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2024年陕西省西安市高新一中博雅班中考数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列实数是无理数的是（）
A. 3.1415926 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
解：A．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 如图是由一个正方体，截去了一部分后得到的几何体，则其左视图是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据从左边看到的图形是左视图求解即可．
解：从左面看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线，
故选：D．
3. 计算：（）
A. B. C. 8a6b3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂．熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
根据负整数指数幂的运算法则求解作答即可．
解：，
故选：A．
4. 如图，在中，，，，将沿方向平移得到，若平分，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，从而，，，在中，，设，则，，再证，由，求解得，从而即可得解．
解：由平移得：，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，角平分线的定义，正切，勾股定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
5. 若一次函数图象经过点、点和点，则m、n的大小关系为（）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质中的函数增减性的知识，解决本题的关键是根据函数的比例系数确定函数的增减性，然后确定两个未知数的大小．根据一次函数的图象经过点，，确定函数增减性，再进一步可得答案．
解：∵时，，
∴一次函数的图象经过点，
∵一次函数的图象经过，而，
∴该函数图象y随x的增大而增大，
∵一次函数的图象经过点、点，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，在矩形中，，点是上的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别是、，若，则的值为（）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算以及求正切值，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，由得，，利用勾股定理求解即可．
】解：连接，过作于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7. 如图，是的半径，弦垂直平分于点，点是优弧上一点，连接，若，则的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，判定是等边三角形，得到由圆周角定理得到，由三角形内角和定理得到，由对顶角的性质得到，由直角三角形的性质求出．
解：连接，，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，若二次函数的图象只经过三个象限，则下列说法正确的是（）
A. 抛物线的顶点在第二象限 B. 的值一定大于
C. 抛物线一定过点 D. 当时，随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键．
解：由题意，对称轴是直线．
∵当时，，
∴图象与轴交于点．
根据对称性，
∴当时，，即抛物线一定过点，故C错误．
又图象经过三个象限，
∴，且．
∴．
∴顶点在第三象限，当时，随的增大而增大．
故A、D错误，B正确．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 2024年3月12日的《政府工作报告》中指出，在过去的一年我国经济总体回升向好，其中2023年城镇新增就业1244万人，请将数字用科学记数法表示为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
解：．
故答案为．
10. 一个边长为2cm的正多边形，它的每一个内角都是外角的2倍，则这个正多边形的边心距是_____cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆．根据正多边形内角与外角的关系求出正多边形的外角的度数，进而正多边形的边数，再根据正六边形的性质进行计算即可．
解：设这个正多边形的外角为，则与它相邻的内角为，由题意得，
，
解得，
，
所以这个正多边形是正六边形，
如图，正六边形内接于，连接、，过点作，垂足为，
六边形是的内接正六边形，
，
，，
，
在中，，，
，
即正六边形的边心距为．
故答案为：．
11. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用．设第三行第一列的数字为，根据幻方中每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等分别表示出第二行第三列的数字、第二行第二列的数字，进而根据第三行数字之和等于第二行数字之和列出方程，即可求解．
解：设第三行第一列的数字为，
则第三行数字之和为，
由第三行数字之和等于第三列数字之和，得第二行第三列的数字为，
由第三行数字之和等于对角线数字之和，得第二行第二列的数字为，
由第三行数字之和等于第二行数字之和，得，
解得．
故答案为：．
12. 如图，菱形在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，对角线交y轴于点E，交于点F，反比例函数图象恰好经过点F，反比例函数的图象也恰好经过点D，若时，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，求反比例函数解析式，根据菱形的性质得出，，设，则，得出，表示出，根据反比例函数图象恰好经过点F，得出，即可求出结果．
解：菱形中，，，
∵B、C在x轴上，点A在y轴正半轴上，
∴轴，
∵，
∴设，则，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∵，
∴对角线与的交点，
∵反比例函数图象恰好经过点F，
∴，
∴．
故答案为：20．
13. 如图，在正方形中，，连接，点P为内部一点，连接、、，若，，则面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由同角的余角相等，由正方形的性质得到，进而，从而，把绕着点B顺时针旋转得到，连接，得到和是等腰直角三角形，设，则，，根据勾股定理有，代入即可构造方程，求得，，根据即可求解．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
把绕着点B顺时针旋转得到，连接，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设，
，
∴，
，
，
，
，
（负值舍去），
，，
∴
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线，采用转化思想是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握零指数幂运算法则，二次根式化简，二次根式化简是解题的关键．先计算乘方，并化简二次根式，再计算加减即可．
解：
＝．
15. 解不等式：，并写出它最小正整数解．
【答案】，不等式的最小整数解为．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可．
解：∵，
∴，
，
，
，
则，
∴不等式的最小整数解为．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据分式的混合计算法则，先通分，再乘法运算，约分即可得到最简结果．
解：
＝
＝
＝
＝．
17. 如图，在，，，平分交于点E，请用尺规作图法在上确定一个点F，使得．（保留痕迹，不写作法）
【答案】见解析．
【解析】
【分析】连接，，相交于点O，连接并延长，交于点G，再根据作一个角等于已知角的方法作，与交于点F，则点F即为所求作的点．
解：如图，连接，，相交于点O，连接并延长，交于点G，再根据作一个角等于已知角的方法作，与交于点F，则点F即为所求作的点．
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由，可得，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∴点F即为所求．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
18. 如图，已在与中，，，，，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．根据，，，从而得出，，结合，即可得出，进而可以解决问题．
证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
19. 春季来临某商场销售一种新款服装，销售一段时间后发现，若每件服装按标价的9折销售，卖出10件可以获利润120元；若每件服装不打折销售则可获利30元，请问该服装的进价和标价分别为多少．
【答案】服装每件的进价为元，标价为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键．设该服装每件的进价为元，根据题意，得，求解即可．
解：设该服装每件的进价为元，则标价为元，
根据题意得：，
解得：，
∴，
答：服装每件的进价为元，标价为元．
20. 在一个不透明的袋子里装有红、白、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余均相同），其中红球有2个，白球有2个，我们将“从袋中任意摸出一个小球，记录下颜色放回”称为一次实验，经过大量实验并整理实验数据后发现，任意摸出一个球是白色的频率稳定在．
（1）袋子中装有蓝色的小球的个数为______个．
（2）某校在3月5日开展了“学雷锋，践行动”主题校会，小明被“雷锋生平事迹”深深地打动着，他和好朋友决定用实际行动来发扬“雷锋精神”，他们计划去敬老院给老年人表演节目、打扫卫生等，为了确定表演节目和打扫卫生人选，小明用袋子中的小球设计一个“配紫色”游戏，具体操作如下：现在从袋子里一次取出两个小球并记下取出小球的颜色，若取出的两个小球颜色分别为蓝色和红色则配成紫色，否则不能配成紫色，如果配成紫色小明表演节目，否则小明打扫卫生，请用树状图或列表法求出小明表演节目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了频率，利用树状图或列表法求概率：
（1）设蓝色的小球的个数为x个，根据频率等于频数除以总数，即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，可得共有25种等可能的结果数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果数（即两次摸到的球的颜色为红色和蓝色的结果数）为4，再由概率公式计算，即可．
【小问1】
解：设蓝色的小球的个数为x个，
根据题意得，，
解得∶，
经检验，是原方程的解，
答：袋子中装有蓝色的小球的个数为1个．
故答案为：1；
【小问2】
解：画树状图为：
共有25种等可能的结果数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果数（即两次摸到的球的颜色为红色和蓝色的结果数）为4，
所以两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率，
答：小明表演节目的概率为．
21. 小明暑假来到了“十三朝古都西安”进行研学旅行，他参观了兵马俑、钟楼、明城墙，在参观中他对城墙的高度产生极大的兴趣，他想用学过的数学知识来测量城墙的高度，由于城墙的外侧有护城河，所以城墙的底部不可到达，于是他在护城河边的围栏点处（在安全范围内）利用测倾器测量城墙上一点的仰角为，在阳光的照射下，他发现城墙上点的影子落在了他身后米的点处，于是他站在点发现他的影子落在地上点处，经过测量得知的长为米，已知小明的身高为米，、、、在一条直线上，且，，请你根据以上数据帮助小明算出城墙的高．（参考数据：s，，）
【答案】城墙的高为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设＝米，在中，得出，进而根据，则，得出即可求解．
解：设＝米，
在中，
＝，＝，
米，
＝＝（）米，
由题意得，，则
∴
即，
，
解得＝，
答：城墙的高为米．
22. 小明在学习完物理中的“比热容和电功率”相关知识后，通过查阅资料了解到用额定功率为1000瓦的电水壶将1升的水加热至100摄氏度大约需要用6分钟．小明想知道烧水时间的长短和水温的变化之间是怎样的一种函数关系，用1000瓦的电水壶烧了1升的水，并详细记录了5分钟内4个时刻的水温情况，其中x表示的烧水时间（单位：分钟），y表示的是水的温度（单位：℃）
x 0 1 2 3
y 15 30 45 60
为了描述烧水时间和水温的关系，现有以下三种函数类型供选择：①；②；③．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数类型，求出相应的函数表达式．
（2）汉中仙毫茶名满天下，尤其是“明前仙毫”更是风味独特，经了解用96摄氏度的水冲泡汉中仙毫能激发出最大的茶香气，请问小明用家里1000瓦的电水壶烧水多长时间冲泡茶，茶香最大．
【答案】（1）图见解析，
（2）小明用家里1000瓦的电水壶烧水分钟时间冲泡茶，茶香最大
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
（1）根据表格数据，画出函数图象并求出函数解析式即可；
（2）令代入（1）中的解析式求出的值即可．
【小问1】
解：作图如下：图象是一次函数，
设一次函数解析式为，
图象过，代入解析式得：，
解得，
∴直线解析式为：．
【小问2】
解：令，则，
解得（分钟）．
答：小明用家里1000瓦的电水壶烧水分钟时间冲泡茶，茶香最大．
23. 2022年4月国家颁布了《义务教育劳动课程标准》，课程颁布两年以来各校开展了丰富多彩的劳动教育课，学生的劳动能力得到大幅提升．某校利用教学楼楼顶为学生开辟了“学生种植园”，春天来了，万物复苏，经过一个冬天的劳作种植园里硕果累累，小明想了解种植园中的小西红柿生长情况，于是随机采摘了16个小西红柿并称重，得到了如下的数据（单位：g）：18、16、17、21、25、28、21、18、17、15、16、21、21、18、25、23．
小明根据以上数据制作了统计表
质量 15 16 17 18 21 23 25 28
次数 1 2 2 b a 1 2 1
（1）表格中的_____；_____；
（2）这16个小西红柿质量的中位数是_____；众数是_____；
（3）经了解当小西红柿的平均质量达到时就可以采摘食用，此时的口感和营养价值最佳，请问种植园里小西红柿是否符合采摘食用的要求．
【答案】（1）4，3（2）19.5，21
（3）种植园里小西红柿符合采摘食用的要求
【解析】
【分析】本题考查频数、中位数、众数等统计量，用平均数进行决策．
（1）分别统计数据中21和18出现的次数，即可解答；
（2）根据中位数与众数的定义即可解答；
（3）求出这16个小西红柿质量的平均数，判断是否达到，从而解答．
【小问1】
解：根据给出的数据得到：质量为21的出现4次，质量为18的出现3次．
∴，．
故答案为：4，3
【小问2】
解：把这些数据从小到大排列，第8个数据是18，第9个数据是21，故中位数是这两个数的平均数，即，
由表格可得，21出现的次数最多，故众数是21；
故答案为：19.5，21；
【小问3】
解：这些小西红柿的平均质量为
，
∵小西红柿的平均质量达到时就可以采摘食用，
∴种植园里小西红柿符合采摘食用的要求．
24. 如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到结论；
（2）由（1）知，，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论；
【小问1】
连接为直径，
∵为直径，
∴，
∴，
∵过点C作的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2】
由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标．
（2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，求二次函数的解析式：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设交于点N，根据为等腰直角三角形，可得，设点，可得点P的横坐标为5，由（1）得：原抛物线的对称轴为直线，从而得到新抛物线的顶点坐标为，即可求解．
【小问1】
解：由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为：；
【小问2】
解：如图，设交于点N，
∵为等腰直角三角形，
∴，
设点，则
，
解得：（舍去）或5，
即点P的横坐标为5，
由（1）得：原抛物线的对称轴为直线，
∴新抛物线的对称轴为直线，
∴新抛物线的顶点坐标为：，
∴抛物线的解析式为：．
26. （1）如图①，在中，过点作于点，过点作于点，若，，，则的长为___________．
（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形内部一点，且满足，则点到的最小距离为多少．
（3）如图③，小明家有一个边长为10米的正方形空地，点为边上一点且米，小明计划在边上任取一点，以为边在上方修建一个面积为16平方米的矩形草莓种植大棚（即为矩形且面积为16平方米），同时计划利用区域种植葡萄，剩下区域栽种花卉和草坪，由于近几年葡萄的销量不好，所以小明计划在不减少草莓种植面积的条件下减少葡萄种植区域的面积，请你帮助小明计算出当葡萄种植区域面积最小时的长为多少．
【答案】（1）2；（2）点P到AD的最小距离为2；（3）当葡萄种植区域面积最小时BE的长为4米．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，平行四边形的性质和平行四边形的面积公式解答即可；
（2）取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则，当，，三点在一条直线上时，取得最小值，利用矩形的判定与性质和直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
（3）过点作于点，设，，利用相似三角形的判定与性质得到与的函数关系式，利用配方法和非负数的应用求得的最大值；过点作于点，延长，交于点，利用矩形的判定与性质和题意，当取得最大值时，取最小值，即葡萄种植区域面积最小，从而得到值，再利用解答即可．
解：（1），，，
．
四边形为平行四边形，
，．
，
．
，
，
．
．
故答案为：2；
（2）取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，如图，
则为到的距离．
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
，为的中点，
．
，
，
当，，三点在一条直线上时，取得最小值为2．
点到的最小距离为2；
（3）过点作于点，如图，
设，，
四边形为矩形且面积为16平方米，
．
，，
．
，，
．
，
，
，
，
，
当时，即时，取得最大值．
过点作于点，延长，交于点，
∵，
，
，
四边形为矩形，
（米，
同理：四边形为矩形，
．
减少葡萄种植区域的面积，
葡萄种植区域面积最小时，即的面积最小，
米，
取最小值时，的面积最小．
，
当取得最大值时，取最小值．
由题意：当取得最大值时，取得最大值，此时．
．
当葡萄种植区域面积最小时的长为4（米）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的的性质，配方法，点到直线的距离，熟练掌握矩形的判定与性质和恰当的添加辅助线是解题的关键．2024年陕西省西安市高新一中博雅班中考数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列实数是无理数的是（）
A. 3.1415926 B. C. D.
2. 如图是由一个正方体，截去了一部分后得到的几何体，则其左视图是（）
A. B. C. D.
3. 计算：（）
A. B. C. 8a6b3 D.
4. 如图，在中，，，，将沿方向平移得到，若平分，则的长为（）
A. B. C. D.
5. 若一次函数的图象经过点、点和点，则m、n的大小关系为（）
A. B. C. D. 无法确定
6. 如图，在矩形中，，点是上的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别是、，若，则的值为（）
A2 B. C. D.
7. 如图，是的半径，弦垂直平分于点，点是优弧上一点，连接，若，则的大小为（）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，若二次函数图象只经过三个象限，则下列说法正确的是（）
A. 抛物线的顶点在第二象限 B. 的值一定大于
C. 抛物线一定过点 D. 当时，随的增大而增大
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 2024年3月12日的《政府工作报告》中指出，在过去的一年我国经济总体回升向好，其中2023年城镇新增就业1244万人，请将数字用科学记数法表示为__．
10. 一个边长为2cm的正多边形，它的每一个内角都是外角的2倍，则这个正多边形的边心距是_____cm．
11. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中x的值为______．
12. 如图，菱形在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，对角线交y轴于点E，交于点F，反比例函数图象恰好经过点F，反比例函数的图象也恰好经过点D，若时，则k的值为______．
13. 如图，在正方形中，，连接，点P为内部一点，连接、、，若，，则的面积为______．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 解不等式：，并写出它的最小正整数解．
16. 化简：．
17. 如图，在，，，平分交于点E，请用尺规作图法在上确定一个点F，使得．（保留痕迹，不写作法）
18. 如图，已在与中，，，，，求证：．
19. 春季来临某商场销售一种新款服装，销售一段时间后发现，若每件服装按标价的9折销售，卖出10件可以获利润120元；若每件服装不打折销售则可获利30元，请问该服装的进价和标价分别为多少．
20. 在一个不透明的袋子里装有红、白、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余均相同），其中红球有2个，白球有2个，我们将“从袋中任意摸出一个小球，记录下颜色放回”称为一次实验，经过大量实验并整理实验数据后发现，任意摸出一个球是白色的频率稳定在．
（1）袋子中装有蓝色的小球的个数为______个．
（2）某校在3月5日开展了“学雷锋，践行动”主题校会，小明被“雷锋生平事迹”深深地打动着，他和好朋友决定用实际行动来发扬“雷锋精神”，他们计划去敬老院给老年人表演节目、打扫卫生等，为了确定表演节目和打扫卫生人选，小明用袋子中的小球设计一个“配紫色”游戏，具体操作如下：现在从袋子里一次取出两个小球并记下取出小球的颜色，若取出的两个小球颜色分别为蓝色和红色则配成紫色，否则不能配成紫色，如果配成紫色小明表演节目，否则小明打扫卫生，请用树状图或列表法求出小明表演节目的概率．
21. 小明暑假来到了“十三朝古都西安”进行研学旅行，他参观了兵马俑、钟楼、明城墙，在参观中他对城墙的高度产生极大的兴趣，他想用学过的数学知识来测量城墙的高度，由于城墙的外侧有护城河，所以城墙的底部不可到达，于是他在护城河边的围栏点处（在安全范围内）利用测倾器测量城墙上一点的仰角为，在阳光的照射下，他发现城墙上点的影子落在了他身后米的点处，于是他站在点发现他的影子落在地上点处，经过测量得知的长为米，已知小明的身高为米，、、、在一条直线上，且，，请你根据以上数据帮助小明算出城墙的高．（参考数据：s，，）
22. 小明在学习完物理中的“比热容和电功率”相关知识后，通过查阅资料了解到用额定功率为1000瓦的电水壶将1升的水加热至100摄氏度大约需要用6分钟．小明想知道烧水时间的长短和水温的变化之间是怎样的一种函数关系，用1000瓦的电水壶烧了1升的水，并详细记录了5分钟内4个时刻的水温情况，其中x表示的烧水时间（单位：分钟），y表示的是水的温度（单位：℃）
x 0 1 2 3
y 15 30 45 60
为了描述烧水时间和水温的关系，现有以下三种函数类型供选择：①；②；③．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应点，再选出最符合实际的函数类型，求出相应的函数表达式．
（2）汉中仙毫茶名满天下，尤其是“明前仙毫”更是风味独特，经了解用96摄氏度的水冲泡汉中仙毫能激发出最大的茶香气，请问小明用家里1000瓦的电水壶烧水多长时间冲泡茶，茶香最大．
23. 2022年4月国家颁布了《义务教育劳动课程标准》，课程颁布两年以来各校开展了丰富多彩的劳动教育课，学生的劳动能力得到大幅提升．某校利用教学楼楼顶为学生开辟了“学生种植园”，春天来了，万物复苏，经过一个冬天的劳作种植园里硕果累累，小明想了解种植园中的小西红柿生长情况，于是随机采摘了16个小西红柿并称重，得到了如下的数据（单位：g）：18、16、17、21、25、28、21、18、17、15、16、21、21、18、25、23．
小明根据以上数据制作了统计表
质量 15 16 17 18 21 23 25 28
次数 1 2 2 b a 1 2 1
（1）表格中的_____；_____；
（2）这16个小西红柿质量的中位数是_____；众数是_____；
（3）经了解当小西红柿的平均质量达到时就可以采摘食用，此时的口感和营养价值最佳，请问种植园里小西红柿是否符合采摘食用的要求．
24. 如图，内接于，为直径，过点C作切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求出抛物线L解析式和顶点坐标．
（2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式．
26. （1）如图①，在中，过点作于点，过点作于点，若，，，则的长为___________．
（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形内部一点，且满足，则点到的最小距离为多少．
（3）如图③，小明家有一个边长为10米的正方形空地，点为边上一点且米，小明计划在边上任取一点，以为边在上方修建一个面积为16平方米的矩形草莓种植大棚（即为矩形且面积为16平方米），同时计划利用区域种植葡萄，剩下区域栽种花卉和草坪，由于近几年葡萄的销量不好，所以小明计划在不减少草莓种植面积的条件下减少葡萄种植区域的面积，请你帮助小明计算出当葡萄种植区域面积最小时的长为多少．

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