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解析几何中的弦长与中点弦问题
常见考点
考点一 弦长问题
典例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于 两点，求
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.
(1)
因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，
所以设椭圆的标准方程为：，
因为椭圆的离心率为且过点，
所以，所以椭圆的标准方程为：；
(2)
由（1）可知：，
所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得
，设，
所以，
因此.
变式1-1．已知抛物线的准线方程为.
(1)求p的值；
(2)直线交抛物线于A，B两点，求弦长.
【答案】(1)2
(2)8
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的准线方程直接求出即可；
（2）设，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解.
(1)
解：因为抛物线的准线方程为，
所以，所以；
(2)
解：设，，
由，消去，得，
则，，
所以.
变式1-2．已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．
(1)
由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
(2)
设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
变式1-3．已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程；
（2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可.
(1)
由题设，且，故，，则，
所以椭圆的方程为.
(2)
设直线为，联立椭圆并整理得：，
所以，可得，且，，
所以且，
故当时，.
考点二 中点弦问题
典例2．已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.
(1)求双曲线C的标准方程及离心率；
(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线C的渐近线方程为，设双曲线C的方程为：，再将点代入求解；
（2）设，，根据点为线段AB的中点，利用“点差法”求解.
(1)
解：因为双曲线C的渐近线方程为，
所以设双曲线C的方程为：，
又因为双曲线经过点，
所以，
解得，
所以双曲线C的标准方程为：；
(2)
设，，
因为点为线段AB的中点，
所以有，，
所以
所以，
又因为AB的中点M在双曲线内部，
所以符合题意
所以直线AB的方程为：，
即：.
变式2-1．两个顶点、的坐标分别是、，边、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹记为.
(1)求顶点的轨迹的方程；
(2)若过点作直线与轨迹相交于、两点，点恰为弦中点，求直线的方程；
(3)已知点为轨迹的下顶点，若动点在轨迹上，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先表示出边、所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；
（3）先表示出，然后利用椭圆的性质，进而确定的最大值.
(1)
设点，则由可得：
化简得：
故顶点的轨迹的方程：
(2)
当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
联立方程组
消去可得：
设直线与轨迹的交点，的坐标分别为
由韦达定理得：
点为、两点的中点，可得：，即
则有：
解得：
故求直线的方程为：
(3)
由（1）可知，设
则有：
又点满足，即
由椭圆的性质得：
所以当时，
变式2-2．已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.
(1)若直线过点且，求；
(2)若平分线段，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）分析可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得；
（2）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
(1)
解：设点、，则直线的倾斜角为，易知点，
直线的方程为，联立，可得，
由题意可知，则，，因此，.
(2)
解：设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，
因为、在抛物线上，则，两式相减得，
又因为为的中点，则，
所以，直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即.
变式2-3．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.
(1)求直线l的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；
（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.
(1)
解：设，
因为的中点坐标为，所以，
则，
两式相减得，
即，
即，所以直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为，即；
(2)
在直线中，当时，，
由椭圆：，得，
则直线过点，
联立，消整理得，
则，
.
巩固练习
练习一 弦长问题
1．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；
（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.
(1)
由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；
双曲线过点，；
由得：，双曲线的方程为：；
(2)
由（1）得：双曲线的焦点坐标为；
若直线过双曲线的左焦点，则，
由得：；
设，，则，
；
由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；
综上所述：.
2．已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为B．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)求弦长．
【答案】(1)，焦点坐标
(2)
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；
（2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.
(1)
因为点在抛物线上，所以，即
所以抛物线的方程为，焦点坐标为；
(2)
由已知得直线方程为，即
由得，解得或
所以，则
3．已知椭圆E经过点和点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由于不确定椭圆焦点的位置，故设椭圆方程为，（t，且），将已知的两点坐标代入，求得答案；
（2）设直线方程，根据与圆相切，求得参数间的关系，再将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用弦长公式得到关于参数的方程，解方程组，可得答案.
(1)
设椭圆E方程为，（t，且）
将点代入椭圆方程得到,
解得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
不妨设直线l的方程为,
因为该直线与圆相切，所以，
所以，
将直线方程代入椭圆方程并消去x得
，则,，
所以，
联立，解得，
即或，
则直线l的方程为或.
4．已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积是面积的两倍，且直线与圆：相切于点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）可知，进而利用离心率的值计算即得结论；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，整理，由得，则有，利用韦达定理，通过直线与圆相切计算求得的坐标，进而可求得结论.
(1)
由题意知
解得:，，所以
椭圆的方程为.
(2)
设，直线：，，，
因为得，有，
由，
由韦达定理得，，
由，，则，
，化简.
原点到直线的距离，
又直线与圆：相切，所以，即，
，即，
解得，此时，满足，此时，
在中，，所以的长为
练习二 中点弦问题
5．已知椭圆C：的左 右焦点分别为，，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题列出关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设，，利用点差法即得解.
(1)
解：因为离心率，所以，因为，所以.
因为四边形的面积为32，所以，
所以，，故椭圆C的标准方程为.
(2)
解：设，，则
两式相减得，所以.
因为AB的中点坐标为在椭圆内部，所以，
所以直线l的斜率为l，故直线l的方程为，即.
6．已知椭圆，与x轴不重合的直线l过椭圆的左焦点，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点，设直线的斜率为，直线OM的斜率为.
(1)求证：；
(2)若存在直线l满足，求直线l的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用点差法即可得到结果；
（2）假设存在直线，使得成立，由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求，再求出弦的中点的坐标，可得的方程，与椭圆方程联立，求得，由，且，可得，即，代入，，，整理求得值，即可得到满足条件的直线的方程．
(1)
设，，，代入椭圆方程得，两式相减得
，，
∵，，，∴.
即：.
(2)
设直线，，，
由得
，
则，，
，
而，
故弦AB的中点为，
由（1）问的结论可得直线CD的方程为，
由得
.
∵
，∴，
∴，
∴，即，
解之得，
所以直线的方程为或.
7．已知椭圆经过点，且的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，点是弦的中点，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设可得椭圆参数，并确定双曲线的离心率，可得椭圆离心率，进而求出椭圆参数b，即可写出的方程；
（2）设，，应用点差法可得，根据中点公式可得，，即可求直线的斜率，进而应用点斜式写出直线的方程.
(1)
由椭圆经过，则.
双曲线的离心率为2，则的离心率为，，
所以，故的方程为.
(2)
设，，因为，在上，所以，
①-②，得，所以.
因为是弦的中点，则，，
由上有，故直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
8．已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；
（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.
(1)
解：由抛物线的定义可知：，
解得：，
∴C的方程为；
(2)
解：设，
则，两式作差得，
∴直线l的斜率，
∵为的中点，
∴，∴，
∴直线l的方程为，
即（经检验，所求直线符合条件）.解析几何中的弦长与中点弦问题
常见考点
考点一 弦长问题
典例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于 两点，求
变式1-1．已知抛物线的准线方程为.
(1)求p的值；
(2)直线交抛物线于A，B两点，求弦长.
变式1-2．已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
变式1-3．已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.
考点二 中点弦问题
典例2．已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.
(1)求双曲线C的标准方程及离心率；
(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.
变式2-1．两个顶点、的坐标分别是、，边、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹记为.
(1)求顶点的轨迹的方程；
(2)若过点作直线与轨迹相交于、两点，点恰为弦中点，求直线的方程；
(3)已知点为轨迹的下顶点，若动点在轨迹上，求的最大值.
变式2-2．已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.
(1)若直线过点且，求；
(2)若平分线段，求直线的方程.
变式2-3．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.
(1)求直线l的方程；
(2)求的面积.
巩固练习
练习一 弦长问题
1．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
2．已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为B．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)求弦长．
3．已知椭圆E经过点和点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.
4．已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积是面积的两倍，且直线与圆：相切于点，求的长.
练习二 中点弦问题
5．已知椭圆C：的左 右焦点分别为，，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，求直线l的方程.
6．已知椭圆，与x轴不重合的直线l过椭圆的左焦点，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点，设直线的斜率为，直线OM的斜率为.
(1)求证：；
(2)若存在直线l满足，求直线l的方程.
7．已知椭圆经过点，且的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，点是弦的中点，求直线的方程.
8．已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.

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