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2023-2024北师大版数学七年级下册压轴大题练习
1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　　°，∠DEC＝　　°
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
2、【问题背景】如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD＝CE．
请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：　　；∠AOE＝　　．
【推广探究】如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．
（1）∠MFQ＝　　；
（2）求证：PQ＝MN．
【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C1，四边形CNFQ的周长为C2，MF＝a，FQ＝b，FN＝c，则C1﹣C2＝　　（请用含有a、b的代数式表示）．
3、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）AP＝　　cm，BP＝　　cm（用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．
（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；
（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；
（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．
5、如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；
（3）求∠FAE的度数．
6、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC，DC，CE的关系__________（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
7、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是　 　．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F且AE＝EF求证：AC＝BF．
8、如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
9、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．
（1）△ABC≌△EDC吗？为什么？
（2）求∠DHF的度数；
（3）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．
10、已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．
（1）AD与CB相等吗？请证明你的结论．
（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；
（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α、β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．
11、问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 　　．
12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
13、（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
14、如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．
（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；
（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC延长交于点Q．
①试说明：∠CBE＝∠CAE；
②点P是AC延长线上的点，且PE＝BE，连接BP，若△BPQ的面积为26，AE＝8，求EQ的长．
15、△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）如图1，在（1）的条件下，连接AE交BC于M，求的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
16、如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
2023-2024北师大版数学七年级下册压轴大题练习
参考答案
1、解：（1）25°，115°
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠BAD+∠ADB＝140°
∠CDE+∠ADB＝140°
∴∠BAD＝∠CDE
在△ABD和△DCE 中，
∠B＝∠C＝40°，AB＝DC＝2，∠BAD＝∠CDE
∴△ABD≌△DCE
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
当∠BDA＝110°时，
∵∠B＝∠C＝40°
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°
∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°
∴∠DAC＝100°﹣30°＝70°
∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°
∴∠DAC＝∠AED
∴△ADE的形状是等腰三角形
当∠BDA＝80°时，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣80°＝60°
∴∠DAC＝100°﹣60°＝40°
∴∠DAC＝∠ADE＝40°
∴△ADE的形状是等腰三角形
2、【问题背景】AD＝BE；60°
【推广探究】（1）60
（2）证明：∵∠APQ+∠PAQ+∠PQA＝180°
∠MFQ+∠MQF+∠FMQ＝180°
∠PAQ＝∠MFQ＝60°
∴∠APQ＝∠FMQ
∵AM＝BP
∴AP＝CM
在△PAQ和△MCN中，∠PAQ＝∠C，AP＝CM，∠APQ＝∠FMQ
∴△PAQ≌△MCN
∴PQ＝MN
【深入探究】2a﹣2b
3、解：（1）2t，7﹣2t．
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ．
证明：由题意，得t＝1时，AP＝BQ＝2（cm），BP＝7﹣2＝5（cm）
∵AC＝5（cm），∠A＝∠B＝90°
在△CAP和△PBQ中，BP＝AC＝5，∠A＝∠B，AP＝BQ
∴△CAP≌△PBQ
∴∠ACP＝∠BPQ
∵∠ACP+∠CPA＝90°
∴∠BPQ+∠CPA＝90°
∴PC⊥PQ
（3）①当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP与△BPQ全等
此时AC＝PB＝5，AP＝BQ＝7﹣5＝2（cm）
∴AP＝BQ＝2（cm）
x＝2cm/s
②当AC＝BQ，AP＝PB时，△ACP与△BPQ全等
此时AC＝BQ＝5，AP＝PB＝（cm），
∴AP＝2t＝（cm）
解得t＝s
∴BQ＝x＝5（cm）
∴x＝cm/s
4、（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°
∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°
∴∠BAE＝∠CAF
在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF
∴△ABE≌△ACF
证明：∵△ABE≌△ACF
∴∠ABE＝∠ACF
又∵∠ADB＝∠CDF
∴∠DFC＝∠BAD＝90°
∴CF⊥BD
不变，理由如下：
过A作AE⊥AF 交BM于E
∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°
∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°
∴∠BAE＝∠CAF
由题意，得∠DFC＝∠BAC＝90°
又∵∠ADB＝∠CDF
∴∠ABD＝∠ACF
在△ABE和△ACF中，∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF
∴△ABE≌△ACF
∴AE＝AF
又∵∠EAF＝90°
∴∠AFB＝∠AEF＝45°
5、证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD
∴∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE
（2）∵△ABC≌△ADE
∴AE＝AC＝10
S△ABC＝S△ADE
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝×10×10＝50
（3）∵AF⊥BC
∴∠AFC＝90°
∵∠CAE＝90°，AC＝AE
∴∠E＝∠ACE＝45°
∵△ABC≌△ADE
∴∠BCA＝∠E＝45°
∴∠FAC＝90°﹣45°＝45°
∴∠FAE＝∠CAE+∠FAC＝90°+45°＝135°
6、解：（1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC
即∠BAD＝∠EAC
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠EAC，AD＝AE
∴△ABD≌△ACE
②BC＝CE+CD
（2）BC+CD＝CE
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC
即∠BAD＝∠EAC
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠EAC，AD＝AE
∴△ABD≌△ACE
∴BD＝CE
∵BD＝BC+CD
∴CE＝BC+CD
7、（1）B
（2）C
（3）证明：如图，延长AD到M，使AD＝DM，连BM
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中，
∴△ADC≌△MDB
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M
∵AE＝EF
∴∠CAD＝∠AFE＝∠BFD
∴∠BFD＝∠M
∴BF＝BM＝AC
8、（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α
∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD
即∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC＝CB，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE
∴△ACD≌△BCE
∴BE＝AD
（2）如图，∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE
在△AOC和△BOM中，∠CAD＝∠CBE，∠AOC＝∠BOM
∴∠AMB＝∠ACB＝α
（3）证明：如图，∵AD，BE的中点分别为点P、Q
∴AP＝DP，BQ＝BE
∵△ACD≌△BCE（已证）
∴∠CAP＝∠CBQ
BE＝AD
∴AP＝BQ
在△ACP和△BCQ中，CA＝CB，∠CAP＝∠CBQ，AP＝BQ
∴△ACP≌△BCQ
∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ
∵∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝90°
∴∠BCQ+∠PCB＝90°
即∠PCQ＝90°
∴△CPQ为等腰直角三角形
9、解：（1）△ABC≌△EDC．理由如下：
∵CA平分∠BCE
∴∠ACB＝∠ACE
在△ACE和△BED中，BC＝CD，∠ACB＝∠ACE，AC＝CE
∴△ABC≌△EDC
（2）∵∠ACB＝60°,CA平分∠BCE
∴∠ACB＝∠ACE＝∠ECM＝60°
在△CDG和△CBF中，FC＝CG，∠FCB＝∠DCG＝60°，BC＝CD
∴△CDG≌△CBF
∴∠CBF＝∠CDG
∵∠DFH＝∠BFC
∴∠DHF＝∠BCF＝60°
BE平分∠ABC．理由如下：
∵EB平分∠DEC
∴∠DEH＝∠BEC
∵∠ECM＝∠BEC+∠CBE＝60°
∠DHF＝∠DEH+∠EDG＝60°
∴∠CBE＝∠EDG
由（2）知∠CBF＝∠CDG
∴∠EDG＝∠CDG＝∠CBE
∴∠EDC＝2∠CDG＝2∠CBE
由（1）知△ABC≌△EDC
∴∠ABC＝∠EDC＝2∠CBE
∴∠ABE＝∠CBE
∴BE平分∠ABC
10、解：（1）AD≠CB，理由如下：
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBE
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC
∴AD＝CE
由题意，得CB≠CE
∴AD≠CB
∵BD＝BC
∴∠BCD＝∠BDC＝75°
∴∠DBC＝∠ABD＝180°﹣75°﹣75°＝30°
∵△ABD≌△EBC
∴∠BAD＝∠BEC
在△ABD和△CDE中
∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC
∴∠ACE＝∠ABD＝30°
（3）由（1）得，△ABD≌△EBC
∴∠BAD＝∠BEC
在△ABD和△CDE中
∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC
∴∠ACE＝∠ABD＝β
∵BD为△ABC的角平分线
∴∠DBC＝∠ABD＝β
∵BD＝BC，∠BCE＝α
∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β
∴在△DBC中，β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°
∴2α﹣β＝180°
11、证明：图②∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°
∴∠AFC＝∠BDA＝90°
∴∠ABD+∠BAD＝90°
∠CAF+∠BAD＝90°
∴∠ABD＝∠CAF
在△ABD和△CAF中
∴△ABD≌△CAF
图③∵∠1＝∠2＝∠BAC
∠1＝∠BAE+∠ABE
∠BAC＝∠BAE+∠CAF
∴∠ABE＝∠CAF
∠AEB＝∠AFC
在△ABE和△CAF中，∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠CAF，AB＝AC
∴△ABE≌△CAF
图④ 5
12、解：（1）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠CBA＝45°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°
∵CE⊥BD
∴∠CED＝∠BAD＝90°
又∵∠CDE＝∠BDA
∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°
②BD＝2CE．
证明：如图1
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD
∠CBE＝∠FBE
在△CBE与△FBE中， ，BE＝BE，∠CEB＝∠FEB＝90°
∴△CBE≌△FBE
∴CE＝FE
在△ABD与△ACF中，∠DBA＝∠ACF，∠BAD＝∠CAF＝90°，BA＝AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF＝2CE
（2）结论：BE﹣CE＝2AF
证明：如图（2），过A作AH⊥AE，交BE于H
∴∠HAE＝90°
∴∠HAC+∠CAE＝90°
∠HAC+∠BAH＝90°
∴∠BAH＝∠CAE
在△ABH与△ACE中，∠BAH＝∠CAE，BA＝CA，∠HBA＝∠ECA
∴△ABH≌△ACE
∴CE＝BH，AH＝AE
∴△AEH是等腰直角三角形
又∵AF⊥BE
∴EF＝HF
∴BE﹣CE＝HE＝2AF
13、（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m
∴∠BDA＝∠CEA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠ABD+∠BAD＝90°
∠CAE+∠BAD＝90°
∴∠ABD＝∠CAE
在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA
∴△ADB≌△CEA
∴AE＝BD，AD＝CE
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（2）解：成立；理由如下
∵∠BDA＝∠BAC＝α
∴∠BAD+∠CAE+α＝180°
∠BAD+∠DBA+α＝180°
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA
∴△ADB≌△CEA
∴AE＝BD，AD＝CE
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
∠BAD+∠CAE+∠BAC＝180°
∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA
∴△ABD≌△CEA
∴S△ABD＝S△CEA
如图，过A作AG垂直BF于G
则S△ABC＝BC AG，S△ACF＝CF AG
又∵BC＝2CF
∴S△ACF＝S△ABC＝×12＝6
∴S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝6
∵S△ABD＝S△CEA
∴S△CEF+S△ABD＝6
∴△ABD与△CEF的面积之和为6
14、（1）证明：∵EF∥AB
∴∠A＝∠F，
在△ACD和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CE＝CD
∴△ACD≌△FCE
∴AD＝FE
①证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC ，D为AB中点
∴AD＝DB，CD⊥AB
∴∠CAB＝∠CBA
CD垂直平分AB
∴EA＝EB
∴∠EAB＝∠EBA
∴∠EAB﹣∠CAB＝∠EBA﹣∠CBA
∴∠CBE＝∠CAE
②解：∵EA＝EB，EB＝EP
∴EP＝EB＝EA＝8
∴∠EAP＝∠EPA
∵∠CBE＝∠CAE
∴∠CBE＝∠EPA
∵∠BQC＝∠PQE
∴∠PEB＝∠PCB＝90°
∴S△BEP＝×8×8＝32
∵S△BPQ：S△BEP＝26：32＝13：16
∴BQ：BE＝13：16
∵BE＝8
∴BQ＝
∴EQ＝8﹣＝
15、（1）证明：由题意，得CD＝CE，∠DCE＝∠DCB+∠ECF＝90°
∵EF⊥BC
∴∠CEF+∠ECF＝90°
∴∠DCB＝∠CEF
在△DBC和△CEF中，∠DBC＝∠CFE＝90°，∠DCB＝∠CEF，CD＝CE
∴△DBC≌△CFE
（2）解：如图1，连AE交BC于M
∵△DBC≌△CFE
∴BD＝CF，BC＝EF
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC
∴AB＝EF，AD＝BF
在△ABM和△EFM中，∠AMB＝∠EMF，∠ABM＝∠EFM，AB＝EF
∴△ABM≌△EFM
∴BM＝MF
∴BF＝2BM＝2MF
∴AD＝2MF
∴
解：不变．＝2，理由如下：
如图，在EH上取EQ＝DG
∵DG⊥DC
∴∠CDG＝90°
在△CDG和△CEQ中，EQ＝DG，∠CDG＝∠CEQ＝90°，CD＝CE
∴△CDG≌△CEQ
∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ
∵∠DCG+∠DCB＝45°
∴∠ECQ+∠DCB＝45°
又∵∠DCE＝90°
∴∠HCQ＝90°- 45°＝45°
∴∠HCQ＝∠HCG＝45°
在△HCG和△HCQ中，CG＝CQ，∠HCQ＝∠HCG，HC＝HC
∴△HCG≌△HCQ
∴HG＝HQ
∴
16、解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC＝60°
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM＝∠BAC＝30°
（2）∵△ABC与△DEC为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠DCB+∠ACD＝60°
∠DCB+∠BCE＝60
∴∠ACD＝∠BCE
在△ADC和△BEC中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC
∴△ACD≌△BCE
（3）∠AOB是定值60°，理由如下：
如图，当D在线段AM上时
∵△ACD≌△BCE （已证明）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°
∵∠ABC＝60°
∴∠ABO＝60°+30°＝90°
又∵∠CAM＝∠BAM＝30°
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°
如图2，当D在线段AM的延长线上时
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠DCB+∠ACB＝60°
∠DCB+∠DCE＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC
∴△ACD≌△BCE
∴∠CBE＝∠CAD＝30°
∴∠ABO＝60°+30°＝90°
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠BMO＝90°
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°
如图3，当D在线段MA的延长线上时
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACD+∠ACE＝60°
∠BCE+∠ACE＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC
∴△ACD≌△BCE
∴∠CBE＝∠CAD
又∵∠CAM＝∠BAM＝30°
∴∠CBE＝∠CAD＝180°﹣30°＝150°
∴∠CBO＝180°﹣150°＝30
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠BMO＝90°
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°
综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．

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