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天津市部分区2023～2024学年度第二学期期中练习
八年级数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将正确选项填在下表中）
1. 若在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性求解．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
，即，
的值可以是2，
故选：A．
2. 如果一个三角形的三边长分别为1，1，，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，结合等腰直角三角形的判定即可选择．
【详解】∵有两边长都是1，
∴三角形一定是等腰三角形；
∵，
∴对角一定是直角，
故三角形一定是等腰直角三角形；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形形状的判定，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定是解题的关键．
3. 如图，在平行四边形中，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是本题的关键．根据平行四边形的性质可以得出，，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
故选B．
4. 下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．依次化简各项根据概念判断即可．
【详解】解：A： ，与不是同类二次根式，所以不能合并， 该选项不符合题意；
B： ，与是同类二次根式，所以能合并， 该选项符合题意；
C： ，与不是同类二次根式，所以不能合并， 该选项不符合题意；
D： ，与不是同类二次根式，所以不能合并， 该选项不符合题意；
故选：B．
5. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面某学习小组拟定的测量方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量四边形的三个角是否都为直角
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理逐一判断即可求解，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、测量对角线是否互相平分，只能判定四边形门框是不是平行四边形，不能判断是不是矩形，该测量方案不正确，不合题意；
、测量两组对边是否分别相等，只能判定四边形门框是不是平行四边形，不能判断是不是矩形，该测量方案不正确，不合题意；
、测量一组对角是否都为直角，无法判断一个四边形门框是不是矩形，该测量方案不正确，不合题意；
、三个角是直角的四边形是矩形，故测量四边形的三个角是否都为直角能判断一个四边形门框是不是矩形，符合题意；
故选：．
6. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，解题关键是熟练掌握最简二次根式的识别方法．
最简二次根式是指同时满足被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式．根据此定义对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：根据最简二次根式的定义可得：
选项，最简二次根式中被开方数不能为分数，不是最简二次根式，不符合题意，选项错误；
选项，，即被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意，选项错误；
选项，是最简二次根式，符合题意，选项正确；
选项，，即被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意，选项错误．
故选：．
7. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 13，14，15 D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可得．
【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
B、∵，∴不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
C、∵，∴不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
D、∵，∴能构成直角三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．通常是计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．
8. 如图，四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，根据点在第二象限，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，
∴，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．
9. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答．
10. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF=3，CE=4，EF=5，则CD的长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】首先由勾股定理逆定理判断△ECF是直角三角形，由三角形中位线定理求出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长即可．
【详解】∵CF=3，CE=4，EF=5，
∴CF2+CE2=EF2，
∴△ECF是直角三角形，即△ABC也是直角三角形，
∵E，F分别是CA、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=10，
∵D为AB的中点，
∴CD=AB=
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握上述知识是解答此题的关键．
11. 如图，将正方形沿对折，使点A落在对角线上的处，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质；由正方形性质得，，由折叠性质得，则由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解．
【详解】解：在正方形中，
∵是正方形的对角线
∴，，
由折叠性质得，
∴，
∴，
故选：C．
12. 如图，中，垂直平分于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：垂直平分于点，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∴，即，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余求得∠C的度数是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上）
13. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，根据公式计算即可．
【详解】
故答案为：．
14. 如果=0，那么的值为____________
【答案】-6
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负数性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．
【详解】解：在=0中，
∴x-3=0，y+2=0，
解得x=3，y=-2，
所以，xy=3×（-2）=-6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负数的性质.几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15. 已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的高为________cm．
【答案】2.4
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求解即可．
【详解】解：由勾股定理，直角三角形斜边长==5(cm)，
设斜边 上的高为hcm，则
S=,
∴h=2.4，
即斜边上的高为2.4cm，
故答案：2.4．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握利用直角三角形面积既等于两直角边乘积的一半，也等于斜边乘以斜边上的高的一半是解题的关键．
16. 某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到和的中点D、E，测得的长为1100m，则隧道的长度为 ______________m．
【答案】2200
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D、E分别为和的中点，
∴是的中位线，
∴（米），
答：隧道的长度为2200米，
故答案为：2200．
【点睛】本题考查是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17. 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则平行四边形ABCD的面积是_____．
【答案】32
【解析】
【分析】利用平行四边形性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=平行四边形ABCD的面积，进而可得问题答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴△COF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴ ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
18. 如图，在矩形中，平分，交于点，为的中点，为的中点，连接．若，．
则：的长为______；
的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理．
结合矩形性质、角平分线性质得到，即可得到；勾股定理求得后，利用中位线定理即可求得．
【详解】解：矩形中，，
，
平分，
，
，
；
矩形中，，，，
，
中，，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）先化简各二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
20. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．
【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）
21. 如图，，，，，求的面积．
【答案】30
【解析】
【分析】利用勾股定理得出，再由勾股定理逆定理确定为直角三角形，由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，在中，
∵，
∴
在中，
∵
∴
∴为直角三角形．
∴
．
【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，理解题意，综合运用勾股定理及其逆定理是解题关键．
22. 如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长．
【答案】
【解析】
【分析】由折叠的性质，可得：，BD=CD，由勾股定理可求得AB=4，在Rt△DAC中，由勾股定理建立方程可求得CD，再由勾股定理即可求得DE的长．
【详解】解：由折叠的性质可得：，BD=CD，
，
∵，
∴，
∴AD=AB－BD=4－CD；
在Rt△DAC中，由勾股定理得：，
解得：，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：．
答：折痕的长为．
【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系，关键是通过勾股定理建立方程求得CD的长．
23. 如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD，EF
（1）求证：CD＝EF；
（2）求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝．
【解析】
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出DE＝FC，得出四边形CDEF是平行四边形，即可得出CD=EF；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长即可得答案．
【详解】（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵使CF＝BC，
∴DE＝FC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CD＝EF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴EF＝CD＝＝．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
24. 如图，在四边形中，，，E为对角线中点，F为边的中点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点G，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理：
（1）先由线段中点的定义和三角形中位线定理得到，，，进而根据推出，再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形；
（2）先由菱形的性质可得，，，利用勾股定求出，则，则可得到．
【小问1详解】
证明：为的中点，F为的中点，
，，，
，
．
又∵，
，，
四边形是平行四边形，
是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，且，
，，，
，
，
．
25. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作垂直于点，连接，．
（1）求，的长；
（2）求证：；
（3）当为何值时，为直角三角形？请直接写出结果．
【答案】（1），．
（2）证明见解析． （3）当或时，为直角三角形．
【解析】
【分析】（1）根据含角的直角三角形的特征可得，再根据勾股定理求解即可；
（2）根据含角的直角三角形的特征即可证明；
（3）分三种情况讨论：①；②；③，综合运用矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
设，则，由勾股定理得：
，
即，
解得，（舍去），
，．
【小问2详解】
证明：，
，
在中，，，
，
又，
．
【小问3详解】
解：依题得：，,
，，，
①当时，
，，，
四边形为矩形，
此时，即，
解得，
②当时，
，，
，
又由可得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
解得；
③当时，
点到达点，点到达点，此时、、三点共线，
当时，不存在；
综上，当或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理、含角的直角三角形的特征、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握含角的直角三角形的特征．天津市部分区2023～2024学年度第二学期期中练习
八年级数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将正确选项填在下表中）
1. 若在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
2. 如果一个三角形的三边长分别为1，1，，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 如图，在平行四边形中，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面某学习小组拟定测量方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量四边形的三个角是否都为直角
6. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A 3，5，9 B. 4，6，8 C. 13，14，15 D. 6，8，10
8. 如图，四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF=3，CE=4，EF=5，则CD的长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
11. 如图，将正方形沿对折，使点A落在对角线上的处，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，中，垂直平分于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上）
13. 计算的结果是______．
14. 如果=0，那么的值为____________
15. 已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的高为________cm．
16. 某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到和的中点D、E，测得的长为1100m，则隧道的长度为 ______________m．
17. 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则平行四边形ABCD的面积是_____．
18. 如图，在矩形中，平分，交于点，为中点，为的中点，连接．若，．
则：的长为______；
长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算
（1）；
（2）．
20. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
21. 如图，，，，，求的面积．
22. 如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕长．
23. 如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD，EF
（1）求证：CD＝EF；
（2）求EF的长．
24. 如图，在四边形中，，，E为对角线的中点，F为边的中点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点G，若，，求的长．
25. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作垂直于点，连接，．
（1）求，的长；
（2）求证：；
（3）当为何值时，为直角三角形？请直接写出结果．

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