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重庆市巴川中学校2023-2024学年度春期半期考试
初2026届数学试题
（总分150分， 考试时间120分钟）
注意事项：
1.答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束后，将答题卡收回.
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A B.
C. D.
2. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
3. 根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　）
A. 北偏东40° B. 某地江滨路
C. 光明电影院6排 D. 东经116°，北纬42°
4. 如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（　　）
A. B. C. D.
5. 下列命题属于真命题的是（ ）
A. 平行于同一条直线的两条直线平行 B. 相等的角是对顶角
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 同位角相等
6. 如图，直线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，且m为整数，则m的值是（　　）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如第1个坐标为，第2个坐标，第3个坐标，依次类推，…，根据规律探索可得，第33个点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点G作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分），把答案填写在答题卡相应的位置上.
11. 实数8的立方根是_____．
12. 点P（2，﹣5）到y轴距离为 _____．
13. 比较大小：_____________2（填“”或“”或“”）
14. 线段是由线段经平移得到，若点的对应点，则点的对应点B的坐标是____________.
15. 已知线段 轴，若点M坐标为，则N点坐标为________________.
16. 如图，长方形纸带中，，将长方形沿折叠，两点的对应点分别为，若，则的度数为 _____.
17. 已知关于x的二元一次方程组的解满足，则k的值为________．
18. 对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与十位数字之和等于9，百位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以是一个“永恒数”，．则_______；若一个四位自然数m是“永恒数”，且为整数，则满足条件四位自然数m的最大值为 __________
三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分.解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 按要求解答问题：
（1）求x的值：
（2）计算：
20. 解方程组：
（1）；
（2）．
21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，．
（1）把三角形向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到三角形，画出三角形；
（2）写出平移后，，三点的坐标；
（3）求出三角形的面积.
22. 已知实数满足，求的平方根与立方根．
23. 推理填空：
如图，已知，．点E为射线上一点，点F为线段上一点，连接，
求证：
证明：过点F作直线
∵
∴ （ ）
∵
∴ （ ）
∵（ ）
∴ （ ）
∴（ ）
∵
∴ （ ）
∴
∴
24. 如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的度数.
25. 近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元．
（1）请问张大爷售卖樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？
（2）张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量的，由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了的损坏不能售卖． 枇杷售出了枇杷总量的，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价m元，很快便将所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求m的值．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点，连接，连接交y轴于点E，连接交x轴于点H，且满足．
（1）直接写出点A的坐标为 ，B的坐标为 ，点C的坐标为　 　；
（2）如图2，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向B运动，运动时间为t，请用含t的式子表示四边形的面积；
（3）如图3，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负方向运动，运动时间为t ，连接，将线段沿x轴负方向平移17.5个单位长度，得到线段，延长正好与点C相交，当时，求出此时点P的坐标．重庆市巴川中学校2023-2024学年度春期半期考试
初2026届数学试题
（总分150分， 考试时间120分钟）
注意事项：
1.答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束后，将答题卡收回.
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平移，根据平移前后的图形大小、形状、方向相同即可判断求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
、能用其中一部分平移得到，符合题意；
故选：．
2. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数和无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，进行判断，即可．
【详解】A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选：D．
3. 根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　）
A. 北偏东40° B. 某地江滨路
C. 光明电影院6排 D. 东经116°，北纬42°
【答案】D
【解析】
【分析】逐一对选项进行判断即可.
【详解】解：根据题意可得，
北偏东40°无法确定位置，故选项A错误；
某地江滨路无法确定位置，故选项B错误；
光明电影院6排无法确定位置，故选项C错误；
东经116°，北纬42°可以确定一点的位置，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查确定位置的要素，只有方向和距离都有才可以确定一个点的位置.
4 如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得，再由邻补角的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等，解题关键是正确掌握对顶角的性质和邻补角的定义．
5. 下列命题属于真命题的是（ ）
A. 平行于同一条直线的两条直线平行 B. 相等的角是对顶角
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 同位角相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判定，涉及到平行线的性质与判定、对顶角定义的理解等知识点，解题的关键是熟知相关定义与定理．
根据平行线、对顶角等相关知识进行判断即可．
【详解】A、平行于同一条直线的两条直线平行，此选项正确，因此是真命题；
B、相等的角不一定是对顶角，例如：等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角，此选项错误，因此是假命题；
C、同旁内角互补，两直线平行，此选项错误，因此是假命题；
D、只有两条平行的直线所构成的同位角才相等，此选项错误，因此是假命题．
故选：A．
6. 如图，直线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是知晓：两直线平行，则同旁内角互补．
根据对顶角相等及平行线的性质即可得出答案．
【详解】∵，
∴与的对顶角互补．（两直线平行，则同旁内角互补）
∵对顶角相等，
∴，
∴．
故选：C．
7. 若，且m为整数，则m的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，列出方程组即可．
【详解】∵根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确审题，列出符合题意的方程组是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如第1个坐标为，第2个坐标，第3个坐标，依次类推，…，根据规律探索可得，第33个点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．观察点的排列规律，算出前n列的总点数，再找出第33个点位置，求解．
【详解】解：各列的点数分别为：1、2、3、4、．．．
则前n列的点数之和为：，
当，n的最大整数解为：7．
故第33个数在第8列，且所在列数的横坐标等于列数减去1．
从图示可以看出，奇数列是从上往下数；偶数列是从下往上数．
第33个数位于第8列的从下往上数第个，因此横坐标为7，纵坐标为4．
∴第33个点坐标为．
故选：B．
10. 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点G作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质对各项进行判断即可．
【详解】解：①∠AMF与∠DNF不是对顶角，错误；
②∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠PGM＝∠GNH，
∵∠GNH＝∠DNF，
∴∠PGM＝∠DNF，正确；
③∵AB∥PG∥CD，
∴∠BMN＝∠MGP，∠PGH＝∠GHN，
∵∠MGP+∠PGH＝90°，
∴∠BMN+∠GHN＝90°，正确；
④∵AB∥CD∥PG，
∴∠AMG+∠MGP＝180°，∠CHG+∠PGH＝180°，
∵∠MGP+∠PGH＝90°，
∴∠AMG+∠CHG＝180°+180°﹣90°＝270°，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分），把答案填写在答题卡相应的位置上.
11. 实数8的立方根是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根的概念解答．
【详解】∵，
∴8的立方根是2．
故答案为：2
【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键．
12. 点P（2，﹣5）到y轴的距离为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据到y轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：点P（2，﹣5）到y轴的距离为：，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
13. 比较大小：_____________2（填“”或“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，二次根式大小比较，算术平方根的求解，根据，即可求出结果．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14. 线段是由线段经平移得到的，若点的对应点，则点的对应点B的坐标是____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，先根据点E、A的坐标判断平移的方向与距离，再根据点F的坐标计算出点B的坐标即可．
【详解】解：∵点的对应点为，
∴线段向右平移的距离为：，向下平移的距离为：，
∴的对应点B的坐标，
∴．
故答案为：．
15. 已知线段 轴，若点M坐标为，则N点坐标为________________.
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的点的坐标的特点，解题的关键是熟知：与y轴平行的直线，其横坐标均相等．
根据平行于y轴的直线的坐标特点及两点间距离的表示法即可求得答案．
【详解】解：∵轴，，
∴点N的横坐标也为，
又，设N点的纵坐标为a，
则，
∴，
∴或．
∴N点的坐标为或．
故答案为：或．
16. 如图，长方形纸带中，，将长方形沿折叠，两点的对应点分别为，若，则的度数为 _____.
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
作．可证，根据平行线的性质，可将、集中在直角中，则可求得的度数，于是可求，再根据对称性则，则可求．
【详解】如图，过点H作．并设与相交于点K．
∵，则．
∴，，又，
∴，
由对称性折叠性知，，．
∴，则，．
∴，
∴．
故答案为：．
17. 已知关于x的二元一次方程组的解满足，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出．
根据原方程组
得：，得出，根据，得出，求出k的值即可．
【详解】解：，
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
18. 对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与十位数字之和等于9，百位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以是一个“永恒数”，．则_______；若一个四位自然数m是“永恒数”，且为整数，则满足条件四位自然数m的最大值为 __________
【答案】 ①. 33 ②. 9702 .
【解析】
【分析】本题考查“永恒数“的应用，涉及新定义，理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键．
由已知可得，设，其中，且x，y都是整数，，可得，而是整数，可知是整数，即可求出，又，且必须是整数，故y最大为7，从而可得满足条件四位自然数m的最大值为9702．
【详解】解：由已知：，
根据“永恒数“定义，设，其中，且x，y都是整数，，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∵且x是千分位，欲使m的值最大，则x取最大，
∴x可取最大值9，则十分位数字．
∴
∵，且y与均是整数，又y是百分位，欲使m的值最大，
∴，则个位数字．
∴满足条件四位自然数m的最大值为9702，
故答案为：33，9702．
三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分.解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 按要求解答问题：
（1）求x的值：
（2）计算：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程与实数的混合运算，解题的关键是熟知相关解法与运算法则．
（1）移项后运用直接开平方法即可求解方程；
（2）根据求立方根、根式的化简、化简绝对值等相关运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
．
20. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）方程组利用加减消元法求出解即可；
（）方程组利用加减消元法求出解即可；
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．
小问1详解】
解：
，
，解得：，
把代入得：，
∴方程组的解为 ；
【小问2详解】
解：，
由得：，
得：，解得，
把代入得：，
∴方程组的解为 ．
21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，．
（1）把三角形向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到三角形，画出三角形；
（2）写出平移后，，三点的坐标；
（3）求出三角形的面积.
【答案】（1）见解析；
（2）；；；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了平移的作图，坐标的表示，求网格三角形的面积，学会用割补法求解三角形的面积，熟练利用平移的性质进行作图的解题的关键．
（1）根据网格结构找出点，，对应的点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点坐标；
（3）用矩形的面积减去周围三个直角三角形面积计算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
，，；
【小问3详解】
22. 已知实数满足，求的平方根与立方根．
【答案】平方根为，立方根为．
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，平方根和立方根，由非负数的性质可得，解方程组可得，进而得到，再根据平方根和立方根的定义计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解方程组得， ，
∴，
∴的平方根：， ..
的立方根．
23. 推理填空：
如图，已知，．点E为射线上一点，点F为线段上一点，连接，
求证：
证明：过点F作直线
∵
∴ （ ）
∵
∴ （ ）
∵（ ）
∴ （ ）
∴（ ）
∵
∴ （ ）
∴
∴
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、等量代换等，解题的关键分清楚同位角与内错角等基本概念．
根据“两直线平行，则同位角相等、内错角相等”、“内错角相等，则两直线平行”、“平行于同一条直线的两条直线平行”等判定定理及性质进行填空与注释依据即可．
【详解】证明：过点F作直线
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∵
∴（平行于同一直线两直线平行）
∴
∴
24. 如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理．
（1）根据得到，，结合，得到即可．
（2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可．
【小问1详解】
∵，
，，
，
，
平分．
【小问2详解】
，，
，
，
，
，
．
25. 近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元．
（1）请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？
（2）张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量的，由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了的损坏不能售卖． 枇杷售出了枇杷总量的，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价m元，很快便将所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求m的值．
【答案】（1）张大爷售卖的樱桃每斤25元，枇杷每斤15元；
（2）m的值为．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，能够正确求解二元一次方程组是解题的关键．
（1）设张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤元，由题意列出方程组求解即可；
（2）依据题意列出一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤元，由题意可得：
，
解方程组得：，
∴张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤元．
【小问2详解】
解：由题意可得： ，
解得：，
∴答：的值为．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点，连接，连接交y轴于点E，连接交x轴于点H，且满足．
（1）直接写出点A的坐标为 ，B的坐标为 ，点C的坐标为　 　；
（2）如图2，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向B运动，运动时间为t，请用含t的式子表示四边形的面积；
（3）如图3，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负方向运动，运动时间为t ，连接，将线段沿x轴负方向平移17.5个单位长度，得到线段，延长正好与点C相交，当时，求出此时点P的坐标．
【答案】（1），，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形：
（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；
（2）设点P的坐标为，可得轴，从而得到点，再由，即可求解；
（3）由题意得，从而得到，进而得到，设，然后分两种情况讨论，当点P在上方时，当点P在下方时，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，；
【小问2详解】
解：由题意设点P的坐标为，
∵，，，，
∴
∴轴，
∴点，
∴∴
【小问3详解】
解：由题意得：，
∴，
∴，
，
设，
当点P在上方时，
，
，
；
此时P的坐标为；
当点P在下方时
，
，
；
此时P的坐标为；
，
，
此时P的坐标为；
综上所述点P的坐标为或．

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