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第二十一章
一元二次方程
第2课时 配方法
21.2.1
配方法
R·九年级数学上册
1.知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，能运用配方法解一元二次方程.
2.通过配方法将一元二次方程进行变形，进一步体会“降次”的转化思想.
学习目标
知识回顾
1.已知代数式x2+8x+m是一个完全平方式，则m的值为_________.
2.已知代数式x2+nx+9是一个完全平方式，则n的值为_________.
16
6或-6
3.填空：
(1) x2+10x+_____= ( x+_____)2；
(2) x2-12x+_____= ( x-_____)2；
(3) x2+5x+_____= ( x+_____)2；
(4) x2- x+_____= ( x-_____)2.
25
5
【选自教材P9 练习 第1题】
36
6
新课导入
方程(x+3)2=5我们可以用直接开平方法来求解，那么，你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解吗？
使左边配成
x2+2bx+b2的形式
两边加9
新知探究
知识点
用配方法解一元二次方程
x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
左边写成完全平方形式
(x+3)2=5
降次
x+3=±
x+3= ，或x+3=-
解一次方程
x1=-3+ ，x2=-3-
思考：为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加
其他数行吗？
使左边配成
x2+2bx+b2的形式
两边加9
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.
归纳总结
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法的基本思路：
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
例1 解下列方程：
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(1)解：移项，得：x2-8x=-1.
配方，得：x2-8x+42=-1+42，
(x-4)2=15.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2) 先把方程化成 2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
例1 解下列方程：
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
(2) 2x2+1=3x
解：移项，得：2x2-3x=-1.
二次项系数化为1，得：
配方，得：
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2) 先把方程化成 2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
(3) 与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.
例1 解下列方程：
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
(3) 3x2-6x+4=0
解：移项，得：3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得： .
配方，得：
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.降次，利用平方根的意义降次；
5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
归纳总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时，则 ，方程有两个不等的实数根
②当p=0时，则 x+n=0，方程有两个相等的实数根
x1=x2=-n；
③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根.
1.填空：
(1) x2+6x+_____= ( x+_____)2；
(2) x2-x+_____= ( x-_____)2；
(3) 4x2+4x+_____= ( 2x+_____)2；
(4) x2- x+_____= ( x-_____)2.
9
3
1
1
【选自教材P17 习题21.2 第2题】
随堂练习
2. 解下列方程：
（1）x2+10x +9 = 0； （2）x2 －x － = 0；
解：移项，得 x2+10x =－9
配方，得 x2+10x +52 =－9+52
(x+5)2 =16
由此可得 x+5 =±4
x1= －1 ， x2=－9
解：移项，得 x2 － x =
配方，得x2 － x +( )2 = +( )2
(x － )2 = 2
由此可得 x－ =±
x1= + ， x2= －
【选自教材P9 练习 第2题】
（3）3x2+6x －4 = 0； （4）4x2 －6x －3 = 0；
解：移项，得 3x2+6x =4
二次项系数化为1，得 x2+2x =
配方，得 x2+2x +12 = +12
由此可得 x+1 =±
x1= －1+ ， x2=－1－
(x +1)2 =
解：移项，得 4x2 －6x =3
二次项系数化为1，得 x2－ x =
配方，得 x2－ x +( )2 = +( )2
由此可得 x－ =±
(x－ )2 =
x1= ， x2=
2. 解下列方程：
【选自教材P9 练习 第2题】
（5）x2+4x－9 = 2x－11； （6）x(x +4) = 8x+12.
解：移项，得 x2+4x-2x=-11+9
x2+2x =-2
配方，得 x2+2x +12 = -2+12
原方程无实数根.
(x +1)2 =-1
解：移项，得x2 +4x = 8x+12
x2 －4x = 12
配方，得x2 －4x+22=12+22
由此可得x－2 =±4
x1= 6， x2= －2
(x－2)2 = 16
2. 解下列方程：
【选自教材P9 练习 第2题】
3. 用配方法解下列方程：
（1）x2+10x +16 = 0； （2）x2 －x － = 0；
解：移项，得 x2+10x = -16
配方，得 x2+10x +52 = -16+52
(x+5)2 =9
由此可得 x+5 =±3
x1= -2 ， x2= -8
解：移项，得 x2 － x =
配方，得x2 － x +( )2 = +( )2
(x － )2 = 1
由此可得 x－ =±1
x1= ， x2=
【选自教材P17 习题21.2 第3题】
（3）3x2+6x －5 = 0； （4）4x2 －x －9 = 0.
解：移项，得 3x2+6x =5
二次项系数化为1，得 x2+2x =
配方，得 x2+2x +12 = +12
由此可得 x+1 =±
x1= －1+ ， x2=－1－
(x +1)2 =
解：移项，得 4x2 －x =9
二次项系数化为1，得 x2－ x =
配方，得 x2－ x +( )2 = +( )2
由此可得 x－ =±
(x－ )2 =
x1= ， x2=
3. 用配方法解下列方程：
【选自教材P17 习题21.2 第3题】
4.有一根20m长的绳，怎样用它围成一个面积为24m2的矩形？
【选自教材P17 习题21.2 第11题】
整理，得x2-10x+24=0，
解得 x1=4，x2=6.
解：设围成的矩形的一边长为 x m， 则另一边为 ( -x) m.
根据题意，得 x( -x)=24.
所以这个矩形相邻两条的长分别为6m和4m.
当x=4时， -x=6；
当x=6时， -x=4，
答：分别以为4m和6m为相邻两边的长围成矩形即可.
5. 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出
这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a=-1时，原式有最小值为17.
1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.降次，利用平方根的意义降次；
5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
课堂总结
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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