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解三角形中的中线、垂线、角平分线
常见考点
考点一 中线问题
典例1．△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，，且．
（1）求的大小；
（2）若△ABC的周长为，求边上中线的长度．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；
（2）设，根据三角形的周长可求得，再在中，运用余弦定理，可求得中线的长.
（1）
解：因为，
所以由正弦定理边角互化得：，
因为，
所以，所以
因为，所以，，
所以，即，
所以
（2）
解：由（1）得△ABC为等腰三角形，设，
故，代入数据解得：，
因为△ABC的周长为，所以，解得，
所以,,
在中，，
所以，解得，
所以边上中线的长度为.
变式1-1．已知△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，，且.
（1）求的大小；
（2）若△ABC的面积为，求边上中线的长度.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；
（2）设，根据三角形的面积公式可求得，再在中，运用余弦定理，可求得中线的长.
（1）
解：由正弦定理得，，R为外接圆半径且 ，，，
因为，所以，所以，得，
所以，又，则，所以，得，所以；
（2）
解：由（1）得△ABC为等腰三角形，设，
则，解得，则，在中，，所以，解得，
所以边上中线的长度为.
变式1-2．在△ABC中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，求的中线长度的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得结果；
（2）由题意可得，即，结合余弦定理及均值不等式可得结果.
（1）
因为，
所以，
即，
整理得，
因为，为三角形内角，所以，，所以，，
所以，即，
又因为，所以；
（2）
因为，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即，
即长度的最小值为.
变式1-3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点.
（1）求A的值；
（2）若a＝，求中线AM长度的最大值.
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b＝acos C＋csin A即得解；
（2）由余弦定理和基本不等式得b2＋c2≤6，由已知得＝，平方后利用基本不等式即得解.
（1）
解：因为b＝acos C＋csin A，
根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，
所以sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Csin A，
所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A，
所以cos Asin C＝sin Csin A.
因为sin C≠0，所以tan A＝.
又0＜A＜π，所以A＝.
（2）
解：在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.
因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，
所以b2＋c2≤6.
因为AM是BC边上的中线，
所以＝，两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝，
当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值.
考点二 垂线问题
典例2．设△ABC的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解.
（1）
解：由余弦定理，得， 所以，，
所以，，
又因为，所以，，则，
，因此，.
（2）
解：因为的面积，则，
由余弦定理，得，
所以，， 所以，.
变式2-1．在△ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
（1）求角.
（2）若，求边上的高.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理边化角得，进而得，故；
（2）由余弦定理得，再根据等面积法求解即可.
（1）
解：由题知，，
由正弦定理知，，
即.
又，且.
所以，
由于.
所以.
（2）
解：由余弦定理得：，解得.
又，，
所以.
变式2-2．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，且，三角形三边上的高之比为.
（1）求的值；
（2）若为边上一点，，，求的长.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
由于，则三边，，上的高之比为，根据
，得出，并利用余弦定理求出的值；
利用中的值求出的值，进而利用正弦定理求出的长.
（1）
解：由于，则三边，，上的高之比为.
又因为，则.
设，则，，.
在△ABC中，由余弦定理得
.
（2）
解：将代入，得，
又，则.
在△EBC中，由正弦定理得，
则.
变式2-3．△ABC中，角，，的对边分别为，，，边上的高为.
（1）求；
（2）若△ABC的周长为4，求边的长.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用等面积法，结合三角形的面积公式以及同角三角函数关系，即可容易求得；
（2）由余弦定理，结合已知条件，即可容易求得.
（1）
由，可得，故，
又，解得：，又，
故.
（2）
若△ABC的周长为4，即可得：，又，
由余弦定理得：
解得：.
考点三 角平分线问题
典例3．在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.
（1）求角A；
（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解.
（2）由面积公式得，再用余弦定理得，再由转化计算即可求解.
（1）
选①得，.
即，
则（舍）或
所以；
选②得，
即
由，
又，所以；
选③.得，
即，
因为，所以
又，所以.
（2）
由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值为.
变式3-1．已知在平面四边形中，，，为的角平分线
（1）若，求的面积;
（2）若，求长.
【答案】
（1）
（2）6
【分析】
（1）根据题意，在三角形中由正弦定理得，进而结合题意，在三角形中由余弦定理解得，在根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，由于，故在三角形和三角形中，结合余弦定理解方程得.
（1）
解：在三角形中，由得
由正弦定理可得，即
所以
因为为的角平分线，所以，
因为，故为锐角，故为锐角，
故
在三角形中由余弦定理得
所以，解得或（舍） .
所以
（2）
解：设，则
在三角形中由余弦定理可得
在三角形中由余弦定理可得
因为
所以，解得或（舍）
综上所述的长为6.
变式3-2．在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，，.
（1）求的值；
（2）求边AB的长.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用余弦定理可求，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角公式可求.
（2）利用可得关于的方程，从而可求边AB的长.
（1）
在中，由余弦定理可得，
而为三角形内角，故，
因为AD为∠A的角平分线，故.
（2）
因为，
所以，
故，
解得.
变式3-3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.
（1）求角C的大小；
（2）设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；
（2）在和中，分别运用正弦定理，进而求出，然后在中再次运用正弦定理得到，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.
（1）
根据题意，由正弦定理可知：，则，因为，所以，则，而，于是.
（2）
由（1）可知，，在中，设，则，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时取“=”.
于是，.即△ABC的面积的最小值为.
巩固练习
练习一 中线问题
1．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，△ABC的周长为，求边上的中线的长.
【答案】
（1）或；
（2）﹒
【分析】
(1)结合正弦定理边化角即可求解；
(2)求出△ABC的边长，解△ACD即可﹒
（1）
∵，又由正弦定理得，∴，
则或；
（2）
∵C，∴，∴，
作于H，∵△ABC是等腰三角形，∴H为AB中点，CH为∠ACB平分线，
∴，设，
∴|，
∴，
取BC中点为D，在△ACD中，由余弦定理得，
即，解得，
∴BC边上的中线长为﹒
2．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，且
（1）求角A的大小；
（2）若角A为锐角，，求边BC上的中线AD的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据诱导公式，降幂公式，二倍角公式将题中式子化简为，再根据为三角形内角即可求出；（2）根据角为锐角和（1）可得，然后根据三角形的面积公式再结合条件可求出的值，而求边上中线的长有两种思路，法一：由于为边上的中线，则根据向量加法的平行四边形法则可得，然后两边平方即可求出也即为的长；法二 ：先根据利用余弦定理求出的值，再在和中两次利用余弦定理即可求出的值.
试题解析：（1）原式


因
（2）因A为锐角，则
而面积
解法一：又由余弦定理，
又，
即
解法二：作CE平行于AB，并延长AD交CE地E，
在△ACE中，
又
即
这样
3．在△ABC中，内角的对边长分别为，若.
（1）求角的大小；
（2）若，求边上的中线的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知等式可推导得到，由此可求得；
（2）在△ABC中，利用余弦定理和基本不等式可求得；在△ABM中，利用余弦定理可化简整理得到，由可求得最大值.
【详解】
（1），，又，；
（2）在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），；
又，
在中，由余弦定理得：，
，
，即中线的最大值为.
4．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，求△ABC的中线的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1)先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理计算即得；
(2)用表示出，借助向量模的计算公式及均值不等式推理计算即得.
【详解】
（1）在△ABC中，由正弦定理化为，即，
由余弦定理得，而，则，
所以；
（2）因是的中线，则，由(1)知，
于是得，
当且仅当b=c时取“=”，则，
所以的中线的最小值为.
练习二 垂线问题
5．在△ABC中，角，，的对边分别为，，..
（1）求角；
（2）若，，求边上的高.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理角化边得到，进而结合余弦定理即可求出结果；
（2）由正弦定理得，再利用余弦定理求出，即得边上的高．
【详解】
（1）因为.
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以；
（2）由，得，
由余弦定理，得，因为，
解得，所以边上的高为.
6．已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)=
（1）求证: tanA=2tanB
（2）设AB=3，求AB边上的高CD.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用两角和差的正弦公式求得，再结合同角的商数关系即可得出结论；
（2）结合同角的基本关系求出，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果.
【详解】
（1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A- B)=，
所以,
，
所以，即；
（2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为.
7．在①；②；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在中，内角，，所对的边分别为，，．且满足．
（1）求；
（2）已知，的外接圆半径为，求的边上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）（2）.
【分析】
选择条件①：
（1）根据，由正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到求解；
（2）结合（1）利用正弦定理得到c，再利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求解．
选择条件②：
（1）根据，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到求解；
（2）结合（1）利用正弦定理得到c，再利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求解．
选择条件③：
（1）根据，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到求解；
（2）结合（1）利用正弦定理得到c，再利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】
选择条件①：
（1）因为，
所以由正弦定理得，，
即，
故．
又，所以，所以，所以．
由，可得．
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得．
于是得的面积为，
所以．
选择条件②：
（1）因为，
由正弦定理得，
即，于是
在中，，所以，
由，可得．
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得．
于是得的面积为，
所以．
选择条件③：
（1）因为，
所以由正弦定理得，，
所以，
因为，所以，
所以，
由，可得．
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得．
于是得的面积为，
所以．
8．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，．且满足．
（1）求角的大小；
（2）已知，，求的边上的高．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理将化为，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，
（2）由余弦定理结合已知条件可得，再利用等面积法可求出△ABC的边上的高
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
又，所以．
（2）由已知，，
由余弦定理得，
所以．
于是得的面积，
所以.
练习三 角平分线问题
9．已知△ABC的三个内角，，的对边分别为，，满足.
（1）求；
（2）若，，角的角平分线交边于点，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角；
（2）利用余弦定理可得的值，进而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解.
【详解】
（1）由正弦定理化边为角可得：
，
即
所以，
因为，所以
即.
因为，所以.
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
代入数据可得：即.
解得：或(舍).
所以，所以，
在中，由是的角平分线，得，
则，
在中，由正弦定理得：即，
可得：.
10．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，角C的角平分线交AB于点D，且，，
（1）求角C；
（2）求c的值
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解；
（2）由可得，，然后与已知条件联立求解，再用余弦定理即可求解
【详解】
（1）因为，由正弦定理可得：
，即
由余弦定理可得：
，
因为，
所以；
（2）由，有
，
得，
由，解得，
由余弦定理得：
11．已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）由正弦定理得，结合为三角形内角可得答案；
（2）到，的距离相等，设为，由，得，
由角平分线性质得，由余弦定理得，再利用可得答案.
【详解】
（1）由及正弦定理得
，
，
得，因为，
所以，
由为三角形内角得；
（2）因为平分，则到，的距离相等，设为，
因为，
所以，
由角平分线性质得，
所以，
因为，，
由余弦定理得，解得，
所以，
因为，
，
解得.
12．在△ABC中，角的对边分别为，△ABC的面积为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）设的角平分线交于，且，求线段的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；
（2）在△ABC中求出角，再由正弦定理求出边、，再由结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）在△ABC中，由余弦定理可得，所以
由三角形的面积公式可得，
因为，所以，
整理可得：，即，
因为，所以
（2）由（1）知：，为的角平分线，
所以，由可得
在△ABC中，由正弦定理可得：，即，
因为，
所以，，
由可得：
整理可得：，解得：，
所以线段的长为.

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