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独立性检验
常见考点
考点一 独立性检验
典例1．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：
(1)求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；
(2)老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下2×2列联表：
混动版 纯电动版 合计
男 25
女 15 60
合计 70
请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．
附：，其中．
0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)平均值为4.79，
(2)列联表见解析，有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的计算公式求得综合评测分数的平均值；根据古典概型的概率公式即可求得指标分数为4.93的概率；
（2）根据表中数列可算出需要补充的数据；计算出 的值，和题中已知的表格数据相比较，可得答案.
(1)
平均值为，
8个指标中分数为4.93的指标有3个，
故从8个指标中任选1个，指标分数为4.93的概率为;
(2)
混动版 纯电动版 合计
男 55 25 80
女 15 45 60
合计 70 70 140
由于,
所以有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．
变式1-1．数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：
小学及以下 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生及以上
不了解数字人民币 35 35 80 55 64 6
了解数字人民币 40 60 150 110 140 25
(1)如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；
低学历 高学历 合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计 800
(2)根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析
(2)没有
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据，填写列联表即可；
（2）由，根据列联表数据计算，与临界值比较即可
(1)
完成的列联表如下：
低学历 高学历 合计
不了解数字人民币 150 125 275
了解数字人民币 250 275 525
合计 400 400 800
(2)
根据列联表得：，
故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．
变式1-2．某校开展党史知识竞赛.现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)估计这n名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 不优秀 合计
男生 40
女生 50
合计
参考公式及数据：，.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)
(3)列联表答案见解析，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”
【解析】
【分析】
(1)根据频率直方图的特征可知所有的频率之和为1，列出方程，解方程即可；
(2)根据频率直方图，利用每组的组中值乘以对应的频率，加起来即可；
(3)根据题意补充列联表，利用卡方的计算公式求出，结合表中的数据即可得出结论.
(1)
由题可得
，解得.
(2)
平均成绩为：，
(3)
∵不及格的人数为15人，
∴抽取的总人数为，
∴比赛成绩优秀的有人，
由此可得完整的2×2列联表：
优秀 非优秀 合计
男生 10 40 50
女生 25 25 50
合计 35 65 100
.
∴没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”
变式1-3．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝以上的”为常喝.已知在所有的人中随机抽取人，患糖尿病的概率为.
常喝 不常喝 合计
有糖尿病
无糖尿病
合计
(1)请将上表补充完整，并判断是否有的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；
(2)已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这人中随机抽取人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
参考公式及数据：，.
【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为糖尿病与喝酒有关
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）设两名老年人分别为、，其余四名中年人为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：由题意知，所以，糖尿病患者共有8名，其中不常喝酒的有名，
则列联表如下：
常喝 不常喝 合计
有糖尿病
无糖尿病
合计
由表中的数据可得，
因此，有的把握认为糖尿病与喝酒有关.
(2)
解：设两名老年人分别为、，其余四名中年人为、、、，
则所有可能出现的结果有、、、、、、、
、、、、、、、，共种，
其中事件“有一名老年人和一名中年人”包含的结果有：、、、、、、、，有种，
因此，恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
典例2．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：
优秀 良好 及格 不及格
男生 100 200 780 120
女生 120 200 520 120
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）
达标 不达标 合计
男生
女生
合计
(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)表格见解析，没有；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）完成列联表，再利用独立性检验求解；
（2）由题得的所有可能取值为0，1，2，3，4，再求出对应的概率，即得分布列和期望.
(1)
解：由题得列联表如下：
达标 不达标 合计
男生 1080 120 1200
女生 840 120 960
合计 1920 240 2160
没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.
(2)
解：由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.
的所有可能取值为0，1，2，3，4.
的分布列为：
0 1 2 3 4
.
变式2-1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至20日在北京举行.践行“绿色奥运 科技奥运 人文奥运”理念，举办一届“有特色 高水平”的奥运会，是中国向世界的庄严承诺.为宣传北京冬奥会，某市开展了冬奥知识竞答活动.从参与的市民中随机抽取100人，统计他们的竞答成绩得到下面的列联表（单位：人）.
成绩合格 成绩不合格 合计
男性 40 50
女性 20
合计
(1)完成列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关？
(2)将频率视为概率，从该市所有参与冬奥知识竞答的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中成绩合格的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
参考公式：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)列联表答案见解析，有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关
(2)期望，方差
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据可得列联表，计算后可得结论；
（2）由题意得，由二项分布的期望公式和方差公式计算可得．
(1)
完成列联表（单位：人）：
成绩合格 成绩不合格 合计
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
由列联表，的观测值，
∴有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关.
(2)
从参与的市民中随机抽取100人，有70人竞答成绩合格，所以成绩合格的频率为0.7，将频率视为概率，从该市所有参与活动的市民中随机抽取一人，恰好抽到成绩合格的市民的概率为0.7，
由题意知，
∴随机变量X的数学期望，
方差.
变式2-2．从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.
数学得分 注意力集中水平得分 120分以下 120分以上（含120分）
500分以上（含500分） 100 180
500分以下 150 70
(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？
(2)若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量，求的数学期望.
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
（，其中）
【答案】(1)有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，代入求观测值公式，求出观测值同临界值进行比较即可得出结论；
（2）根据二项分布期望计算公式，计算出数学期望.
(1)
由列联表中数据计算可得，的观测值为
所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关.
(2)
从列联表可知，数学得分在分以上(含分)
且注意力集中水平得分在分以上(含分)的频率为，
由题意知，所以.
变式2-3．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，对市场上这个品牌汽车车主的性别情况进行了调查统计.
(1)统计数据得到如下列联表：
混动版 纯电动版 合计
男 25
女 15 60
合计 70
请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9％的把握认为喜欢哪款车型和性别有关；
(2)若两款汽车的操控性能优秀率均为，动力性能优秀率均为，老李又对这两款车型进行操控性能和动力性能测试（假设进行的各项测试之间互相不影响），求两款车型的这两项测试中恰有2项指标优秀的概率.
附：，其中.
0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照独立性检验公式进行计算即可；
（2）分别计算两款操控性能优秀、两款动力性能优秀、一款操控性能优秀一款动力性能优秀的概率，相加求和即可.
(1)
男：55 80
女：45
合计：70 140（列出表格也得分，其他形式答案正确即可得分）
由于，
所以有99.9％的把握认为喜欢哪款车型和性别有关.
(2)
记Y表示混动版测试指标优秀的项目数，Z表示纯电动版测试指标优秀的项目数，则“两款车型这两项测试中恰有2项指标优秀”的概率为
.
巩固练习
练习一 独立性检验
1．每年的六、七月份，我国长江中下游地区进入梅雨季节，如图是江南某镇2012~2021年梅雨季节的降雨量（单位：mm）的频率分布直方图．
(1)请用样本平均数估计该镇明年梅雨季节的降雨量；
(2)该镇某杨梅种植户统计了他种植的某品种杨梅在2012~2021年的亩产量（单位：kg），得到如下列联表（部分数据缺失），依据的独立性检验，能否认为该品种杨梅的亩产量与降雨量有关？（完善列联表，并说明理由）
单位：年
亩产量 降雨量 合计
<600 1
≥600 1
合计 10
【答案】(1)
(2)表格见解析，认为该品种杨梅的亩产量与降雨量有关
【解析】
【分析】
(1)先求出降雨量在内的频率，再根据频率直方图求平均数的计算公式直接计算即可；
(2)先求出降雨量在内的频数，再补全列联表，根据卡方的计算公式求出，利用独立性检验的思想即可得出结论.
(1)
样本中降雨量在内的频率为，
所以样本平均数为，
所以该镇明年梅雨季节的降雨量约为．
(2)
根据频率分布直方图可知，降雨量在内的频数为．
补全列联表如下：
单位：年
亩产量 降雨量 合计
<600 1 2 3
≥600 6 1 7
合计 7 3 10
则．
所以根据小概率值的独立性检验，认为该品种杨梅的亩产量与降雨量有关．
2．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：
托运行李重量/kg
头等舱乘客人数 8 33 12 2
经济舱乘客人数 37 5 3 0
合计 45 38 15 2
(1)请完成如下的2×2列联表，依据的独立性检验，能否认为托运行李重量与乘客乘坐的机舱等级有关？
单位：人
机舱等级 托运行李重量 合计
免费 超额
头等舱
经济舱
合计
(2)调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李重量超出免费行李额且不超出10kg的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与均值．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
【答案】(1)表格见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为托运行李重量与乘客乘坐的机舱等级有关.
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）依据独立性检验的概念，先计算，再进行判断即可.
（2）依题意，行李重量超出免费行李额且不超出10kg的旅客共7人，先明确随机变量X的取值，然后利用超几何分布列出分布列.
(1)
补全2×2列联表如下：
单位：人
机舱等级 托运行李重量 合计
免费 超额
头等舱 53 2 55
经济舱 37 8 45
合计 90 10 100
假设为：托运行李重量与乘客乘坐的机舱等级无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为托运行李重量与乘客乘坐的机舱等级有关．
(2)
根据题意可得，托运行李重量超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人，从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1，2，3，4，所以X的所有可能取值为100，200，300，400，，，，，
则X的分布列为
X 100 200 300 400
P
故．
3． “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：
(1)利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；
(2)把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.
男 女 合计
30
合计 45
附表：
P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2＝.
【答案】(1)，
(2)列联表见解析，没有
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的定义求平均数，由于前2组的频率和恰好为，从而可求出中位数，
（2）根据频率分布表结合已知的数据计算完成列联表，然后计算χ2公式计算χ2，再根据临界值表比较可得结论
(1)
以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值为
0.
频率直方图中第一组、第二组的频率之和为，
中位数；
(2)
把下表中空格里的数填上，得列联表如下；
男 女 合计
25 25 50
20 30 50
合计 45 55 100
计算，
所以没有的把握认为网购消费与性别有关.
4．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h）按分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．
支持上网课 不支持上网课
家长 30 70
学生 50 50
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)0.03，13.35；
(2)有
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解，再利用平均数的定义求解；
（2）根据列联表求得的值，再与临界值表对照下结论.
(1)
解：因为，
所以，
平均数为；
(2)
因为，
所以有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．
5．2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为10．
(1)请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；
返赣人员 本地人员 合计
男 15
女 10 40
合计
(2)据了解，该地区今年返赣人员占．现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）由题意可得列联表，根据表格中的数据，代入公式，求出观测值同临界值进行比较即可得出结论；
（2）根据独立重复试验概率计算公式，计算出概率可得分布列并求得数学期望.
(1)
由频率分布直方图可知年龄在上的占比为
，
根据已知人数为10计算可得总人数为80，列联表如下：
返赣人员 本地人员 合计
男 25 15 40
女 10 30 40
合计 35 45 80
∴，
所以有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关．
(2)
X的取值可为0，1，2，3，
，，
，．
故分布列为：
X 0 1 2 3
P
于是.
6．受新冠肺炎疫情的影响，各地推出务工人员就地过年的鼓励政策．某市随机抽选了100名男务工人员和100名女务工人员，调查他们是否有就地过年的意愿，结果如下：
有就地过年的意愿 无就地过年的意愿
男务工人员 80 20
女务工人员 60 40
(1)能否有99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关
(2)若用频率估计概率，从该市所有女务工人员中随机抽取3人进行深入调查，表示抽取的女务工人员无就地过年的意愿的人数，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】(1)没有99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关
(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】
（1）计算出后比较临界值可得结论；
（2）由于，由二项分布可得分布列，由二项分布的期望计算出期望.
(1)
，
故没有99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关．
(2)
由题意可知．
所以X的取值范围是，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
7．2021年1月以来，教育部相继出台文件，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所需时间进行统计，部分数据如下表：
单位：人
完成作业所需时间 性别 合计
男生 女生
90分钟以上 80 x 180
90分钟及以下 y z 220
合计 160 240 400
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
【答案】(1)，，，不能认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出x，y，z的值，作出列联表，再利用独立性检验求解；
（2）利用古典概型和互斥事件的概率求解.
(1)
解：由可得；
由可得；由可得．
所以2×2列联表如下：
完成作业所需时间 性别 合计
男生 女生
90分钟以上 80 100 180
90分钟及以下 80 140 220
合计 160 240 400
，所以依据小概率值的独立性检验，不能认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．
(2)
解：抽取的9人中，男生有（人），女生有（人），从这9人中选取3人进行访谈，男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人．
所以所求概率．
8．2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生
女生
合计
已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中，.
(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：，其中.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）从这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，可以推算出200人中喜欢冰雪运动的总人数，
进而可以完成表格；
（2）按照分层抽样的原理算出8人中男生和女生的人数，进而确定X的可能取值，按照组合的方法即可算出分布列.
(1)
由题可知，从200名学生中抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，
故喜欢冰雪运动的有人，
不喜欢冰雪运动的有人，即，，，，
列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男生 100 20 120
女生 60 20 80
合计 160 40 200
，
故没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)
按分层抽样，设抽取女生名，男生名，，解得，，
即抽取的8人中喜欢冰雪运动的女生有3人，男生有5人，
故，1，2，3，
，，
，，
的分布列如下：
0 1 2 3
；
故答案为：列联表见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
分布列见解析， .独立性检验
常见考点
考点一 独立性检验
典例1．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：
(1)求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；
(2)老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下2×2列联表：
混动版 纯电动版 合计
男 25
女 15 60
合计 70
请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．
附：，其中．
0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
变式1-1．数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：
小学及以下 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生及以上
不了解数字人民币 35 35 80 55 64 6
了解数字人民币 40 60 150 110 140 25
(1)如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；
低学历 高学历 合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计 800
(2)根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
变式1-2．某校开展党史知识竞赛.现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)估计这n名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 不优秀 合计
男生 40
女生 50
合计
参考公式及数据：，.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
变式1-3．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝以上的”为常喝.已知在所有的人中随机抽取人，患糖尿病的概率为.
常喝 不常喝 合计
有糖尿病
无糖尿病
合计
(1)请将上表补充完整，并判断是否有的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；
(2)已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这人中随机抽取人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
参考公式及数据：，.
典例2．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：
优秀 良好 及格 不及格
男生 100 200 780 120
女生 120 200 520 120
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）
达标 不达标 合计
男生
女生
合计
(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.
变式2-1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至20日在北京举行.践行“绿色奥运 科技奥运 人文奥运”理念，举办一届“有特色 高水平”的奥运会，是中国向世界的庄严承诺.为宣传北京冬奥会，某市开展了冬奥知识竞答活动.从参与的市民中随机抽取100人，统计他们的竞答成绩得到下面的列联表（单位：人）.
成绩合格 成绩不合格 合计
男性 40 50
女性 20
合计
(1)完成列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关？
(2)将频率视为概率，从该市所有参与冬奥知识竞答的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中成绩合格的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
参考公式：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
变式2-2．从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.
数学得分 注意力集中水平得分 120分以下 120分以上（含120分）
500分以上（含500分） 100 180
500分以下 150 70
(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？
(2)若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量，求的数学期望.
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中
变式2-3．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，对市场上这个品牌汽车车主的性别情况进行了调查统计.
(1)统计数据得到如下列联表：
混动版 纯电动版 合计
男 25
女 15 60
合计 70
请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9％的把握认为喜欢哪款车型和性别有关；
(2)若两款汽车的操控性能优秀率均为，动力性能优秀率均为，老李又对这两款车型进行操控性能和动力性能测试（假设进行的各项测试之间互相不影响），求两款车型的这两项测试中恰有2项指标优秀的概率.
附：，其中.
0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
巩固练习
练习一 独立性检验
1．每年的六、七月份，我国长江中下游地区进入梅雨季节，如图是江南某镇2012~2021年梅雨季节的降雨量（单位：mm）的频率分布直方图．
(1)请用样本平均数估计该镇明年梅雨季节的降雨量；
(2)该镇某杨梅种植户统计了他种植的某品种杨梅在2012~2021年的亩产量（单位：kg），得到如下列联表（部分数据缺失），依据的独立性检验，能否认为该品种杨梅的亩产量与降雨量有关？（完善列联表，并说明理由）
单位：年
亩产量 降雨量 合计
<600 1
≥600 1
合计 10
2．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：
托运行李重量/kg
头等舱乘客人数 8 33 12 2
经济舱乘客人数 37 5 3 0
合计 45 38 15 2
(1)请完成如下的2×2列联表，依据的独立性检验，能否认为托运行李重量与乘客乘坐的机舱等级有关？
单位：人
机舱等级 托运行李重量 合计
免费 超额
头等舱
经济舱
合计
(2)调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李重量超出免费行李额且不超出10kg的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与均值．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
3． “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：
(1)利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；
(2)把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.
男 女 合计
30
合计 45
附表：
P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2＝.
4．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h）按分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．
支持上网课 不支持上网课
家长 30 70
学生 50 50
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
5．2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为10．
(1)请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；
返赣人员 本地人员 合计
男 15
女 10 40
合计
(2)据了解，该地区今年返赣人员占．现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
6．受新冠肺炎疫情的影响，各地推出务工人员就地过年的鼓励政策．某市随机抽选了100名男务工人员和100名女务工人员，调查他们是否有就地过年的意愿，结果如下：
有就地过年的意愿 无就地过年的意愿
男务工人员 80 20
女务工人员 60 40
(1)能否有99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关
(2)若用频率估计概率，从该市所有女务工人员中随机抽取3人进行深入调查，表示抽取的女务工人员无就地过年的意愿的人数，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
7．2021年1月以来，教育部相继出台文件，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所需时间进行统计，部分数据如下表：
单位：人
完成作业所需时间 性别 合计
男生 女生
90分钟以上 80 x 180
90分钟及以下 y z 220
合计 160 240 400
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
8．2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生
女生
合计
已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中，.
(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：，其中.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828

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