资源简介

2023~2024学年度第二学期期中质量监测
八年级数学试卷
亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：
1．全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟．
2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在“试卷”上无效．
4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答案写在“试卷”上无效．
5．认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解答此题的关键．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念和二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、是最简二次根式，故符合题意；
C、，不是最简二次根式，故不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减乘除法则，逐一判断，即可解答．
【详解】解：A：已经是最简二次根式，无法合并，故A计算正确错误；
B：，故B计算正确错误；
C：，故C计算正确正确；
D：，故D计算正确错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除法则，熟练计算法则是解题的关键．
4. 已知，，则与关系是（ ）
A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴与互为相反数，
故选：．
5. 在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的值等于（ ）
A 6 B. 8 C. 10 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可得，，进而可证和是等腰三角形，再经过等边对等角的性质进行边转化即可得到解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴和是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BC=6，且△ABO的周长比△BCO少2，则AB的长为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质得到△BCO的周长-△ABO的周长=BC-AB=2,且BC=6从而可以解答．
【详解】解：△ABO的周长=AB+AO+BO，△BCO的周长=BO+CO+BC，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AO=CO，
又△ABO的周长比△BCO少2，
即（BO+CO+BC）-（AB+AO+BO）=BC-AB=2，
且BC=6，
所以AB=4．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关知识是解题的关键．
8. 下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查命题真假判断，涉及矩形判定、平行四边形判定等知识，熟练掌握矩形的判定定理、平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记及矩形判定、平行四边形判定是解决问题的关键．
【详解】解：由“对角线相等的平行四边形是矩形”可知①是假命题；
设四边形的两组对角分别为，则由四边形内角和为可得，根据同旁内角互补两直线平行即可得到该四边形是平行四边形，则“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是真命题，故②是真命题；
由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知③是假命题；
如图所示：
不妨设，则，由于，可得，即可得到四边形是平行四边形，则“一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”是真命题，④是真命题；
综上所述，真命题为②④，
故选：B．
9. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，根据题意得出，是解题关键．
【详解】解：由题意得：，,
∵，
∴
即：
∴
故选：D．
10. 如图大矩形被分割成几个小矩形，且，，，则已知下列选项中哪个矩形的面积可以求出图中阴影部分四边形的面积（ ）
A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，设，，由矩形的性质可得，，再由，可以得到，再结合四个选项即可得到答案．
【详解】解：设，，
由题意得四边形，四边形，四边形，都是矩形，
∴，，
∴
，
∴四个选项中，只有知道矩形的面积就可以求出阴影部分的面积，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置．
11. =________________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据求解．
【详解】由题．
故答案为：6．
12. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理代值求解即可得到答案，熟练掌握弦图中各个线段之间的关系是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为129，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，，
小正方形的边长为，则，
，
，
又小正方形的边长为，则小正方形的边长为，
故答案为：．
13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
，
一束平行于主光轴的光线，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
14. 如图，将向右平移得到，如果周长是，那么四边形的周长是______．
【答案】##29厘米
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果．
【详解】解：向右平移得到，
，，
四边形的周长，
即四边形的周长的周长，
故答案为：．
15. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴M点所表示的数为：．
故答案为：．
16. 如图，中，，，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为上一动点，则最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查动点最值问题-点到直线距离垂线段最短，涉及中垂线性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-点到直线距离垂线段最短的题型解法是解决问题的关键．
连接，如图所示，由中垂线性质得到，从而，根据点到直线距离中垂线段最短，即可得到最小值为三点共线，且时，利用等腰三角形性质及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
是线段的垂直平分线，
，则，
当三点共线，且时，有最小值，此时有最小值，
，，
由等腰三角形三线合一可知，也是的中线，
点为的中点，，
，
最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可；
（2）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，涉及最简二次根式、分母有理化、合并同类二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据二次根式性质化简，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
19. 如图，在中，点为对角线所在直线上两点，其中点在的延长线上，点在的延长线上．
（1）若，求证：四边形是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，再添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，根据题意灵活运用是解决问题的关键．
（1）连接，如图所示，由平行四边形性质得到对角线相互平分，再结合题中条件得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据矩形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形可知，只需要添加：，可使四边形为矩形．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
在中，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，
理由如下：
在平行四边形中，，
有一个角为直角的平行四边形为矩形．
20. 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求□ABCD的面积．
【答案】48
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=8，然后根据垂直的定义可得∠ACB=90°，再利用勾股定理即可求出AC，最后利用平行四边形的面积公式求面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴BC=AD=8
∵AC⊥BC
∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，AC==6
∴S□ABCD=BC·AC=48
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、勾股定理和求平行四边形的面积，掌握平行四边形的对应边相等、利用勾股定理解直角三角形和平行四边形的面积公式是解决此题的关键．
21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）如图1，先画点，使，且，再在上画点，使；
（2）如图2，先画点，使，且，再画点，使以，为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格中矩形对角线可以垂直找到点，由于，，要使，只需在上找到中点，结合等腰三角形三线合一性即可确定，即可得到结论；
（2）根据网格中，当，且时，可得，从点正下方取第三个小正方形边的中点即可得到点，在此行选取两个小正方形连接对角线，两个对角线交点的连线与点所在竖直线的交点即是点；再根据平行四边形性质，取所在矩形的另一条对角线，交点为，连接并延长交网格底边为，连接，，即为所求的平行四边形．
【小问1详解】
解：如图所示：
即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：
平行四边形即为所求．
【点睛】本题考查网格中作图，涉及矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理、平行线的判定、平行四边形性质等知识，读懂题意，找到网格中特殊点，灵活运用相关几何性质验证作图是解决问题的关键．
22. 如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连．
（1）当点在上运动时，
①求证：；
②求的大小．
（2）若，，则直接写出的长．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①连接，如图所示，由等边三角形性质，结合三角形全等的判定定理证得，进而由全等性质得到，最后根据三角形中位线的判定与性质即可得证；②根据①中得到的三角形中位线及三角形全等，等量代换确定、，根据得到，数形结合即可得到答案；
（2）过作，如图所示，由等腰三角形三线合一及勾股定理求出的相关边长，利用勾股定理求出，再由三角形中位线性质求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：①连接，如图所示：
和是等边三角形，
，
点为线段上任一点，
，则，
在和中，
，
，
为中点，点分别为的中点，
是的中位线；是的中位线；
，即；
②由①知是的中位线；是的中位线；
，
，
，
，
，
由①知，则，即，
，
，则；
【小问2详解】
解：过作，如图所示：
是等边三角形，
由三线合一可得是边上的中线，
，
在中，，由勾股定理可得，
，
，
在中，，由勾股定理可得，
由（1）知．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及等边三角形性质、手拉手模型证全等、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形三线合一性、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用求证是解决问题的关键．
23. 问题的提出：矩形中，点是中点，连，将沿翻折，得对应，点对应点总在矩形内，延长交于点，如图．
（1）求证：；
（2）特殊的思考：若点为中点，求的值；
拓展与运用：若，直接写出（用含的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析
（2）特殊的思考：；拓展与运用：
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，根据矩形性质、直角三角形全等的判定定理（）得到，利用全等性质即可得证；
（2）特殊的思考：由（1）中结论，结合点为中点，设，则；设，则；在中，由勾股定理求出即可得到答案；
拓展与运用：由特殊的思考求解过程，同理求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：连接，如图所示：
在矩形中，，
点是中点，
，
将沿翻折，得对应，
，，则，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：特殊的思考：由（1）知，
点为中点，
，则，
设，则；设，则；
在中，，，，，
由勾股定理可得，即，
解得或（舍去），
；
拓展与运用：由特殊的思考求解过程，同理，由（1）知，
，
设，则，；设，则；
在中，，，，，
由勾股定理可得，即，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查几何综合，涉及矩形性质、矩形与翻折、直角三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，数形结合，熟练掌握矩形性质、直角三角形全等判定与性质及勾股定理求解是解决问题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点在第一象限内，，为轴正半轴上一点，过点作轴的平行线交的延长线于，点为中点，连交于点，．
（1）直接判断的形状，不需要说理．
（2）求证：．
（3）求的值．
【答案】（1）等腰三角形
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，判定四边形为矩形，再由三角形全等判定定理确定，从而得到，由等腰三角形判定即可得证；
（2）在平面直角坐标系中，求出相关点的坐标，先在中，利用勾股定理得到，进而得到，再由（1）中，即可得证；
（3）利用待定系数法确定直线，的解析式，联立方程组求出坐标，进而求出，再由（2）中，代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：为等腰三角形，
理由如下：
平面直角坐标系中，点，，
轴，即轴，则，
过点作轴的平行线交的延长线于，
，则，
，
四边形为矩形，则，
点为中点，
，
在和中，
，
，即为等腰三角形；
【小问2详解】
解：在平面直角坐标系中，，，，
，，
设，则，
在中，，则；
在中，，则 ；
在中，，则；
，
在中，，则；
即，则，即或（负值舍去），
在中，；在中，；
当时，；；
，即，则，
由（1）知，则；
【小问3详解】
解：设
，
，
设直线：，
则，解得，
，
设直线的解析式为，则，解得：，
即，
联立，解得，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
．
【点睛】本题考查图形与坐标、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法确定直线解析式、求两条直线的交点坐标、分式化简及二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合，灵活运用代数方法解决几何问题是解决问题的关键．2023~2024学年度第二学期期中质量监测
八年级数学试卷
亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：
1．全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟．
2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在“试卷”上无效．
4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答案写在“试卷”上无效．
5．认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 若在实数范围内有意义，则取值范围是（ ）
A B. C. D.
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确是（ ）
A B. C. D.
4. 已知，，则与的关系是（ ）
A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数
5. 在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的值等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 14
7. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BC=6，且△ABO的周长比△BCO少2，则AB的长为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
8. 下列命题中，真命题个数有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图大矩形被分割成几个小矩形，且，，，则已知下列选项中哪个矩形的面积可以求出图中阴影部分四边形的面积（ ）
A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置．
11. =________________．
12. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为______．
13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______．
14. 如图，将向右平移得到，如果周长是，那么四边形的周长是______．
15. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______．
16. 如图，中，，，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为上一动点，则最小值为______．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）； （2）．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在中，点为对角线所在直线上两点，其中点在的延长线上，点在的延长线上．
（1）若，求证：四边形是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，再添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由．
20. 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求□ABCD的面积．
21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）如图1，先画点，使，且，再在上画点，使；
（2）如图2，先画点，使，且，再画点，使以，为顶点的四边形为平行四边形．
22. 如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连．
（1）当点在上运动时，
①求证：；
②求的大小．
（2）若，，则直接写出的长．
23. 问题的提出：矩形中，点是中点，连，将沿翻折，得对应，点对应点总在矩形内，延长交于点，如图．
（1）求证：；
（2）特殊的思考：若点为中点，求的值；
拓展与运用：若，直接写出（用含的式子表示）．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点在第一象限内，，为轴正半轴上一点，过点作轴的平行线交的延长线于，点为中点，连交于点，．
（1）直接判断的形状，不需要说理．
（2）求证：．
（3）求的值．

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