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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题9.3 角平分线压轴题综合专练（10道）
解答题（本卷10道，共100分）
1．概念认识
如图①，在中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
(1)如图①是的“三分线”，则＝　　°；
(2)如图②，在中，，若的三分线交于点D，则　　°；
(3)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数．
【答案】(1)(2)或．(3)
【详解】（1）∵是的“三分线”，
∴，
故答案为：
（2）如图，
当是“邻三分线”时， ，
则，
当是“邻三分线”时，，
则，
综上所述，∠BDC的度数为或．
（3）在中，，
则，
∵分别是邻三分线和邻三分线，，
∴，
∴．
2．探究一：
（1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度．
（2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度．
探究二：
如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．

【答案】探究一：（1）122；（2）55；探究二：，证明见解析
【详解】解：探究一：（1）∵在中，，
∴，
∵，分别是两个内角，的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：122；
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∵，分别是两个外角，的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：55；
探究二：，证明如下：
∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴．
3．在中，，是的高线，是的角平分线
(1)如图1，若，，试求的度数；
(2)如图2，若点是延长线上一点，于G，试求与、之间的数量关系：
(3)如图3，延长到点M，的平分线和的延长线交于点N，试说明和的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，
，
是中的平分线，
，
是的边上的高，
，
，
；
（2）证明：，
是中的平分线，
，
而，
，
，
，
，
；
（3）∵是角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴
4．在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)(2)，证明见详解
【详解】（1）解：如图1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2，过作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
5．如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
(1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________；
(2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数；
(3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示)
【答案】(1)(2)(3)当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，
【详解】（1）解：∵在中，，，
∵的邻三分线交于点，
∴
∴
故答案为：．
（2）解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线
∴
∵
∴
∴
（3）分为两种种情况：
情况一：如图1，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
情况二：如图2，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可知：，
；
综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，
6．（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点．
①_________；
②若，求；
（2）如图2将②中确定的绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，保持不变，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时的值．
【答案】（1）①45；②；（2）17.5秒或37.5秒或40秒
【详解】（1）解：①平分，平分，
，，
，
，
又，
故，
即，
，
，
故答案为：45；
②，
，
，
，
又，，
，
故，
解得：，
故，
；
（2）解：由②可得，，，，，
当时，如图：
，
，，
，
此时旋转时间为；
当时，如图：
，，
，，
，
此时旋转时间为；
当时，如图：
，
，
，
，，
，
此时旋转时间为；
综上，符合条件的的值为17.5秒或37.5秒或40秒．
7．（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________．
（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：
（i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系．
答：与之间的等量关系是__________．
（ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系．
答：与之间的等量关系是__________．
【答案】（1）；（2）（i）；理由见解析；（ii）；理由见解析
【详解】解：（1）∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）（i）∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
（ii）∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
8．【概念学习】
我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”．
【概念理解】
（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______．
【概念应用】
（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数．
（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．
【答案】（1）或；（2）；（3）见解析
【详解】（1）如图：
，，
的角三分线交于点D，
当是“邻角三分线”时，；
当是“邻角三分线”时，
故答案为：或；
（2）、分别是邻角三分线和邻角三分线，
，
，
；
（3）分四种情况：
①当是邻角三分线、是邻角三分线，如图1
，，
，，
是的一个外角
；
②当是邻角三分线、是邻角三分线，如图2
，，
，，
是的一个外角
③当是邻角三分线、是邻角三分线，如图3
，，
，，
是的一个外角
；
④当是邻角三分线、是邻角三分线，如图4
，，
，，
是的一个外角
9．实验探究：
（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ；
（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 .
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）①；②
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图3，过点D作射线．
根据三角形外角的性质，可得，，
又∵，，
∴；
（3）①如图4，由（2）可得，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∵，
∴；
③如图5，设，，则，，
∵，
∴，，
解得，
∴，
即的度数为．
10．已知，点、分别在、上运动（不与点重合）．
(1)如图1，、分别是和的平分线，随着点、的运动，__________．
(2)如图2，已知不平行于，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，点、在运动的过程中，的度数将不发生变化， ．
(3)如图3，延长至，已知、的平分线与的平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，
∴，，，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，，
∴，即：，
∴，
故答案为：，
（3）解：∵的平分线与的角平分线相交于，
∴，，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，
当时，，，
当时，，，（舍），
当时， ，，
当时， ，（舍），
∴，或，
故答案为：或．
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1．概念认识
如图①，在中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
(1)如图①是的“三分线”，则＝　　°；
(2)如图②，在中，，若的三分线交于点D，则　　°；
(3)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数．
2．探究一：
（1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度．
（2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度．
探究二：
如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．

3．在中，，是的高线，是的角平分线
(1)如图1，若，，试求的度数；
(2)如图2，若点是延长线上一点，于G，试求与、之间的数量关系：
(3)如图3，延长到点M，的平分线和的延长线交于点N，试说明和的数量关系．
4．在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
5．如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
(1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________；
(2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数；
(3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示)
6．（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点．
①_________；
②若，求；
（2）如图2将②中确定的绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，保持不变，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时的值．
7．（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________．
（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：
（i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系．
答：与之间的等量关系是__________．
（ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系．
答：与之间的等量关系是__________．
8．【概念学习】
我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”．
【概念理解】
（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______．
【概念应用】
（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数．
（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．
9．实验探究：
（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ；
（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 .
10．已知，点、分别在、上运动（不与点重合）．
(1)如图1，、分别是和的平分线，随着点、的运动，__________．
(2)如图2，已知不平行于，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，点、在运动的过程中，的度数将不发生变化， ．
(3)如图3，延长至，已知、的平分线与的平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数．
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