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压轴小题8 利用导数研究双变量的取值范围问题
【广东省茂名市2024届高三下学期第二次综合测试数学试题T11】
已知，其中，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.

构造函数，研究其单调性得，转化为极值点偏移问题，构造差函数判定其单调性计算即可.
令，则，
故当时，，单调递增，当时，单调递减，
∵，，
∴，
又，不妨设，
记，设，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，，
则，
又因为，且在上单调递减，所以，
则，所以，
故选:CD
（22-23高二下·四川成都·期中）
1．已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．个 B．个 C．个 D．个
（2023·四川泸州·二模）
2．已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
构造函数，研究其单调性得，转化为极值点偏移问题，令，通过比值换元化.角度一、构造函数，通过导数研究单调性求其范围即可；角度二、构造，通过导数研究单调性结合洛必达法则计算即可.
令，则，故当时，，单调递增，当时，单调递减，∵，，∴，又，不妨设，
令；两式相减，可得，则，∴；
角度一、令，则，
因为在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以，故CD
角度二、令，则，
记，则，在上恒成立，
∴在上单调递增，∴，所以在上恒成立，∴在上单调递增，又由洛必达法则可知，
∴，∴，故选CD
3．已知且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
构造函数，研究其单调性得，转化为极值点偏移问题，利用对数均值不等式直接计算即可.
令，则，故当时，，单调递增，当时，单调递减，∵，，∴，又，不妨设，
∵，两式相减得，由对数均值不等式，可得，下列对数均值不等式右半部分：（左半部分可自行证明），
证明：不妨设，则上述不等式可化为，
即，记，则不等式可化为时，，令，则，所以在上单调递减，则，所以时，，所以，故选CD.
5．已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
（23-24高三上·山东淄博·期末）
6．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数与函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为
C．若方程有两个不同的实根，则
D．当时，若，则成立
（2022·四川成都·一模）
7．已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
（20-21高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
8．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是的极小值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
（2016·四川南充·一模）
9．设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
（22-23高二下·浙江台州·期末）
10．已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则
B．当时，的零点只有个
C．若函数有两个不同的零点，则
D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是
（22-23高三上·河南·阶段练习）
12．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是 .
①；
②；
③；
④.
（2022·吉林·三模）
13．已知函数的极大值点为0，则实数m的值为 ；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
（2024·辽宁·模拟预测）
14．已知函数．
(1)当时，判断在区间内的单调性；
(2)若有三个零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
（2024高三·全国·专题练习）
15．已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.
（2023高三·全国·专题练习）
16．已知函数.若有两个零点，证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由可得，设，其中，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分析出、，利用不等式的基本性质可判断④.
【详解】由可得，令，其中，
则直线与函数的图象有两个交点，，
由可得，即函数的单调递增区间为，
由可得，即函数的单调递减区间为，
且当时，，当时，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对；
对于②，由图可知，，
因为，由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，
所以，，则，
令，其中，
则，则函数在上单调递减，
所以，，即，即，
又，可得，
因为函数的单调递减区间为，则，即，②错；
对于③，由，两式相加整理可得，
所以，，可得，③对；
对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对.
故选；C.
【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
2．C
【分析】先利用同构法与构造函数，将题设条件转化为，再利用导数研究函数的图象与性质，结合图像即可排除AD，利用特殊值计算即可排除B，再利用极值点偏移的解决方法即可判断C.
【详解】因为，，
所以，则，即，
令，则，，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增,
所以，
对于，总有，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
所以对于，对于任意，在上取，
则，
所以当且趋向于0时，趋向于无穷大，
当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大，
所以的大致图像如图所示：
.
对于AD，因为，，不妨设，
由图象可知，，故，故AD错误；
对于B，假设成立，取，
则，显然不满足，故B错误；
对于C，令，又，
则，
所以在上单调递增，
又，则，即，
又，则，
因为，所以，又，在上单调递增，
所以，即，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用同构法转化等式，从而构造函数，并研究其图像的性质，由此判断得解.
3．AD
【分析】不妨设，，则，利用导数可证，利用极值点偏移可证.
【详解】不妨设，，
因为，故，
由可得，故，所以，，
又.
设，则，
故在为增函数，故即，
故即，故C错误，D正确.
函数的导函数为，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，且.
考虑函数，
则，
而，故，故，
所以在上为减函数，故，
所以，所以即，
而，故即，故A正确，B错误.
故选：AD.
4．ACD
【分析】根据函数有两个极值点，得到导函数有两个变号零点，从而可求参数的取值范围，即可判断A选项；
假设满足条件的切线存在，利用导数的几何意义求出切线的科率，得到的值，结合A项结果推出矛盾，可得B不正确；
由，利用整体替换思想得到，最后根据的范围和二次函数的性质得到，可得C正确；
由，利用整体替换思想可知若D正确，则只需，令，构造函数，利用导数可求得的单调性和最值，由此可证得结论，从而判断D选项．
【详解】对于A，，令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
有两个极值点，有两个变号零点，，
即，，A正确；
对于B，曲线在点处的切线斜率，
若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，B错误；
对于C，由题意知：，即，
则，由A知：，
由二次函数性质知：，C正确；
对于D，由题意知：，即，又，
，即；
要证，只需证，即证，
即证，
设，则只需证，
令，则，
在上单调递增，，，
则，D正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：对于D项，求解这类极值点偏移问题的关键：一是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，再巧妙地把两个极值点通过消参向求证的结论逐渐靠近；二是消“变”，即减少变量的个数，只有把不等式转化为只含有一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题进行求解．
5．ACD
【分析】分析可知直线与曲线的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；证明对数平均不等式，其中，且、均为正数，利用对数平均不等式可判断BCD选项.
【详解】由可得，令，其中，
所以，直线与曲线的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
减 极小值 增
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式，其中，且、均为正数.
先证明，其中，
即证，
令，，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
接下来证明：，其中，即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，所以，，
因为，故，，B错，CD都对.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
6．ACD
【分析】对于A，根据题目直接对两个函数求导判断极值即可；对于B，根据函数单调性和最值判断函数变化趋势，进而求出参数范围；对于C，利用对数均值不等式直接判断即可；对于D，利用同构方法进行转化即可.
【详解】对于A，定义域，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
定义域，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，故A正确；
对于B，若方程有唯一实根，
由于当时，，且，
结合已求的单调性和最值可知，或，故B错误；
对于C，因为方程有两个不同的实根，假设，则，
则，即，两式相减得，
即，由对数均值不等式，
则，即得证，故C正确；
对于D，当时，若，则，
即，显然，则，
则成立，故D正确.
故选：ACD
下面补证C选项对数均值不等式：
要证，即证，
设，即证，即证，
令，，
则在单调递增，当时，得证.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
7．B
【分析】令，利用导数讨论其单调性后可判断①②④正负，利用极值点偏移可判断③的正误.
【详解】令，则，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
而，，故，
而，故，故①错误.
又，故，
故②正确， 此时，故④正确.
设，
则（不恒为零），
故在上为增函数，
故，必有即，
所以，即，
由的单调性可得即，故③成立.
故选：B.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等关系的讨论，注意根据等式或不等式的关系构建新函数，并结合单调性来比较大小关系，在不等式关系的讨论中，注意利用极值点偏移来处理大小关系.
8．C
【分析】对于A，分析导函数可作判断；对于B，考查函数的单调性可作判断；对于C，分离参数，再分析函数最值情况而作出判断；对于D，构造函数讨论其单调性，确定即可判断作答.
【详解】对于A选项：定义域为，，
时,时，
是的极小值点，A正确；
对于B选项：令，
在上递减，，
有唯一零点，B正确；
对于C选项：令，
令，时,时,，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增，
因正实数，，且，，则，
时，令，
，
即在上递减，
于是有，从而有，
又 ，所以，即成立，D正确.
故选：C.
9．D
【分析】①由blna﹣alnb＝a﹣b得，构造函数h(x)，x＞0，判断a，b的取值范围即可．②令，通过导函数可得单增，得到，即，所以，对于同理可得.③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可．
【详解】对①，因为，
设，则有，
又由，，
所以在单调递增，在单调递减，
或，
所以，①正确；
对②，令，
则，所以，
即当时，
对于，则有，
即，而在上单调增减，
所以，对于同理可得，因此②正确；
对③，令，则，
则由得＞0，得，得，此时g(x)为增函数，
由得＜0，得，得，此时g(x)为减函数，
再令，
则，
则，在上为增函数，
则，
则，
即g()＜g(2)，
∵g()lnlna，
∴g()＝g()，则g()＝g()＜g(2)，
∵g(x)在上为增函数，∴2，
即2，故③正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的证明，利用构造法，结合函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
10．ACD
【分析】同构函数可判断A，B；由对数均值不等式可判断C，D.
【详解】由，得，所以，，
当时，，即，
令，则，
所以在上单调递增，
由得，
所以，即，故A正确；
当时，，即，
令，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
由得，
因为在上不单调，所以由不一定能得到，
即不一定成立，故B错误；
当时，由前面的分析可知，此时，，
令，，则有，不妨设，
得，
下面证明，当时，不等式成立.
先证右边，要证，只要证，
即证，令，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即成立，从而得证；
再证左边，要证，只要证，
即证，令，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即成立，从而得证.
由，，得，即，故C正确；
由，，得，
即，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：应熟练掌握证明极值点偏移问题的常用方法，如对称构造函数法、对数均值不等式、指数均值不等式等.
11．BC
【分析】采用分离变量法可得，利用导数可求得的单调性，进而得到最大值，从而得到，知A错误；根据恒成立可知单调递增，利用零点存在定理可说明存在唯一零点，知B正确；要得到，只需得到，可化简得到，从而将问题转化为证明，设，利用导数可说明，即可判断C正确；将恒成立的不等式变形为，根据单调递增可得，即，利用导数的知识即可判断D错误.
【详解】对于A，定义域为，由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，则，A错误；
对于B，定义域为，，
当时，，在上单调递增，
又，，
，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；
对于C，，，
；
要证，只需证，即证，
不妨令，则只需证，
令，则，
令，
则，
在上单调递增，，，
即恒成立，，C正确；
对于D，当时，由得：，
即，；
令，则，在上单调递增，
由得：，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题、零点个数问题和极值点偏移的问题；本题D选项中恒成立问题求解的关键是能够利用同构法，将恒成立的不等式转化为同一函数不同函数值的大小关系比较问题，进而通过构造函数，利用函数单调性得到自变量的大小关系，从而化简恒成立的不等式.
12．①②④
【分析】设，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断②的正误；分析可知，结合基本不等式可判断①的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断③④的正误.
【详解】设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，
作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；
因为，则，由图可知，则，
所以，，①对；
令，其中，由图可知，
，
当时，，则，此时函数单调递减，
所以，，即，
因为，，且函数在上单调递减，
所以，，则，故，③错④对.
故答案为：①②④.
【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
13． 1
【分析】求出函数的导函数，即可得到，从而求出，令，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数草图，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；
【详解】解：，则，则，解得，
此时，，当时，当时，
所以在上的单调递增，在上单调递减，则在处取极大值，符合题意；
令，则
构造函数，则．
因为，所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，又，
易知的图象如图所示：
不妨令，
令
∵
∴在上单调递增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上单调递减，∴
故答案为：1；
14．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；
（2）（i）原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可.
【详解】（1）当时，，，
令，，
令，可得，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）（i）有三个零点，即有三个根，
由不是该方程的根，故有三个根，且，
令，，
故当时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
，当时，，时，，
当时，，时，，
故时，有三个根；
（ii）由在上单调递增，，故，
由（i）可得，且，
即只需证，设，则，
则有，即有，故，，
则，即，
即只需证，
令，
则恒成立，
故在上单调递增，
则，即得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
15．(1)在上单调递增
(2)，证明见解析
【分析】（1）对求导，根据的符号得出的单调性；
（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可，
【详解】（1）时，，
故，
在上单调递增.
（2）关于的方程有两个不同实根,，
即有两不同实根，，得，
令，，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，得图象如图：.
，则，
即当时，有两个不同实根，，
两根满足，，
两式相加得：，两式相减地，
上述两式相除得，
不妨设，要证：，
只需证：,即证，
设，令，
则，
函数在上单调递增，且,
，即，
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
16．证明见解析
【分析】利用构造函数法，从而只需证明，即可求解.
【详解】由题意得，令，则，，
所以在上单调递增，故至多有解；
又因为有两个零点，所以，有两个解，
令，，易得在上递减，在上递增，所以.
此时，两式相除，可得：.
于是，欲证只需证明：，
下证：
因为，
不妨设，则只需证，
构造函数，则，
故在上单调递减，故，即得证，
综上所述：即证.
【点睛】关键点睛：本题通过构造对数不等式证明极值点偏移问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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