资源简介

利用导数求函数的零点
常见考点
考点一 讨论零点个数
典例1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数问题
(3)当时，证明不等式．
【答案】(1)当a≤0时，在(0，＋∞)上单调递减
当时，在上单调递减，在上单调递增
(2)当时有2个零点；时没有零点；或者时有一个零点．
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求解单调性；（2）在第一问的基础上，讨论得到的零点个数；（3）构造函数，用导函数证明不等式.
(1)
．当时，ax－1<0，从而，
函数在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，若0，则ax－1>0，从而，
从而函数在上单调递减，在上单调递增．
(2)
由（1）可知：当时，在(0，＋∞)上单调递减，又时，，，故此时函数只有一个零点；
当时，，而函数在上单调递减，在上单调递增，又，又时，，时，，故有两个零点；
当时，在上单调递减，在上单调递增，又，故此时只有一个零点，即；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，此时函数没有零点；
综上：当时有2个零点；时没有零点；或者时有一个零点．
(3)
令，其中，可得，设，可得在上恒成立，
∴G（t）是上的增函数，可得，
因此，在上恒成立，可得是上的增函数．∵，∴F（x）＞F（y），可得，
∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式两边都乘以，可得．
即对任意x＞y＞e-1，都有不等式成立．
【点睛】
导函数研究函数零点个数问题，要通过求解函数的单调区间，并结合特殊点的函数值进行判断出零点个数.
变式1-1．已知时，函数的图象恒在直线的上方．
(1)求证：当时．；
(2)求函数在上的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）由题意得当时，恒成立，所以当时，欲证，只需证，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可，
（2）对函数求导得，然后分，和，判断导数的正负，可得函数的单调性，再结合零点存在性定理可判断出函数的零点个数，
(1)
因为时，函数的图象恒在直线的上方，
所以，所以当时，恒成立，
当时，欲证，只需证，只需证，
设，则，
所以F（x）在（0，1）上单调速减，所以．
所以当时，．
(2)
由已知得，则，
①当时，因为，所以g（x）在上单调递减．
所以．
所以g（x）在上无零点，
②当时，因为单调递增，且，
所以存在，使．
当时，；当时，，
所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，且，
所以．
设，则．
令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
所以，所以，
所以．
所以g（x）在上存在一个零点．
所以g（x）在[0，]上有2个零点，
③当时，，
所以g（x）在（，＋∞）上单调递增．
因为，所以g（x）在（，＋∞）上无零点，
结上所述，g（x）在（－，＋∞）上的零点个数为2
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数决函数零点问题，第（1）问解题的关键是构造函数，利用导数求函数的最值，第（2）解题的关是对函数求导后，分情况通过判断导数的正负，可得函数的单调性，再结零点存在性定理可判断函数的零点个数，考查数学转化思想，属于较难题
变式1-2．已知函数，
(1)证明：函数f（x）在内有且仅有一个零点；
(2)假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由导函数判断出函数f（x）的单调区间，依据零点存在定理即可证明函数f（x）在内有且仅有一个零点；
（2）把函数的零点个数问题，转化为与两函数图像的交点个数问题，分类讨论即可解决.
(1)
，令，则
所以在单调递减，在单调递增.
因为，
结合单调性，在有且仅有一个零点.
(2)
令，即，从而有，
令，
从而的零点个数等价于与图像的交点个数.
，令，得.
所以在单调递减，在单调递增，且，
当时，图像与图像有一个交点.
当时，图像经过二 四象限，与图像无交点.
当时，图像经过一，三象限，与图像至少有一个交点，当图像图像相切时，设切点横坐标为，则有
即有，从而，
此时.
所以，当时时，图像与图像有两个交点；
当时，图像与图像有三个交点；
当时，图像与图像有一个交点.
综上所述，当时，没有零点；当时，有三个零点；当，有两个零点；当或时，有一个零点.
变式1-3．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)当时，函数 在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)当时，函数没有零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
【解析】
【分析】
（1）对函数，求导得出，
对进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.
（2）由题意可知，函数的零点个数转化为函数与
图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.
(1)
函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，
当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.
考点二 根据零点个数求参数范围
典例2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若只有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)或或.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数并因式分解，进而讨论a的范围，然后根据导数的符号求出单调区间；
（2）结合（1）中函数的单调性及零点存在定理即可求得答案.
(1)
函数的定义域为，，
①若，，则在单调递减；
②若，时，，单调递减，时，，单调递增.
综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递减.
(2)
若，，.
结合函数的单调性可知，有唯一零点.
若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或.
综上：或或.
【点睛】
第（2）问较难，我们一定要注意，导数中的零点问题往往与函数的单调性和零点存在定理联系紧密.
变式2-1．已知函数，其中，e为自然对数的底数，
(1)若函数在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）求定义域，求导，对a分类讨论，结合单调性及最小值，列出不等关系，求出实数a的取值范围；（2）先进行简单放缩，构造函数，进行证明.
(1)
的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递增，故函数在定义域上不可能有两个零点；
当时，令得：，令得：，故在单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，要想函数在定义域上有两个零点，则，解得：，又，当时，，由零点存在性定理可知：在与范围内各有一个零点，综上：实数a的取值范围是.
(2)
证明：当时，即证，（）
由于，故，只需证，令，则，因为，所以，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，故在上恒成立，结论得证.
【点睛】
导函数证明不等式，常常需要对不等式进行变形放缩，常见放缩有三角函数有界性放缩，切线放缩，如，，等.
变式2-2．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值.
(1)求实数a的值；
(2)函数y＝f（x）有三个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)5
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导f'（x）＝3x2﹣2ax+3，根据函数f（x）在x＝3处取得极值，由f'（3）＝0求解；27﹣6a+3＝0，
（2）利用导数法求得函数的极值，再根据函数f（x）有三个不同零点求解.
(1)
解：f'（x）＝3x2﹣2ax+3，
因为函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值，
所以f'（3）＝0，即27﹣6a+3＝0，
解得a＝5，经检验符号题意；
(2)
因为f（x）＝x3﹣5x2+3x+m，
令f'（x）＝3x2﹣10x+3＝0，
得或，
由f'（x）＞0，得或，此时f（x）为增函数，
由f'（x）＜0，得，此时f（x）为减函数，
即当时，函数f（x）取得极大值，当x＝3时，f（x）取得极小值，
即f（x）极小值＝f（3）＝m﹣9，f（x）极大值＝f（）＝m+，
因为函数f（x）有三个不同零点，
所以，即，
解得，
故m的范围是.
变式2-3．已知函数，当时，函数取得极值.
（1）求实数a的值；
（2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可得的值，注意检验.
（2）令，利用导数讨论函数在的单调性后可得的取值范围.
【详解】
（1）由，则，
因在时，取到极值，所以，
解得.
又当时，，
当时，，当时，，
故当时，函数取得极值，
综上，.
（2）令，由（1）得，且，
故，
则，
当时，令，解得，令，解得，
的递增区间为，递减区间为，
故，而，故.
要有两个根，则，故.
【点睛】
本题考查三次函数的极值以及函数的零点，后者应结合函数的单调性来讨论，注意合理构建新函数.
巩固练习
练习一 讨论零点个数
1．已知函数，.
(1)判断函数的零点个数；
(2)比较，，的大小，并说明理由.
【答案】(1)一个零点
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）对二次求导，求出的单调性及极值，判断出的零点个数；（2）对要比较大小的式子进行整理变形，结合第一问函数的单调性进行证明.
(1)
，，
设，则
因此在上单调递减，又，所以当时，，
即，在上单调递增，当时，，即，在上单调递减，所以在处有极大值，
又，故有且仅有一个零点.
(2)
因为，，
由（1）可知，当时，恒成立，又，
所以，又对于任意的时
，所以，
即，因为，所以，
所以.
【点睛】
导函数比较函数值的大小，通常会构造函数，或者对函数值进行变形，本题中，是关键，再结合函数单调性进行比较.
2．已知函数.
(1)当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域；
(2)设函数f（x）的导函数为，讨论零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【解析】
【分析】
（1）通过多次求导的方法判断出在区间上的单调性，由此求得在上的值域.
（2）令，对进行分类讨论，结合导数判断出零点个数.
(1)
当时，，
，′
所以在上递增，，
所以在上递增，，
所以在上递增，.
所以在上的值域.
(2)
，，
当时，，，即是的唯一零点.
当时，，结合的图象以及性质可知，
，在区间递减；
在区间递增，所以，故.
，，
所以在区间递减；在区间递增，
所以，所以在区间上有.
所以，没有零点.
当时：
令，
，
所以在上递增，
由与的图象可知，在区间上，存在唯一，使①，
即.
所以在区间递减；在区间递增，
所以当时，取得极小值也即是最小值，
由①得，所以；
由①得，
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以当，即时，，则也即没有零点；
当，即时，也即有唯一零点.
当，即，，则也即有个零点.
综上所述：
当或时，有唯一零点；
当时，没有零点；
当，时，有个零点.
【点睛】
在利用导数求解函数单调性、极值、最值的过程中，若一次求导无法解决的，可考虑二次或多次求导来进行求解.求解过程中要注意导函数和原函数之间的关系.
3．已知函数，．
(1)当，时，求证：恒成立；
(2)当时，探讨函数的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，有2个零点，当时，有1个零点，当时，有3个零点
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得解析式，求导，令，求得极值点，分析可得和时，的单调性，分析即可得证
（2）分别讨论、a=0和三种情况，根据对数函数、二次函数的性质，利用导数判断函数单调性和极最值，分析即可得答案.
(1)
当，时，，
所以，
令，解得x=1，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即恒成立.
(2)
当时，，
令，则，
当，函数为开口向上的抛物线，且，
所以与图象有2个交点，如图所示
当a=0时，，解得x=1，故只有1个零点；
当时，
令，为开口向上的抛物线，
令，解得，
此时恒成立，所以为单调递增函数，又，
所以有唯一根x=1，即有1个零点；
令时，解得或（舍），
此时令，解得，
因为，所以，
所以，
所以当时，，即，所以为增函数，
当时，，即，所以为减函数，
又，
所以，
当时，，
所以时，存在唯一x，使，
，且，
所以时，存在唯一x，使，
所以有三个根，即有3个零点
综上：当时，有2个零点，
当时，有1个零点，
当时，有3个零点
4．已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)函数在上的零点的个数为，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先对函数进行求导，在对进行讨论，即可求出答案.
（2）先写出函数的解析式，在对函数进行求导，再分两种情况对进行讨论，当时，利用零点存在性定理和隐零点求出有两个零点，当时，无零点.
(1)
，
①当 ，即时，得恒成立，此时函数在R上单调递增，故函数在R上无最大最小值
②当，即时，由，解得，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以时，取最小值
即
综上所述：当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)
，则
①当时，由在区间上单调递减，知：在上单调递增，且，，知：函数在上有唯一的零点.
当时，由，知：在上单调递减，同理可知：在上单调递增.由，，，
故函数在区间上有两个不同的零点.
②当时，由，
构造函数，则由恒成立，知：函数在上单调递增，故：，由，知：函数在上恒成立，即恒成立，此时函数无零点.
综上，函数在上的零点的个数为.
练习二 根据零点个数求参数范围
5．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求f(x)导数，讨论的正负，由此可判断f(x)单调性；
(2)参变分离为，问题转化为求的值域.
(1)
，
时，，在R上单调递减；
时，，，单调递增，
，，单调递减；
综上，时，在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在单调递增，在单调递减.
(2)
，
令，
则，
∴g(x)在(1，e)上单调递增，
∴
∴.
【点睛】
本题关键是参变分离，构造新函数，将方程有解问题转化为求函数的值域问题.
6．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)当时，在上为减函数，时，在上递减，在上递增，
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数求导后，分和两种情况判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由（1）可知当时，有可能有两个零点，求出，然后分，和三种情况讨论函数最小值的正负，从而可求得结果
(1)
定义域为，
由，
得，
当时，，所以在上为减函数，
当时，令，则，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
综上，当时，在上为减函数，时，在上递减，在上递增，
(2)
由（1）可知，当时，在上为减函数，则至多有一个零点，
所以，由（1）得在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
即
，
当时，，所以只有一个零点，不合题意，
当时，则，所以没有零点，不合题意，
当时， ，即，
因为，
所以在上有一个零点，
取正整数，满足，则
，
因为，
所以在上有一个零点，
所以当时，有两个零点，
所以a的取值范围为
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出函数的最小值后，结合函数图象的变化情况，要使其最小值小于零即可，然后分情况讨论，考查数学分类思想，属于较难题
7．若函数，当时，函数有极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程有三个解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）列出关于的方程组，即可求得的值，代入即得函数的解析式；
（2）依据的导函数可得到函数的单调性与极值，方程有三个解，可转化为函数的图像与直线有三个交点，即可求得实数k的取值范围．
(1)
，则
则，解之得，则
(2)
，则，令，则或
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减
则在时取得极大值
在时取得极小值
关于x的方程有三个解，
等价于函数的图像与直线有三个交点，则
8．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
【答案】(1)详见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导数，分和讨论函数的单调性；
（2）参变分离后得，再设，，根据两个函数的图象，求得实数的取值范围.
(1)
，
当时，，函数在单调递增，
当时，，得
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上可知，当时，函数在单调递增，
当时，函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是
(2)
由，化简为，
设，设，则，
，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，函数的最大值，
画出函数的图象，由图可知与的交点对应的，一正一负，
如图，画出函数的图象，
当，时，对应的值有3个，
在单调递增，当时，
所以利用导数求函数的零点
常见考点
考点一 讨论零点个数
典例1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数问题
(3)当时，证明不等式．
变式1-1．已知时，函数的图象恒在直线的上方．
(1)求证：当时．；
(2)求函数在上的零点个数．
变式1-2．已知函数，
(1)证明：函数f（x）在内有且仅有一个零点；
(2)假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数的零点个数.
变式1-3．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数.
考点二 根据零点个数求参数范围
典例2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若只有一个零点，求的取值范围．
变式2-1．已知函数，其中，e为自然对数的底数，
(1)若函数在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：
变式2-2．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值.
(1)求实数a的值；
(2)函数y＝f（x）有三个零点，求m的取值范围.
变式2-3．已知函数，当时，函数取得极值.
（1）求实数a的值；
（2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.
巩固练习
练习一 讨论零点个数
1．已知函数，.
(1)判断函数的零点个数；
(2)比较，，的大小，并说明理由.
2．已知函数.
(1)当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域；
(2)设函数f（x）的导函数为，讨论零点的个数.
3．已知函数，．
(1)当，时，求证：恒成立；
(2)当时，探讨函数的零点个数．
4．已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
练习二 根据零点个数求参数范围
5．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
6．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
7．若函数，当时，函数有极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程有三个解，求实数k的取值范围．
8．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.

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