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第二十一章
一元二次方程
21.2.2 公式法
R·九年级数学上册
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程.
学习目标
知识回顾
说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.降次，利用平方根的意义降次；
5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？
新知探究
知识点1
一元二次方程根的判别式
ax2+bx+c=0 (a≠0)
移项，得
ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
配方，得
即
能直接开方吗？
①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的
实数根
ax2+bx+c=0 (a≠0)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的
实数根
ax2+bx+c=0 (a≠0)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
③当b2－4ac＜0时， ＜0，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
归纳总结
b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式，用“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
Δ的符号 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
Δ＞0 有两个不等的实数根
Δ＝0 有两个相等的实数根
Δ＜0 无实数根
利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2-3x- =0； (2) 16x2-24x+9=0；
【选自教材P17 习题21.2 第4题】
方程有两个不等的实数根
Δ=b2-4ac
=(-3)2-4×2×
=21>0
解：Δ=b2-4ac
=(-24)2-4×16×9
=0
方程有两个相等的实数根
解：
利用判别式判断下列方程的根的情况：
(3) x2-4 x+9=0； (4) 3x2+10=2x2+8x.
【选自教材P17 习题21.2 第4题】
方程无实数根
Δ=b2-4ac
= -4×1×9
=-4＜0
化简，移项得 x2-8x+10=0
Δ=b2-4ac
=(-8)2-4×1×10
=24>0
方程有两个不等的实数根
解：
解：
知识点2
用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
知识点2
用公式法解一元二次方程
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0
(1) x2-4x-7=0； (2) 2x2- x +1=0;
(3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x.
解：方程化为5x2-4x-1=0
a=5，b=-4，c=-1
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
=36>0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17
Δ= b2－4ac
=(-8)2-4×1×17
=-4＜0
方程无实数根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
归纳总结
(1)将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);
(2)确定a，b，c的值；
(3)求出b2-4ac的值；
(4)若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0，则方程无实数根.
易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）
A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0
B
随堂练习
3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分
别是（ ）
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
B
C

4.用公式法解下列方程：
(1) x2+x-12=0;
解：a=1，b=1，c=-12
Δ= b2－4ac
=12-4×1×(-12)
=49>0
【选自教材P17 习题21.2 第5题】
(2) x2- x- =0;
(3) x2+4x+8=2x+11;
解：方程化为 x2+2x-3=0
a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac
=22-4×1×(-3)=16>0
(4) x(x-4)=2-8x;
解：方程化为 x2+4x-2=0
a=1，b=4，c=-2
Δ= b2－4ac
=42-4×1×(-2)=24>0
(5) x2+2x=0;
解：a=1，b=2，c=0
Δ= b2－4ac
=22-0=4>0
(6) x2+2 x+10=0.
解：a=1，b=2 ，c=10
Δ= b2－4ac
= -4×1×10
=-20＜0
原方程无实数根
5. 解下列方程：
（1）x2+x－6 = 0； （2） x2－ x － = 0；
（3）3x2 －6x－2 = 0； （4）4x2－6x = 0；
（5）x2 +4x+8 = 4x+11； （6）x(2x－4) = 5－8x.
x1= 2， x2= －3
x1= 1+ ， x2= 1－
x1= ， x2=－
x1= +1， x2= －1
x1= ， x2= 0
x1=－1+ ， x2=－1－
【选自教材P12 练习 第1题】
6.如图， 有一块矩形铁皮， 长100cm， 宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起 ， 就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2， 那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x2－75x+350 = 0
Δ=b2－4ac=4225＞0
所以x1=70（不合题意，舍去）x2=5，
所以x =5.
所以铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形.
【选自教材P12 练习 第2题】
解：设各角应切去xcm的正方形.
x=
7.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理.
【选自教材P17 习题21.2 第12题】
解：设这个凸多边形的边数为n.
由题意，得 ，
解得n1=8，n2=-5(不合题意，舍去).
所以n=8，
所以这个凸多边形是八边形.
令 ，
解得 .
而凸多边形的边数应为正整数，故不存在有18条对角线的多边形.
8.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由.
解：方程可化为x2-5x+6-p2=0，
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1.
∵p2≥0，∴4p2+1＞0，即Δ>0，
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
【选自教材P17 习题21.2 第13题】
公式法
用求根公式解一元二次方程的方法
一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac
求根公式
当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根.
课堂小结
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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