物线联立，消去得：，
即.
由焦点弦的弦长公式可得：.故C正确；
对于D：设，
则直线.
于是，整理得：.
又，
故有，即，
故满足方程.
同理可得：也满足方程，
所以直线的方程为.故D正确.
（23-24高三上·浙江宁波·期末）
1．已知O为坐标原点，F为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为的直线交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段的中点P作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点N，则下列说法正确的是（ ）
A．C的准线方程为 B．
C．三角形的面积 D．
利用抛物线定义及直线与抛物线的位置关系可判定B，根据焦半径的角度表示可判定C，由点到距离均为构造圆，结合直线与圆的位置关系可分别求得方程，联立可求得MN坐标从而判定D选项.
对于B：从点向准线作垂线，垂足为，则，
显然，当与抛物线相切时最小.
由得，
由解得，所以，故错误；
对于C：由圆锥曲线统一的焦半径公式得：
，
，
.
对于D：以为圆心，为半径作圆：，
从点作此圆的切线，设切线方程为，即，
由圆心到切线的距离等于半径得，
所以两切线（看成一个完整的图形）的方程为：
，与抛物线联立，得
，
解得（舍去），或，所以
所以直线的方程为.故正确.
（2023·山东枣庄·二模）
2．已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为 ．
（23-24高三上·福建福州·期末）
3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到点的距离为4，过点的直线l交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交y轴于，两点，设线段的中点为，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．若，则直线l的斜率为 D．有最大值
【题后总结】
感悟反思：对于：由焦半径公式求出，即可求出抛物线的方程；对于：设，用点的坐标表示出，利用基本不等式求出的最小值为；对于：利用几何法求出直线的斜率，得到直线的方程，与抛物线联立后，利用“设而不求法”求出；对于：设，证明出满足方程，即可判断.
总评
本题是一道抛物线小题，此类问题往往需要运用简单的平面几何性质进行解题。解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.
（2023秋 哈尔滨期末）
4．经过抛物线：（）的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，（），的最小值是4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若点是线段的中点，则直线的方程为
D．若，则直线的倾斜角为60°
（2023秋·盐城期末）
5．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．点 B．轴 C． D．
（23-24高三上·安徽亳州·期末）
6．已知抛物线的焦点到点的距离为，直线经过点，且与交于点（位于第一象限），为抛物线上之间的一点，为点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的斜率为1，则当到的距离最大时，（为坐标原点）为直角三角形
C．若，则的斜率为3
D．若不重合，则直线经过定点
（23-24高三下·河南·开学考试）
7．已知是抛物线上的动点，点，，为坐标原点，点到的准线的距离最小值为1，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的取值范围是
D．
（2024·山西运城·一模）
8．抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（ ）
A．若，则直线的斜率为或
B．若，则
C．若和不平行，则
D．若，则的最大值为
（23-24高三上·浙江金华·期末）
9．已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．则的面积最小值为 D．则的面积大于
（2023·山东济宁·三模）
10．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．的坐标为 B．
C．、、、四点共圆 D．直线的方程为
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BD
【分析】A选项，直接求出准线方程即可；B选项，求出的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，得到，进而求出，，故，从而推出；C选项，求出点到直线的距离，求出三角形的面积；D选项，求出，由焦半径公式得到，得到.
【详解】A选项，准线方程为，A错误；
B选项，焦点坐标为，故直线，即，
联立得，，
设，则，
所以，即，所以，
又，所以，
所以，故，
因为，所以，
所以，B正确；
C选项，点到直线的距离为，
故三角形的面积为，C错误；
D选项，由B选项可得，
则由焦半径公式可知，
故，D正确.
故选：BD
【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.
2．
【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答.
【详解】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，
显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，
于是，解得，设点，
不妨令直线的斜率分别为，于是，，
同理，直线的斜率，而点，
直线BC的方程为，即.
故答案为：
【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.
3．BD
【分析】由题意计算可得，即可得抛物线解析式，设、，，联立曲线则可得与两交点有关韦达定理，借助中点公式与距离公式可得以线段AB为直径的圆的方程，令即可得、两点坐标，计算即可得A，计算的范围即可得的范围即可得B，由可计算出，两点具体坐标，即可得C，由，借助两角和的正切公式及所得韦达定理计算即可得D.
【详解】由在抛物线上，故有，焦点，又，
故有，
化简得，又，故，即，
设、，，
联立，可得，，
则，，
则，
，故，
，则，
故以线段AB为直径的圆的方程为，
令，有，
故，
由圆的对称性，不妨设，，
则，
则不恒等于，故A错误；
过点作轴于点，
则
，
令，则，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故，故，
则，故B正确；
若，则有，即，
由，故，解得，则，
则，，故，故C错误；
，
由，，
故
，
则当时，有最大值，且其最大值为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
4．BCD
【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据的最小值求得，由此逐项分析即可.
【详解】由题焦点，直线的斜率存在且不为零，
可设直线的方程为，
联立，得，
所以，
则，
则，
当时，等号成立，
所以，抛物线方程为，
所以，
则，故A错误；
又,
所以，
，
所以，故B正确；
若点是线段的中点，
则即，
所以直线的方程为，C正确；
若，则，
即，
所以，
又，所以，
化为，
解得，或（舍），
又，故，
所以,
所以直线的斜率为，
直线的倾斜角为60°，故D正确，
故选：BCD.
5．BCD
【分析】设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理结合导数逐项计算后可得正确的选项.
【详解】由消y可得
令，
，
，
解得，，A错．
，∴轴，B对．
，∴，D对．
，∴，C对，
故选：BCD．
6．ABD
【分析】利用两点距离公式求得，从而判断A；利用导数的几何意义求得的坐标，从而判断B；利用抛物线的定义求得，从而判断C，联立直线与抛物线方程，利用表示直线，从而判断D.
【详解】对于A，因为抛物线的焦点的坐标为，
由已知得，解得，故A正确；
对于B，当到的距离最大时，以为切点的的切线斜率也为1，
因为，所以只需考虑，
则，令，得，则，则此时，
又的坐标为，所以轴，所以为直角三角形，故B正确；
对于C，如图，设的准线为，过点分别作，过点作，
当时，设，
所以，所以，即的斜率为，故C错误；
对于D，设，则，
设的方程为，代入，得0，
易得，所以，
直线的方程为，
则
，
所以经过定点，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
7．ACD
【分析】对A，由点到的准线的距离最小值为1可得；对B，根据抛物线方程设点，计算得到关于的函数，通过求导得到该函数的最小值即得的最小值；对C，当时，可得，当时，结合图形表示出与，分两类情况分别将表示成的函数形式，根据的范围分别求出的范围即得；对D，根据C中所得，有，而，易得：，又，即得.
【详解】由点到的准线的距离最小值为1，故的准线为，故，即，故A正确；
设，则，
设，，
因为，令得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，
故的最小值为，的最小值为，故B错误；
当时，，
当时，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别是，
因为，，由题可知，，
，
当时，，
则，
该式是关于的减函数，所以；
当时，，
则，
该式是关于的增函数，所以；
综上，的取值范围是，故C正确；
由，且，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决距离、角的范围问题时的关键是将几何问题代数化处理，即通过解析式设点坐标计算距离表达式，再求解函数的最值得到，将所求角的三角函数式用关于某自变量的解析式表示，再根据自变量范围求出解析式函数的值域即得.
8．ABD
【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式可判断D选项.
【详解】易知抛物线的焦点为，
对于A选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
因为，则在直线上，设直线的方程为，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
因为，即，可得，即，
所以，，可得，，解得，
此时，直线的斜率为，A对；
对于B选项，当时，则在直线上，，
则，B对；
对于C选项，当和不平行时，则、、三点不共线，
所以，，C错；
对于D选项，设，，
当时，，
由C选项可得，
所以，
，
即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
9．ABD
【分析】对A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，由相似比可得解；对B，易证，可得为等边三角形，得解；对C，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出，表示出利用三角函数求出最小值，对D，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出可证，得解.
【详解】对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又，，则，所以，
故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，
，即，又，则为等边三角形，
所以，且，，故B正确；

对于C，分两种情况：
当点都在第一象限，如图1所示，设，，
由焦半径公式可得，，，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，
所以，
同理令，且，
，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，
则，所以，即，，
当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，
综上，的面积大于，故D正确.
故选：ABD.

【点睛】关键点睛：对于C,D选项，关键是利用抛物线焦半径公式求出，从而易求出三角形面积.
10．BCD
【分析】根据抛物线的方程求出点的坐标，可判断A选项；根据抛物线的定义以及数形结合求出直线的方程，可判断D选项；利用斜率关系判断出，可判断C选项；求出、，可判断B选项.
【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，A错；
对于D选项，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示，

设，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，
则，
设直线的倾斜角为，则为锐角，且，则，
此时，直线的方程为，
当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，D对；
对于B选项，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，
设点、，联立，可得，
，由韦达定理可得，，
设点，则，故点，
所以，直线的斜率为，
而直线的斜率为，所以，，故，
又因为，故、、、四点共圆，
同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆，
综上所述，故、、、四点共圆，C对；
对于B选项，，
，B对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
答案第1页，共2页
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