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数列中的证明问题
常见考点
考点一 数列通项证明
典例1．已知数列满足﹒
(1)求证数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)试判断是否为数列中的项，并说明理由﹒
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)是，理由见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)已知条件两边同时取倒数，构造等差数列求解；
(2)根据(1)中构造的等差数列即可求通项公式；
(3)令通项等于，解出n，如果n为正整数，则是该数列的项，否则不是﹒
(1)
由题可得，
∴是以3为首项，3为公差的等差数列；
(2)
由(1)得，，
∴；
(3)
令，解得，故是为数列中的项﹒
变式1-1．已知数列中，，，.
(1)设，求证是等差数列；
(2)求的通项.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）式子变形后，可知是首项，公差为1的等差数列.
（2）利用累加法和错位相减法即可得出结论.
(1)
解：由已知可得：
即
即，
所以是首项，公差为1的等差数列.
(2)
由（1）知
则
得到
①，
②
，得.
变式1-2．已知数列满足：，且，其中;
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设递推式得，根据等比数列的定义即可证结论，进而写出的通项公式；
（2）由（1）得，应用裂项相消法求即可.
【详解】
（1）由题设，，而，
∴是首项、公比均为2的等比数列，故，即.
（2）由（1）知：，
∴.
变式1-3．已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知递推关系可得，结合等比数列的定义即可证结论，进而可得，写出通项公式即可.
（2）应用错位相减法即可求的前项和.
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，，又，
∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，故.
（2）∵①，
∴②，
① ②式错位相减得：，
∴.
考点二 数列求和证明（先求和再放缩）
典例2．已知数列的前项和为.
从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列是等比数列，，且，，成等差数列；
②数列是递增的等比数列，，；
③.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）若选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项及公比即可求解；
若选②：根据等比数列的性质有，结合已知求出即可得公比，从而可得答案；
若选③：由，将已知再写一式，然后两式相减可得，最后根据等比数列的定义即可求解；
（2）由（1）根据对数的运算性质求出，然后利用裂项相消求和法求出即可证明.
(1)
解：若选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，
所以，解得，所以；
若选②：因为数列是递增的等比数列，，，
所以，所以，，
所以；
若选③：因为，所以，
两式相减可得，即，又时，，
所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
(2)
证明：由（1）知，
所以，
因为，所以，即.
变式2-1．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.
【答案】(1)证明见解析；；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由递推关系式可得，由此证得结论；利用等差数列通项公式可求得，进而得到；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，结合，可证得结论.
(1)
由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
；
(2)
由（1）得：，
，
，，.
变式2-2．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，证明：.
【答案】(1)，.
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列基本量代换求出，利用前n项和的定义求出；
（2）用错位相减法求和后即可证明.
(1)
设等差数列的公差为d.
因为，，所以，解得：，所以.
因为数列满足，
所以n=1时，有，解得：.
当时， ，
因为，所以.
经检验，对n=1也成立，所以.
(2)
由（1）知，.记是数列的前项和.
则①
①式同乘以得：②
①-②得：
所以
因为，所以，所以.
即证.
变式2-3．已知数列的前n项和为满足．
(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为．求证：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得，结合数列的单调性可证得结论成立.
(1)
证明：当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，所以，，则，
因为，则，可得，，，
以此类推，可知对任意的，，所以，，
因此，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得.
(2)
证明：，
则，其中，所以，数列为单调递减数列，则，
，
，
上式下式，得
，
所以，，因此，.
考点三 数列求和证明（先放缩再求和）
典例3．已知数列的前n项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式得，即得结果；
（2）先利用放缩得，（），再利用裂项相消法证得结果.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
故，
即，
又因为，所以，
故为等差数列，即，亦即；
（2）显然
当时，，
故
【点睛】
本题考查利用和项与通项关系求通项、等差数列定义与通项公式、放缩法证不等式、裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
变式3-1．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用前n项和与的关系即求；
（2）由题知，然后利用裂项相消法即证.
(1)
由，
可得，
两式相减可得，
当时，，满足，
所以.
(2)
∵，
因为，
所以当时，.
变式3-2．已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知条件得，进而构造等比数列，从而即可求解数列的通项公式；
（2）因为当时，，从而利用放缩法即可证明原不等式成立.
(1)
解：由，得，
∴，
∴是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴，
∴数列的通项公式为；
(2)
解：当时，，即时，，
∴
，
又时，，
综上，.
变式3-3．已知正项数列满足，.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）设数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，求得数列的通项公式，可求得，然后利用作差法可比较出与的大小；
（2）利用不等式的性质得出，然后分和，结合放缩法以及等比数列的求和公式证明出，即可证得结论成立.
【详解】
（1），即，，
，则且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，可得，
，；
（2）当时，；
当时，由（1）可得，
则.
综上所述，对任意的，.
【点睛】
本题考查利用作差法比较大小，同时也考查了利用放缩法证明数列不等式，利用不动点法求出数列的通项公式是解题的关键，考查计算能力，属于难题.
巩固练习
练习一 数列通项证明
1．设数列是公比为正整数的等比数列，满足，，设数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(3)已知数列，设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列列出方程组求解首项、公比即可得解；
（2）化简后得，可证明数列是等差数列，即可得出，再求出即可;
（3）利用错位相减法求出数列的和.
(1)
设公比为，由条件可知，，
所以；
(2)
，
又，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
(3)
，
,
两式相减可得，
，
.
2．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列前n项和.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】
（1）由递推关系构造等差数列即可证明；
（2）根据裂项相消法求出数列的和即可.
(1)
为常数,
又,
∴是以为首项，为公差的等差数列
(2)
由（1）得
∴
∴
∴.
3．已知数列的前n项和为，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据与的关系化简，根据等比数列的定义求证即可；
（2）由（1）求出，利用错位相减法求和即可得解.
(1)
由，得.
当时，，解得；
当时，，
整理得.
故数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)
由（1）可知，，则，故
，
则，
则，
故.
4．已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.
（2）利用分组求和法求得.
(1)
由，得，
又，故，
故，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)
由（1）可知，所以，
所以．
练习二 数列求和证明（先求和再放缩）
5．已知数列的首项，数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先求等差数列的基本量，首项和公差，求得数列的通项公式，再根据，即可求得的通项公式；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和，即可求得，并证明不等式.
(1)
令，得，再由，得
设的公差为d，由，得，解得．
所以，
因为，得，
所以．
(2)
由（1）得，则，
故，所以成立．
6．已知是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设．数列{}的前项和为，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，
由题意可得，即，整理可得，，解得，
因此，.
(2)
证明：，
因此，，
故原不等式得证.
7．已知等差数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
(2)
证明：，
因此，
.
故原不等式得证.
8．已知数列的前n项和为，且组成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，利用的关系，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，求得关于的函数关系式，再求其值域即可证明.
(1)
∵组成等差数列，∴，当时可得
∴，即，又当时，，解得，
故数列是首项为，公比为的等比数列，则.
(2)
由（1）可知，故
则
∵ 故，
故，即证.
练习三 数列求和证明（先放缩再求和）
9．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
（1）求的通项公式；
（2）求证＜1（n∈N+）
【答案】（1）＝（n+1）2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的定义可知数列是首项是2，公差为1的等差数列，从而求出的通项公式，即可求出{an}的通项公式；
（2）根据，代入，可证得不等式成立．
【详解】
（1）已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
得数列是首项是2，公差为1的等差数列，∴
∴＝（n+1）2
（2）证明：
∴＜1﹣﹣+…+﹣＝1﹣＜1
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用放缩法和裂项相消求和法进行证明不等式，属于中档题．
10．数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求证：.
【答案】（1）；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）分别令，，可得；（2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.
试题解析：
（1）令，得；令，有，得；
令，有，得.
（2）∵， （1）式
所以，当时，，（2）式
两式相减得：，∴.
当时，也适合，
∴.
（3），
当时，；当时，；
当时，，
，
综合可得：.
考点：数列的递推关系及不等式的放缩法等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题考查的是数列的递推关系及放缩法和不等式的性质等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,运用数列递推式赋值直接求出；第二问的求解中,借助数列递推关系式,运用两等式相减的方法求得；第三问的推证过程中运用放缩法缩放成,再运用裂项相消法推证得不等式.
11．已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
(1)求{}的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用得到递推公式，再构造等比数列求出通项公式；（2）等比放缩，证明不等式.
(1)
因为=-n.
所以=-n-1，
所以
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，
所以；
(2)
即证明： ，
，

.
12．数列满足,．
（1）求证数列是等比数列；
（2）证明：对一切正整数，有．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）可在递推式的两边同时加上可得，由等比数列的定义可得证得是以等比数列的等比数列；（2）根据（1）求得的通项公式同时放缩为，所以，对求和即可.
试题解析：(1)由有,,又,
所以是以3位首项,3为公比的等比数列
(2)由(1)知
又,
故
考点：等比数列定义的应用与求和.
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常见考点
考点一 数列通项证明
典例1．已知数列满足﹒
(1)求证数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)试判断是否为数列中的项，并说明理由﹒
变式1-1．已知数列中，，，.
(1)设，求证是等差数列；
(2)求的通项.
变式1-2．已知数列满足：，且，其中;
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求.
变式1-3．已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
考点二 数列求和证明（先求和再放缩）
典例2．已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列是等比数列，，且，，成等差数列；
②数列是递增的等比数列，，；
③.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.
变式2-1．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.
变式2-2．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，证明：.
变式2-3．已知数列的前n项和为满足．
(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为．求证：．
考点三 数列求和证明（先放缩再求和）
典例3．已知数列的前n项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
变式3-1．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
变式3-2．已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
变式3-3．已知正项数列满足，.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）设数列的前项和为，证明：当时，.
巩固练习
练习一 数列通项证明
1．设数列是公比为正整数的等比数列，满足，，设数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(3)已知数列，设，求数列的前项和.
2．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列前n项和.
3．已知数列的前n项和为，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
4．已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
练习二 数列求和证明（先求和再放缩）
5．已知数列的首项，数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
6．已知是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设．数列{}的前项和为，求证：．
7．已知等差数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列的前项和.
8．已知数列的前n项和为，且组成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：．
练习三 数列求和证明（先放缩再求和）
9．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．
（1）求的通项公式；
（2）求证＜1（n∈N+）
10．数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求证：.
11．已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
(1)求{}的通项公式；
(2)证明：
12．数列满足,．
（1）求证数列是等比数列；
（2）证明：对一切正整数，有．

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