资源简介

专题16用锐角三角函数解决问题（5个知识点4种题型3个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1．坡度、坡角问题（重点）
知识点2．仰角、俯角问题（重点）
知识点3．方向角问题
知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）
知识点5．对实际测量问题的设计（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题
题型2．利用锐角三角函数解航线问题
题型3．利用锐角三角函数进行方案设计
题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题
【方法三】 仿真实战法
考法1．仰角、俯角问题
考法2．方向角问题
考法3．坡度问题
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1．了解坡角、坡度、仰角、俯角、方向角等概念，并能在具体问题中正确运用．
2．会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来．
3．能把实际问题转化为数学问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，增强应用数学的意识和解决问题的能力．
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1．坡度、坡角问题（重点）
1．如图，坡面的铅垂高度（）和水平宽度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即．
坡度通常写成的形式，如1︰1.5．
2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．
坡度与坡角之间的关系： ．
【例1】．（2023秋 盘州市期中）
1．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面如图所示．为台面，垂直于地面，表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角为，坡长为．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡的坡角，是改造后的斜坡（在直线上），坡角为．求斜坡底端与平台的距离．（结果精确到）【参考数据：；】
知识点2．仰角、俯角问题（重点）
1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线．
2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线．
3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【例2】．（2023秋 成都期中）
2．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长. （结果精确到，参考数据：）
知识点3．方向角问题
1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所
成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度．若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向．
2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位角的取值范围为．
【例3】．（2023秋 九龙坡区校级月考）
3．如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向．
(1)求的长度．（结果精确到个位）
(2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：）
知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）
【例4】．（2023 秦都区校级模拟）
4．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：）
知识点5．对实际测量问题的设计（难点）
【例5】．（2023秋 大东区期末）
5．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，
【方法二】实例探索法
题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题
（2023秋 长春期末）
6．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．求塔的高度．【参考数据：】．
（2023秋 闵行区月考）
7．小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度．如图所示，他先在建筑的底部A处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为．已知，，测角仪置于水平高度米的、处．求建筑的高度．

题型2．利用锐角三角函数解航线问题
（2023上·山东东营·九年级统考期中）
8．如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，）
（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）
9．嘉淇看到这样一道题目：
如图，某巡逻船在处测得一艘敌舰在北偏东的处，卫星测得相距海里，巡逻船静止不动，分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东的处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为海里/小时．（结果保留整数，参考数据：，，，）
嘉淇过点作于，设海里，请你帮她接着解决以下问题：
(1)______里（用含用的代数式表示）；
(2)求敌舰在处时与巡逻船的距离．
题型3．利用锐角三角函数进行方案设计
（2023 东台市一模）
10．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框
上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长；
(2)当点从点向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长.
（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）
图1 图2
（2023 洪泽区二模）
11．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形为矩形，点、分别在、上，，，，．求零件的截面面积．（参考数据：，）
（2023 滨湖区一模）
12．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东方向，B处在博物馆C的东南方向．（参考数据：，，，．）
(1)请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）
(2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）
（2023 苏州）
13．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题
（2023 建湖县三模）
14．水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧，弦为水平面，设弧所在圆的半径为，建立了数学模型，得到了多个方案．

(1)如图②，从点A处测得桥拱上点处的仰角为，，则= ．（用含的代数式表示）
(2)如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：，米，求半径（结果精确到）．（参考数据：）
(3)如图④，在弧上任取一点（不与重合），作于点D，若，，，求的值．
【方法三】 仿真实战法
考法1．仰角、俯角问题
（2023 南通）
15．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
（2023 淮安）
16．根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点 在同一条直线上．
参考数据
项目任务
（1） 求出古塔的高度．
（2） 求出古塔底面圆的半径．
（2023 泰州）
17．如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

考法2．方向角问题
（2022 南京）
18．如图，灯塔B位于港口A的北偏东方向，且A，B之间的距离为，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为．一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）
考法3．坡度问题
（2023 淄博）
19．如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．


科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）



（2023 深圳）
20．爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J
（2023 辽宁）
21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
（2023 大庆）
22．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

【方法四】 成果评定法
一、选择题（共5小题）
（2023 苏州一模）
23．如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
（2023秋 沛县校级月考）
24．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米．

A． B． C． D．
（2023秋 淮阴区期中）
25．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（2023 梁溪区校级二模）
26．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的处，花洒的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角，当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为（　　）

A．厘米 B．200厘米 C．厘米 D．170厘米
（2023秋 江阴市月考）
27．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、填空题（共5小题）
（2023秋 通州区校级月考）
28．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为 米．，结果精确到
（2023秋 靖江市期中）
29．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯的坡度，王老师乘扶梯从扶梯底端以米/秒的速度用时秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为 米．

（2023 靖江市模拟）
30．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为 ．
（2023秋 无锡月考）
31．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为，旋转1周需要（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动时，小明离地面的高度是 ．
（2023秋 海门市校级月考）
32．已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为 ．

三、解答题（共7小题）
（2023秋 通州区校级月考）
33．2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，
(1)求此滑雪运动员的小腿的长度；
(2)求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，）
（2023 灌云县校级模拟）
34．如图，建筑物的顶部有一个广告牌，从距离建筑物15米的D处测得广告牌的顶部A的仰角为，测得广告牌的底部B的仰角为，求广告牌的高度（结果保留一位小数）．参考数据：，，，．
（2022秋 高邮市期末）
35．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2），，，．

(1)若，求点、两点之间的距离；（参考数据：，）
(2)若，求、两点之间的距离．
（2023 阜宁县二模）
36．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点处，此时测得该建筑物底端的俯角为．已知建筑物的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：，，，，，）
（2023秋 泰兴市期中）
37．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l旁设一个菜鸟驿站点P，使驿站到公路同侧的A、B两个小区的距离相等．

(1)如图 1，当A小区到公路l的距离， B小区到公路l的距离且时，求驿站点P到A小区的距离；
(2)如图2，若A、B 两个小区到公路l的距离均为a，的长度为，求的度数；
(3)爱动脑的小明通过推理发现：当A小区到公路l的距离a与B小区到公路l的距离b之和等于的长度时，始终是直角． 请利用图3加以说明．
（2023秋 启东市期中）
38．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处
（2023 栖霞区校级三模）
39．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在中，求出的长，再在，由，即可求出的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．
【详解】解：在中，，
，
在中，，
∴，
∴斜坡底端与平台的距离约为．
2．21
【分析】过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，
由题意得：（米），（米），，
∴，
∵，
∴，
在中， （米），
在中，（米），
∴（米），
∴（米），
∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米．
3．(1)42（海里）；
(2)观测站搜救艇可以更快到达处．
【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可．
（2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题．
【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以，，的中，作．
∵
∴
∴在中，，
∴由锐角三角函数可得，
，
∴，
在中，
．
如图，过点作于点，由题意可得，
，
．
设，
则，
∴在中，
，
∴
∴
，
∴，
．
由勾股定理得，
∴（海里）．
（2）由（1）知，，
∴从观测站行驶距离：（海里）
时间：（小时）；
从观测站行驶距离（海里）
时间：（小时）
∵，
∴观测站的搜救艇可以更快到达处．
4．约为1.9米
【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，
则AC=AB sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），
BC=AB cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
则CD=≈8.30（米），
∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），
答：BD的长约为1.9米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．(1)车后盖最高点到地面的距离约为
(2)没有碰头的危险．理由见解析
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点于，根据正弦的定义求出，进而求出车后盖最高点到地面的距离；
（2）过点作于点，根据题意求出，根据余弦的定义求出，再求出点到地面的距离，比较大小证明结论．
【详解】（1）解：如图2，过点于，
在中，，，
，
，
点到地面的距离为：，
答：车后盖最高点到地面的距离约为；
（2）没有碰头的危险，
理由如下：如图2，过点作于点，
在中，，
则，
，
，
，
，
点到地面的距离为：，
，
没有碰头的危险．
6．塔的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角，根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质得，过点D作，垂足为F，设，根据题意得：则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
【详解】由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
在中，，
，
解得：
塔的高度约为．
7．
【分析】延长分别交的延长线于，于相交于H，设，则，然后在和中解直角三角形可得、，由可得，进而得到，据此列方程解得，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．
【详解】解：如图：延长分别交的延长线于，于相交于H，设,则,
在中，；
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
答：建筑的高度为．

8．渔船没有触礁的危险．
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论．
【详解】解：过点作，由题意，得：，，，
设，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴渔船没有触礁的危险．
9．(1)；
(2)敌舰在处时与巡逻船的距离为海里．
【分析】()在中运用，可求出，再根据线段的和差即可求解；
()运用勾股定理求出或，再根据勾股定理求出的长即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ，(海里)，
在中，海里，
∴，
∴，
∴海里，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，，
∵，
∴不合，舍去，
∴，
又，
即，
∴(负值舍去)，
∴(海里) ，
答：敌舰在处时与巡逻船的距离为海里．
10．（1）43.2cm. （2）62.8cm.
【详解】【分析】（1）如图，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的长，再根据AC=AB－2BH即可求得AC的长；
（2）由题意可知△OBC是等边三角形，由此即可求出弧OC的长，即点O在此过程中运动的路径长.
【详解】（1）如图，作OH⊥AB于H，
∵OC=OB=60，∴CH=BH，
在Rt△OBH中，
∵ cos∠OBC= ，
∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4，
∴AC=AB－2BH≈120－2×38.4=43.2，
∴AC的长约为43.2cm；
（2）∵AC=60，∴BC=60 ，
∵OC=OB=60，
∴OC=OB=BC=60 ，
∴△OBC是等边三角形，
∴的长==2 =62.8，
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.
11．截面的面积为．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得，的长，再解直角三角形求解，的长，进而可求解四边形，，的面积，根据截面的面积计算可求解．
【详解】解：四边形为矩形，，
∴，，
，
在中，，，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
，
截面的面积．
答：截面的面积为．
12．(1)博物馆C到B处的距离约为184米
(2)博物馆C周围至少225米内不能铺设轨道
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作于点，证明是等腰直角三角形，得到，设，则，再由锐角三角函数定义得，再由，问题可解；
（2）过点作于点，根据题意得，利用锐角三角函数的定义求出的长即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：博物馆到处的距离约为米；
（2）如图2，过点作于点，
由题意得：，，
∴，
由（1）可知，米，
在中，
答：博物馆周围至少米内不能铺设轨道．
13．点离地面的高度升高了，升高了．
【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
∴，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
14．(1)
(2)米
(3)
【分析】(1)设圆的圆心为点O，连接，根据圆周角定理判定是等边三角形，计算即可．
(2)设圆的圆心为点O，作圆的直径，连接,根据圆周角定理，正弦函数计算计算即可．
(3)设圆的圆心为点O，作圆的直径，连接,根据圆周角定理，正弦函数计算计算即可．
【详解】（1）如图，设圆的圆心为点O，连接，
∵，
∴，

∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
（2）如图，设圆的圆心为点O，作圆的直径，连接,
根据题意，得，，

∵，
∴，
∴（米）．
（3）如图，设圆的圆心为点O，作圆的直径，连接,
根据题意，得，，

∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，正弦函数，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，正弦函数是解题的关键．
15．B
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
16．（1）古塔的高度为；（2）古塔底面圆的半径为．
【分析】（1）延长交于点，则四边形是矩形，设，则，根据，解方程，即可求古塔的高度；
（2）根据，，即可求得古塔底面圆的半径．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，则四边形是矩形，
∴，

依题意，，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2），，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
17．堤坝高为8米，山高为20米．
【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了锐角三角函数的实际应用问题，延长交的延长线于E作辅助线是解决问题的关键，已知、距离，要求距离，只要解锐角三角形，求出、、距离即可求．
【详解】解：如图，延长交的延长线于E，
由题意得，，
，，
，，
，
，
，
，
答：D处距离港口A约有．
19．19.2米
【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，
则四边形为矩形，
∴米，．
∴．
∴．
中，，（米）．
∴（米）．
中，，
∴（米）．
∴（米）．
故答案为：19.2米．

【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函数求解线段是解题的关键．
20．B
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
21．(1)登山缆车上升的高度；
(2)从山底A处到达山顶处大约需要.
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
22．垂直高度约为米
【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，，可以求出长度，即可求出．
【详解】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，
，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算．
23．A
【详解】在Rt△ABC中，，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米．
故选A．
24．D
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据进行求解是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
故选C．
26．A
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是正确的作出辅助线构造直角三角形．过点作交于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再求出，，然后在中求出，在中求出，进而可得的长．
【详解】解：过点作交于点，过点作于点，

依题意得：，，，厘米，厘米，
，，，
四边形为矩形，
，厘米，，
，
，
，
在中，厘米，，，
（厘米），
，
在中，，厘米，，
（厘米），
（厘米）．
水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为厘米．
故选：
27．B
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP=PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA=BP，然后由PA+PC=AC，得BP+BP=+1，求解即可．
【详解】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
28．5
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】解：在中，，，
则米，
四边形为矩形，
，，
，
∴，
∴，
，
故答案为：5．
29．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：由题可知米，
设，则，
根据勾股定理得到：，
即，
解得：，（舍去）
∴王老师上升的铅直高度为米，
故答案为：10．
30．5米
【分析】试题分析：设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
【详解】设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC=，
∵AC=3米，
∴x=3，
∴x=3（米），
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD==8（米），
∴BC=8﹣3=5（米）．
故答案为5米．
31．
【分析】如图：画出小明乘坐的车厢从点A处出发，到达点B处的图形，连接，过B作交延长线于D,则，由旋转1周需要需要，则，进而得到,根据直角三角形的性质,然后根据勾股定理可得,最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：画出小明乘坐的车厢从点A处出发，到达点B处的图形，连接，过B作交延长线于D,则，
∵旋转1周需要（匀速）．
∴启动，旋转的角度，
∴，
∴，
∴，
∴小明离地面的高度是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同圆的半径相等、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
32．
【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案．
【详解】解：，
，
过点作．交的延长线于，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
，
在中，，，
，
．

故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键．
33．(1)
(2)
【分析】在Rt中，，即可得出；
由（1）得，则)，在中，，解得，根据运动员的身高为可得出答案．
【详解】（1）在中，，
解得，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为．
（2）由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴运动员的身高为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
34．广告牌的高度约为米．
【分析】利用及正切函数的定义求得长，把这两条线段相减即为长．
【详解】解：在中，∵，
∴ (米)．
在中，∵，
∴(米)．
∴(米)．
答：广告牌的高度约为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
35．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，三角函数；
（1）连接，作交于，由旋转的性质可得，，再由等腰三角形的性质可求，由正弦函数的定义可得，即可求解；
（2）连接，由旋转的性质得，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，再由勾股定理得，即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，能根据题意构建直角三角形进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：如图2，连接，作交于，

由题意得：，，
，
在中，
，
，
；
答：点、两点之间的距离约为；
（2）解：如图3，连接，

由题意得：，，
为等边三角形，
，
在中，
则
，
；
答：、两点之间的距离为．
36．无人机飞行时距离地面的高度为72米
【分析】延长BA交PQ的延长线于点C，在Rt△PCA中利用锐角三角函数列方程，用AC表示出QC的长，在Rt△BCQ中利用锐角三角函数列方程，用AC表示出QC的长，列关于AC的方程，求出AC的长，加上AB的高度，即是无人机飞行时距离地面的高度．
【详解】解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，
由题意可得，PC⊥BC，
在Rt△PCA中，tan24°=≈，
可得，
在Rt△BCQ中，tan66°=，
QC=，
∴=，
解得AC=36，
∴BC=BA+AC=36+36=72（米）
即无人机飞行时距离地面的高度为72米．
【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用—仰俯角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
37．(1)500m
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题意得，根据勾股定理得到关系式，设m，根据关系式列方程求解即可；
（2）设，再根据（1）的关系式，列出方程求解，得出及的长，即可证得和是等腰直角三角形，然后通过平角计算即可得出答案；
（3）根据，利用等式性质及平方差公式将等式变形为，再根据，设，列出二元一次方程组求得的值，即可证明 与全等，然后证明即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得，，，
，
设m，则m，
得方程，
解得，即，
，
答：驿站点P到A小区的距离是500m．
（2）解：设，则，
由（1）得，
，
得方程，
解得，
，
，
和是等腰直角三角形，
，
．
（3）证明： ，
，即，
设，则，
，
当时，则，
得方程组，解得，
，
又，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用及二元一次方程组的应用，利用勾股定理找到等量关系列一元一次方程及二元一次方程组求出线段长度是解本题关键．
38．当船继续航行，11时到达灯塔C的正东方向D处
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．
【详解】解：∵为的外角，，，
，
，，
，
在中，，
，
∴从B到D用的时间为：（小时），
则当船继续航行，11时到达灯塔C的正东方向D处．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、方向角，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
39．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，，，，
在中，，
，
是的一个外角，，，
，
，
，
在中，，
，
楼与之间的距离的长约为．
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