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孝南区 2023—2024 学年度九年级下学期期中学业水平监测
数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分。 在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的）
1．-2的倒数是（ ）
A． B．-2 C． D．2
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
3．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管。目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的。若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第4题图 第8题图 第9题图 第10题图
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一。书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木绳长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺。问木长、绳子长各多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
9．如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线。则下列结论正确的有（ ）
① ②
③方程的两个根为
④抛物线上有两点和，若且，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．因式分解：______．
12．若关于的一元二次方程两根为，则的值为______．
13．如图，在等腰中，，分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，
两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是______．
14．班主任邀请甲、乙两位同学参加圆桌会议。如图，班主任坐在座位，甲、乙两位同学随机坐A、B、C三个座位中的两个座位，则甲、乙两位同学座位都与班主任相邻的概率是______．
15．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图1），西方国家称之为毕达哥拉斯定理（如图2），它们都是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成。如图3，点分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，连接分别交于点，设，若，则的值为______．
．
三、解答题（本大题共9小题，共75分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
17．（6分）已知：如图，．求证：．
18．（6分）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度为多少。
19．（8分）某校为落实“双减”政策，提高学生身体素质，采用体育课和课外体育锻炼相结合的方式，鼓励学生积极参与体育锻炼，为了解学生每周参加课外体育锻炼时间，对三个年级的学生进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周参加课外体育锻炼时间分为2小时、3小时、4小时、5小时、6小时共五种情况。小明根据调查结果制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
学生参加课外体育活动时间的条形统计图 学生参加课外体育活动时间的扇形统计图
（1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图；
（2）计算扇形统计图中2小时所对应的圆心角是______度；
（3）小亮同学平均每周参加课外体育锻炼的时长是5小时，他若想知道自己在这次调查中处于什么样的水平，应该去了解这组数据______的信息（请从平均数、中位数、众数、方差中选择填空），并说明理由；
（4）已知全校共2500名学生，则估算全校学生每周参加课外体育锻炼的时间至少有5小时的学生人数有______人．
20．（8分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动。如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．
（1）求行进路线与所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
21．（8分）如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
22．（10分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）。设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件。
（1）①当售价上涨时，与的函数关系为______，自变量的取值范围是______；
②当售价下降时，与的函数关系为______，自变量的取值范围是______；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每月可获得利润最大？最大月利润是多少元？
23．（11分）在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在点处，延长交射线于点，延长交于，如图1，图2．
（1）直接写出与的数量关系为______；
（2）如图1，求证：；
（3）若，在点从点向点运动的过程中。
①如图2，当时，求的长；
②当时，直接写出的长．
图1 图2 备用图
24．（12分）抛物线经过点和，与轴交于另一点．
（1）则抛物线的解析式为______；顶点坐标为______．
（2）如图1，连接，将直线沿折叠交抛物线于点，求点坐标；
（3）如图2，为抛物线上任意一点，连接，将沿轴折叠交抛物线于点，连接，过点作轴的平行线交于点，求的值．
图1 图2
2024年孝南区九年级下学期期中监测数学试卷参考答案
（注：阅卷时老师们应遵循以生为本的原则，若有不同方法，只要思路结果正确，应给满分。）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
ACACD DBBAB
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11． 12．7 13． 14． 15．
三、解答题（本大题共9小题，共75分）
16．解：原式
17．证明：，
，
，
在与中
，
．
18．解：设乙同学骑自行车的速度为千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据题意得：
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．
19．解：（1）50；
学生参加课外体育活动时间的条形统计图
（2）
（3）中位数，
理由：如果他平均每周参加课外体育锻炼的时长大于中位数，则他排在中上水平，否则就排在中下水平；（根据中位数的意义描述均应给分）
（4）900
20．解：（1）解：如图，，，，
，
．
在中，，
．
（2）过点作，垂足为．
，
，
．
，
在Rt中，
，
。
，
在Rt中，，
，
．
检查点和之间的距离为．
21．（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：得到，，
，
22．解：（1）①；；
②；．
（2）解：设利润为，由（1）得上涨和下降分情况讨论利润问题：
①当价格上涨时，售价为，此时销量为，
且为正整数，
当元时，元，
②当价格下降时，售价为，此时销量为，
且为正整数，
对称轴，
售价元时，元
，
综上：当售价为55元时，利润最大利润为2250元，
23．解：（1）
（2）证明：由折叠知：，
．
即：
（3）①．
由（2）知：
，，
设，则，
在Rt中，，，解得：（舍），
（2）当在内部时（如图1），，
当在延长线上时（如图2），
24．解：（1）
（2）设点的对应点为，连接、，
令得：，解得：，
，
，
三点共线，
由折叠知：
，即为中点，设，
而，
，
，，
设直线为：，代入，得：
，解得：，
直线为：，
，解得：，（舍去），
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，
设，
由折叠知：，
，即：，
，
，即，
为中点．
连接并延长交于点，
，，
又，
，
，即．

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