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立体几何中的夹角问题
常见考点
考点一 线线角
典例1．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，，.
(1)证明：；
(2)若平面平面ACE，求异面直线AE与BF所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明一条直线垂直于另一条直线，可以先证明前者垂直于后者所在的那个平面；
（2）求异面直线的夹角，优先考虑建立空间直角坐标系，用向量的方法来计算.
(1)
证明：连接DE.
因为，且D为AC的中点，所以.
因为，且D为AC的中点，所以.
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面BDE.
因为，所以平面BDE，所以；
(2)
由（1）可知.
因为平面平面ACE，平面平面，平面ACE，
所以平面ABC，所以DC，DB，DE两两垂直.
以D为原点，分别以，.的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
从而，.
则，
即异面直线AE与BF所成角的余弦值为；
故答案为：证明见解析，.
变式1-1．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.
(1)证明：平面平面；
(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求异面直线与所成的角的余弦.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题易知，由根据线面垂直的判定定理可推出平面，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；
(1)
证明： 平行四边形，
，，即，
，，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
(2)
解：由（1）平面平面，，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，如图建立空间直角坐标系，令，所以，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则，
故异面直线与所成的角的余弦值为．
变式1-2．如图，在直三棱柱中，，，，，是棱上一点．
(1)若，求；
(2)在（1）的条件下，求直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可；
（2）利用向量求解即可.
(1)
如图，以，，的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
设，则，
又，，
∴，
∴，即为的中点，
∴．
(2)
由（1）得，，
∴，即所求余弦值为．
变式1-3．如图，在正方体中，、分别是、的中点.
(1)求证：；
(2)求直线和所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线和所成角的大小.
(1)
解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体的棱长为，
则、、、、、、，
，，所以，，.
(2)
解：，，
，
因此，直线和所成角为.
考点二 线面角
典例2．如图，在梯形ABCD中，，，，E，F分别为边AB，CD上的动点，且，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF．
(1)求AE为何值时，；
(2)在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用，得出；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出BD与平面ABF所成角的正弦值．
(1)
沿将梯形翻折后，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
设，则，
，
，即，解得或（舍）
故当时，
(2)
在（1）的条件下，，
设平面的法向量为，由，解得
故
设BD与平面ABF所成角为，则
故BD与平面ABF所成角的正弦值为.
变式2-1．如图所示的直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别是棱BC，CD上的点，且，，点G为棱上的动点，，为上底面的中心，平面EFG.
(1)求CG的长度；
(2)求直线与平面EFG所成的角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）假设当时，平面，连，取棱AC的中点O，连，得到，设，连接GH，易证，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EFG的一个法向量为，设直线与平面EFG所成的角为，由求解.
(1)
解：假设当时，平面，
如图所示，连，
因为为上底面的中心，所以是棱的中点.
连AC，取棱AC的中点O，连，则，
设，连接GH，
由，；得，
又因为，所以，
所以，
又因为平面，平面EFG，
所以平面EFG，所以假设成立，即.
(2)
由题可知DA，DC，两两相互垂直，
分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面EFG的一个法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
设直线与平面EFG所成的角为，
则，
.
变式2-2．如图，三棱锥P－ABC中，为正三角形，侧面PAB与底面ABC所成的二面角为150°，AB＝AC＝2，，E，M，N分别是线段AB，PB和BC的中点.
(1)证明：平面PEN⊥平面ABC；
(2)求直线PN与平面MAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由为正三角形，可得，再由三角形中位线定理结合已知条件可得，再由线面垂直和面面垂直的判定可得结论，
（2）以E为原点，EB、EN所在的直线分别为x、y轴，过点E与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
(1)
由为正三角形，E是AB的中点，则知PE⊥AB，
因为E，N分别是线段AB和BC的中点，
所以∥，
因为AB⊥AC，所以EN⊥AB，
又，所以AB⊥平面PEN，
因为平面ABC
所以平面PEN⊥平面ABC.
(2)
由（1）知，∠PEN＝150°，
以E为原点，EB、EN所在的直线分别为x、y轴，过点E与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（－1，2，0），A（－1，0，0），，，N（0，1，0），
∴，，，
设平面MAC的法向量为，则，即，
令x＝1，则y＝0，，∴，
设直线PN与平面MAC所成角为θ，则
，
故直线PN与平面MAC所成角的正弦值为.
变式2-3．如图，在直三棱柱中，，，.
(1)求证：；
(2)若点N在线段上，满足平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，即可证明.
（2）连接，MN，.先证明出N为的中点.
以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
(1)
∵为直三棱柱，
∴平面ABC，∴，，
又，所以四边形为正方形，
∴，又，，
∴平面，又平面，∴，
又，，∴平面，又平面，
∴.
(2)
连接，MN，.
∵平面ABC，又平面，平面平面，
∴.又M为的中点，∴N为的中点.
如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，.
∴
设平面的法向量为，又，，
由得，不妨取z=2，
所以平面的一个法向量为
∴直线与平面所成角的正弦值为.
考点三 二面角
典例3．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）作图，由对应比例证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算.
(1)
连接，交于点，连接，由题意，四边形为平行四边形，所以，因为E为中点，∴，∴，且相似比为，∴，又∵，为，中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.
(2)
连接，因为，，所以，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，则，，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
变式3-1．如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，AC，M为AC的中点.
(1)证明：平面ABC；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出，，再由线面垂直的判定证明即可；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角.
(1)
设，则
，，平面
平面，
连接，，，
，
，即
又
，平面ABC
(2)
，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设平面的法向量为，平面的法向量为
，令，则
同理可得，
又二面角为钝角，故二面角的余弦值为.
变式3-2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中点.
(1)证明：平面平面PCD；
(2)求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面PAD，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面PCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC和平面BMC的法向量，根据向量的夹角公式求得答案
(1)
∵底面ABCD，底面ABCD，∴,
又由题设知，且直线PA与AD是平面PAD内的两条相交直线，
∴平面PAD.
又平面PCD，∴平面平面PCD.
(2)
∵，，，
∴以A为坐标原点，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，,，
,,
设平面AMC的法向量为，
则由，得，得，
令，得为平面AMC的一个法向量.
由，,
设平面BMC的一个法向量为，
则,即 ，
令 ,可得平面BMC的一个法向量为.
∴,
故所求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为.
变式3-3．如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.
(1)证明：平面CMN；
(2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,
（1）求出平面的法向量，利用证明即可；
（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.
(1)
证明：三棱锥中，，，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系
∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且
∴，，，，，
设平面的法向量，
，，，
由得
令
得
∴
∵
∴又平面
∴平面；
(2)
，，
∴平面
∴为平面的法向量
则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角
.
∴平面与平面所成角的余弦值为.
巩固练习
练习一 线线角
1．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点，求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
设异面直线 A1B与C1D所成的角为，
所以.
2．如图，直棱柱在底面中，，棱分别为的中点.
（1）求异面直线 成角的余弦值；
（2）求证：平面.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据条件中的垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，求向量和的坐标，再根据公式的值；（2）利用向量数量积证明，证明线面垂直.
【详解】
（1）如图所示，以C为原点，建立空间直角坐标系，
依题意得
又
故所成角的余弦值为
（2）证明：依题意得
又：面面
平面
3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求异面直线所成角的余弦值.
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.
（3）利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
（1）在三角形中，分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
，
所以，
，所以，即.
（3），设异面直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
4．如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，BD，的中点.
（1）求证：；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，证明即可；
（2）求出即可；
（3）利用空间两点间距离公式即可求出.
【详解】
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则.
（1），，
则,
，；
（2）设EF与CG所成角为，
，，
则，
所以EF与CG所成角的余弦值为；
（3）
练习二 线面角
5．如图，已知三棱柱中，侧面底面为等腰直角三角形，．
(1)若O为的中点，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得，由面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质即可证明；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量和，
结合空间向量的数量积计算即可.
(1)
为等腰直角三角形，，由O为的中点，，
又平面平面，平面平面．
平面，又平面．
(2)
为等腰直角三角形，，
又四边形为菱形，为正三角形，，又平面平面，平面平面，
平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，．
又，
设是平面的一个法向量，则，即
令，则．
设直线与平面所成的角为，
则．
6．如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是△的重心．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）通过线线垂直先证明平面，即可由线面垂直证明面面垂直；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值.
(1)
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面，所以平面平面．
(2)
取中点，连接，
因为，，，，
所以四边形是矩形，所以，
因为平面，所以，，
所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，
设，则，
，，，
因为点在平面内的投影恰好是△的重心，所以，
所以，所以，，又，，
令，
因为，，
所以是平面的法向量，
的方向向量是，
所以直线与平面所成角的正弦值为
.
故直线与平面所成角的正弦值为.
7．已知平行四边形，，，，点是的中点，沿将翻折得，使得，且点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD的中点H，证明四边形FHEB为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
(1)
取PD的中点H,连接EH,HF
∵F，H分别为PC，PD的中点，∴
又∵E为AB的中点，∴，
∴，∴FHEB为平行四边形，∴，
又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE.
(2)
∵，，，
∴，如图建立平面直角坐标系：
令，由条件可知，，，，
由，∴，∴
∴.
∴，又∵面BCDE的法向是，
记PE与面BCDE所成角为.
∴，
即PE与面BCDE所成角的正弦值为.
8．如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.
(1)
由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，
又，所以，所以.
因为，所以，又，
所以平面，又平面，所以平面平面；
(2)
因为，，，所以两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线DE与平面所成角为，
则，
所以直线DE与平面所成角的正弦值为.
练习三 二面角
9．如图，在四棱柱中，，，，四边形为菱形，在平面ABCD内的射影O恰好为AD的中点，M为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明，，即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
(1)
因为O为在平面ABCD内的射影，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以.
如图，连接BD，在中，.
设CD的中点为P，连接BP，
因为，，，
所以，且，则.
因为，
所以，
易知，所以.
因为平面，平面，，
所以平面.
(2)
由（1）知平面ABCD，
所以可以点O为坐标原点，以OA，，所在直线分别为x，z，以平面ABCD内过点O且垂直于OA的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以,,，，
设平面的法向量为，，，
则可取平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，，，
则
令，得平面的一个法向量为.
设平面与平面的平面角为，
由法向量的方向可知与法向量的夹角大小相等，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
10．如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，点S在平面ABCD内的射影O为线段AD的中点.
(1)求证：平面平面SBC；
(2)已知点E在线段SB上，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明和，利用线面垂直的判定定理证明出平面SOB，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面SBC.
（2）以为正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
(1)
（1）如图，连接BD.在菱形ABCD中，，故为等边三角形.
因为O为AD的中点，所以.
因为，所以.
由条件可知底面ABCD，又平面ABCD，所以，
因为，OS，平面SOB，所以平面SOB.
因为平面SBC，故平面平面SBC.
(2)
因为底面ABCD，，所以可以以为正方向建立空间直角坐标系，
不妨设，则.
因为，，，，所以.
由，得，
设是平面OEC的法向量，由得，
令，则，，则，
又因为平面BOE的一个法向量为，所以，
故由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
11．如图，在直棱柱中，，，，分别是，的中点.
(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）以点为原点建立空间直角坐标系，求得向量的坐标求解；
（2）求得向量，的坐标，利用向量的数量积运算求解；
（3）先求得平面的一个法向量，易知为平面的一个法向量，再由求解.
(1)
解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
则,，，，,,,，
所以向量
则；
(2)
向量，向量，
因为 ，所以
所以；
(3)
向量，向量，
设为平面的一个法向量，
则，即,
不妨令，可得，
又为平面的一个法向量，
则.
12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，，，，.
(1)证明：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取AD的中点为M，连接EM，易证平面ECD，得到，再由，得到平面ADEF，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明；
（2）连接BE，BD，以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面BED的一个法向量和平面CED的一个法向量，然后由求解.
(1)
证明：取AD的中点为M，连接EM，
则，又，，
故四边形AFEM为正方形，
故，故，
又，，
故平面ECD，则．
又，，
故平面ADEF，
则．
又，，AD，平面ABCD，
故平面ABCD．
(2)
连接BE，BD，以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：
则B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
则，，，．
设平面BED的一个法向量为．
则即
令，则．
设平面CED的一个法向量为，
则即
令，则，
，
则，故二面角的正弦值为．立体几何中的夹角问题
常见考点
考点一 线线角
典例1．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，，.
(1)证明：；
(2)若平面平面ACE，求异面直线AE与BF所成角的余弦值.
变式1-1．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.
(1)证明：平面平面；
(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求异面直线与所成的角的余弦.
变式1-2．如图，在直三棱柱中，，，，，是棱上一点．
(1)若，求；
(2)在（1）的条件下，求直线与所成角的余弦值．
变式1-3．如图，在正方体中，、分别是、的中点.
(1)求证：；
(2)求直线和所成角的大小.
考点二 线面角
典例2．如图，在梯形ABCD中，，，，E，F分别为边AB，CD上的动点，且，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF．
(1)求AE为何值时，；
(2)在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的正弦值．
变式2-1．如图所示的直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别是棱BC，CD上的点，且，，点G为棱上的动点，，为上底面的中心，平面EFG.
(1)求CG的长度；
(2)求直线与平面EFG所成的角的正弦值.
变式2-2．如图，三棱锥P－ABC中，为正三角形，侧面PAB与底面ABC所成的二面角为150°，AB＝AC＝2，，E，M，N分别是线段AB，PB和BC的中点.
(1)证明：平面PEN⊥平面ABC；
(2)求直线PN与平面MAC所成角的正弦值.
变式2-3．如图，在直三棱柱中，，，.
(1)求证：；
(2)若点N在线段上，满足平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值.
考点三 二面角
典例3．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
变式3-1．如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，AC，M为AC的中点.
(1)证明：平面ABC；
(2)求二面角的余弦值.
变式3-2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中点.
(1)证明：平面平面PCD；
(2)求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值.
变式3-3．如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.
(1)证明：平面CMN；
(2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.
巩固练习
练习一 线线角
1．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点，求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值.
2．如图，直棱柱在底面中，，棱分别为的中点.
（1）求异面直线 成角的余弦值；
（2）求证：平面.
3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求异面直线所成角的余弦值.
4．如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，BD，的中点.
（1）求证：；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
练习二 线面角
5．如图，已知三棱柱中，侧面底面为等腰直角三角形，．
(1)若O为的中点，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
6．如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是△的重心．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．已知平行四边形，，，，点是的中点，沿将翻折得，使得，且点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
8．如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值．
练习三 二面角
9．如图，在四棱柱中，，，，四边形为菱形，在平面ABCD内的射影O恰好为AD的中点，M为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
10．如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，点S在平面ABCD内的射影O为线段AD的中点.
(1)求证：平面平面SBC；
(2)已知点E在线段SB上，，求二面角的余弦值.
11．如图，在直棱柱中，，，，分别是，的中点.
(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，，，，.
(1)证明：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值．

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