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利用导数解决恒成立与存在性问题
常见考点
考点一 恒成立问题
典例1．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，由切线为，可得，运算即得解；
（2）参变分离可得，令，求导分析单调性，可得的最小值为，分析即得解
(1)
可得，
因为曲线在点处的切线为.
所以，解得，.
(2)
由（1）知，
∵不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
令，∵，当时，解得.
∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，
∴的最小值为，∴，∴正实数m的取值范围为.
变式1-1．已知函数， ．
(1)证明： ，直线都不是曲线的切线；
(2)若，使恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造
函数，求出导数和单调区间，即可证明；
（2）由，使恒成立转化为，再
利用导数法求出在的最大值即可求解.
(1)
由题意可知，的定义域为，
由，得，
直线过定点，
若直线与曲线相切于点，则
，即
设，则，
所以在上单调递增，又，
从而当且仅当时，成立，这与矛盾.
所以，，直线都不是曲线的切线.
(2)
由，得，
，
若，使恒成立转化为即可.
令，，则，
令，，则
，所以，
所以在上是单调递减；
所以，故
在上是单调递减；
当时，取得最大值为，
，即.
所以实数的取值范围为
【点睛】
解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，
对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.
变式1-2．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数a的值.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，得到，且，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，设，当时，不满足题意；当时，得到单调递增，设有唯一的零点，使得，结合函数单调性得到，再令，结合单调性求得，即可求解.
(1)
解：当时，函数，其定义域为
可得，
令，可得，单调递增，
又由，
当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以的递减区间为，递增区间为.
(2)
解：由，可得，
设，
当时，，可得，单调递增，
当时，，不满足题意；
当时，由，单调递增，
设有唯一的零点，即，
当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以
因为，可得，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以，
因为恒成立，即恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，
又由恒成立，即，所以.
变式1-3．已知函数（）恰有两个极值点且．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对求导后分析其导数的零点
（2）将代入后消去，然后为不等式恒成立问题，换元后分类讨论最值
(1)
∵，依题意得为方程的两不等正实数根，
∴，，令，，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，
∴，解得，故实数的取值范围是；
(2)
由（1）得，，两式相减得，，
，
∵，令，∴，即，
令，则需满足在上恒成立，
∵，令，则（），
①当时，，∴在上单调递减，∴，
∴在上单调递增，∴，符合题意，
②当时，，∴在上单调递增，∴，
∴在上单调递减，∴，不符合题意，
③当时，，∴在上单调递增，∴，
∴在上单调递减，∴，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
考点二 存在性问题
典例2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）根据（1）的结论对进行分类讨论，由，结合构造函数法以及导数来求得的取值范围.
(1)
已知函数，定义域为，
，
①当时，，
x
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，函数在单调递增；
③当时，，
x
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
若存在，使得成立，即使得.
由（1），可知当时，在上单调递增，，
不满足；
当时，
x
- 0 +
递减 极小值 递增
，所以，即，
令，∴，
∴在上单调递减，
又∵，由，得.
综上，实数a的取值范围为.
变式2-1．已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数在区间上单调递减；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数，判断的符号作答.
(2)对给定不等式作等价变形，借助(1)脱去法则“f”，分离参数构造函数，再求出函数最值作答.
(1)
函数，，求导得：，
令，，则，即函数在区间单调递减，
而，则当时，，即，
所以函数在区间上单调递减.
(2)
当时，，
因且，则，由(1)知，在单调递减，
则存在，不等式成立，
令，则，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，，于是得，
所以的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，再利用函数的导数探讨解决问题.
变式2-2．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：当时，，可知的定义域为，
则，
可知当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数，
，
令，即，解得：或（舍去），
当，即时，，在上单调递减，
，得，
又，所以；
当时，即时，，在上单调递增，
，得，不合题意；
当，即时，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，
即，不符合题意；
综上得，实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：
（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.
变式2-3．已知函数，
(1)若，求函数的极值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
【解析】
【分析】
（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果
(1)
当时，，定义域为，
令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值
(2)
，定义域为
因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减.
综上：单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有
由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以
当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故.
当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为
令
因为，所以，则，即，不满足题意，舍去
综上所述：a的取值范围为
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
巩固练习
练习一 恒成立问题
1．已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义直接求解即可；
（2）分离变量可得，利用导数可求得，由此可得的取值范围.
(1)
，，又，
在处的切线方程为；
(2)
当时，由得：，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，，
，在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由得；由得.
2．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导，先确定导数的单调性及零点，即可确定的单调性；
（2）当时， ，当时，参变分离得，构造函数求导得，
再构造函数确定单调性后，即可求出实数a的取值范围．
(1)
当时，，，易得在上递增，又，
故当时，，单调递增；故当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；
(2)
当时，不等式恒成立，可得；当时，由恒成立可得恒成立，
设，则，
可设，可得，设，由，可得恒成立，
可得在递增，即在递增，所以，即恒成立，即在递增，
所以，再令，可得，当时，，在上递增，
当时，，在递减，所以，所以；
综上可得.
【点睛】
本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为，
再把分子的因式构造成函数，确定后，即得的正负，进而求解.
3．已知函数.
(1)若在上是减函数，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，得到，即可求出的取值范围；
（2）把题意转化为，分类讨论：当时，求出；当时，转化为，令，利用导数求出，即可求出实数的取值范围.
(1)
因为，所以，
令，得，则的单调递减区间为，
因为在上是减函数，所以，即，
故的取值范围是；
(2)
由题知：，则，即，
当时，恒成立，则，
当时，，令，则，
则当时，，递减；当时，，递增，
故，则，
综上所述，实数的取值范围是．
4．已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)当，且时，]恒成立，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，然后算出即可；
（2）由条件可得恒成立，构造函数，则原不等式等价于在上恒成立，然后可证明，然后得在上单调递增，然后即可求解.
(1)
当时，，则
又因为
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为.
(2)
恒成立，即恒成立.
等价于恒成立.
构造函数，则在上恒成立等价于在上恒成立.
因为，所以
令函数，则，显然是增函数，
则在上单调递增，所以，
故，从而可得在上单调递增，
所以当时，恒成立.
所以，所以，即b的取值范围是[-1，+∞）
【点睛】
关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.
练习二 存在性问题
5．己知函数.
(1)当时，求的单调区间.
(2)存在，使得成立，求整数的最小值.
【答案】(1)增区间为，无单减区间
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数与函数的单调性之间的关系可求得结果；
（2）由题意可知，存在，使得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，求出的取值范围，可求得整数的最小值.
(1)
解：当时，，该函数的定义域为，
则，当且仅当时，等号成立，
故函数的增区间为，无单减区间.
(2)
解：存在，使得成立，即，
令，其中，则，
，
令，则，
令，对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
即对任意的恒成立，则函数为增函数.
因为，，
所以存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，，
设，则，
令，则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
即对任意的恒成立，故函数在为增函数，
故，即，即，
因为为整数，所以整数的最小值为.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
6．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【答案】(1)讨论见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)对原函数求导后利用判别式对 进行分类讨论即可；
(2)理解“有解”的含义，构造函数将原不等式转化为求函数的最大值.
(1)
的定义域为R，，
，
①当时， ，有两个不等实数根为：，
时，，单调递增，
时，
，单调递减，
时，，单调递增，
②当时， ，，
所以在上单调递增；
(2)
不等式 等价于 ，
所以只需证 的最大值大于1，
因为，，
又，所以，时等号成立，
所以 ，
设函数 ， ，
，，单调递增，，，单调递减，
因为 ，所以存在，使不等式 有解.
【点睛】
对于第二问使用函数的缩放法是核心，
对原函数由于的不确定性使得求其最大值很困难，
“化繁为简”，“化难为易”的数学思想就显得特别重要，
通过本题的计算应该能够体会到这种数学思想，
在以后的数学计算中遇到很复杂的计算应该首先考虑这种数学思想.
7．已知函数.
(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【解析】
【分析】
（1）首先求得导函数的解析式，然后讨论函数的单调性，结合函数的性质即可确定函数零点的个数；
（2）首先讨论函数的单调性，然后结合函数的最小值构造新函数，结合构造函数的性质分类讨论即可确定的取值范围．
(1)
证明：当时，，
令，
∴在上为增函数，
∵，
∴，使，
∴当时，；当时，，
因此，在上为减函数，在 上为增函数，
当时，，当时，，
故函数在上只有一个零点．
(2)
解：当时，，由（1）可知，，即，
∴当时，，在上为减函数，当时，，在 上为增函数，
∴，
由，知，
设，则，
∴在上为减函数，
又，
∴当时，，当时，，
∴存在，使不等式成立，此时；
当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以不存在，使不等式 成立，
当时，取，即，所以，
所以存在，使不等式 成立，
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】
方法点睛：在解决能成立问题时一般是将不等式能成立问题转化为求函数的最值问题，利用能成立；能成立.
8．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解；
（2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.
(1)
解：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数的极大值为，无极小值；
(2)
解：若存在，使不等式成立，
则，即，
则问题转化为，
令，，
，
当时，，当时，，
所以函数在递增，在上递减，
所以，
所以.利用导数解决恒成立与存在性问题
常见考点
考点一 恒成立问题
典例1．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
变式1-1．已知函数， ．
(1)证明： ，直线都不是曲线的切线；
(2)若，使恒成立，求实数的取值范围．
变式1-2．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数a的值.
变式1-3．已知函数（）恰有两个极值点且．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
考点二 存在性问题
典例2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
变式2-1．已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．
变式2-2．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
变式2-3．已知函数，
(1)若，求函数的极值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．
巩固练习
练习一 恒成立问题
1．已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
2．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
3．已知函数.
(1)若在上是减函数，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)当，且时，]恒成立，求b的取值范围.
练习二 存在性问题
5．己知函数.
(1)当时，求的单调区间.
(2)存在，使得成立，求整数的最小值.
6．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
7．已知函数.
(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
8．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

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