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第二十一章
一元二次方程
21.2.3 因式分解法
R·九年级数学上册
1.知道因式分解法，会用因式分解法解一元二次方程.
2.能根据具体一元二次方程的特征，选择合适的解法，体会解决问题的多样性.
学习目标
知识回顾
回顾1：因式分解的方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
a2-b2=(a+b)(a-b)
（3）十字相乘法：
x2+(p+q)x2+pq=(x+p)(x+q)
（1）直接开平方法：
（2）配方法：
（3）公式法：
x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0)
(x+h)2=k(k≥0)
回顾2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？
新课导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经
过x s离地面的高度（单位：m）为：
10x-4.9x2.
问题：设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程.
10x-4.9x2=0
你能试着用学过的方法解这个方程吗？
知识点1
用因式分解法解一元二次方程
新知探究
10x-4.9x2=0
配方法：
整理，得 49x2-100x=0
系数化为1，得 x2- x=0
配方，得
降次，得
x1=0，x2=
知识点1
用因式分解法解一元二次方程
新知探究
10x-4.9x2=0
公式法：
整理，得 49x2-100x=0
a=49，b=-100，c=0
x1=0，x2=
Δ=b2-4ac
=(-100)2-0
=10000＞0
除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解10x-4.9x2=0这个方程吗？
因式分解
x(10-4.9x)=0
两个因式的积为0，说明了什么？
降次，化为两个一次方程
x=0 或 10-4.9x=0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1=0，x2=
10x-4.9x2=0
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？
解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例3 解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0；
解： 因式分解，得
(x-2)(x+1)=0.
即 x-2 =0 或 x+1 =0,
x1=2，x2=-1.
解： 移项、合并同类项，得
4x2-1=0.
因式分解，得
(2x-1)(2x+1)=0.
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1= , x2= .
归纳总结
1. 移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；
2. 把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
3. 把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
4. 解两个一元一次方程，求出方程的根.
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
知识点2
一元二次方程解法的选用
选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7；
解：
解：化简，得
4x2-4x+1=3x2+2x-7
x2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x1=2，x2=4
x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0；
解：分解因式，得
(x-5)(x+7)=0
x1=5, x2=-7
解：化简，得
x2-2x+1+2x-3=0
x2-2=0
解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程
一元二次方程的解法及适用类型：
归纳总结
x2=p或 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0)
所有的一元二次方程
1. 解下列方程：
（1）x2+x = 0； （2）x2 - 2 x = 0；
（3）3x2- 6x = - 3； （4）4x2 - 121 = 0；
【选自教材P14 练习 第1题】
解：x(x+1)=0
x1= 0， x2= －1.
解：x(x-2 )=0
x1= 0， x2= 2 .
解：3x2-6x+3=0
x2-2x+1=0
(x-1)2=0
x1= x2= 1.
解：(2x+11)(2x-11)=0
x1= － ，x2= .
随堂练习
（5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x- 4) 2 = (5-2x) 2 .
解：6x2-x-2=0
(2x+1)(3x-2)=0
x1= － ， x2= .
解：(x-4)2-(5-2x)2=0
(x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0
(1-x)(3x-9)=0
x1= 1， x2= 3 .
2. 用因式分解法解下列方程：
（1）3x2-12x = -12； （2）4x2 - 144= 0；
（3）3x(x-1) =2(x-1)； （4）(2x-1)2= (3-x)2.
【选自教材P17 习题21.2 第6题】
x1= x2= 2.
x1= 6， x2= -6.
x1= 1， x2= .
x1= -2， x2= .
②因式分解法：
原方程可化为：
[(x-3)+(5-2x)]·[(x-3)-(5-2x)]=0
即(2-x)(3x-8)=0
2-x=0或3x-8=0
x1=2，x2=
3.分别用公式法和因式分解法解方程x2-6x+9=(5-2x)2.
【选自教材P17 习题21.2 第10题】
①公式法：
原方程可化为：3x2-14x+16=0，
a=3，b=-14，c=16
Δ=b2-4ac
=(-14)2-4×3×16
=4＞0
4.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2.求斜边的长.
【选自教材P17 习题21.2 第8题】
解：设较短的一条直角边为xcm，则较长直角边为(x+5)cm.
根据题意，得 x(x+5)=7， 整理，得 x2+5x-14=0,
解得x1=2，x2=-7（不合题意，舍去）
∴当x=2时，x+5=7.
由勾股定理，得直角三角形斜边的长为 (cm).
答：这个直角三角形斜边的长为 cm.
5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【选自教材P17 习题21.2 第9题】
解：设共有x家公司参加商品交易会.
由题意，可知 x(x-1)=45，
整理，得 x2-x-90=0,
解得x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）
答：共有10家公司参加商品交易会.
6. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，
场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为x m,则大
圆形场地的半径为(x+5) m.
由题意,得π(x+5)2 =2πx2.
可变形为(x+5) 2 = 2x2 ,
(x+5) 2 –( x) 2 = 0，
[(x+5)+ x ][(x+5) – x]=0，
即[( +1)x+5 ][(1– ) x+5]=0，
【选自教材P14 练习 第2题】
所以x1= -5( -1)= 5-5 ，
x2= 5( +1)= 5 +5.
因为x1= 5-5 ＜0不合题意，舍去，
所以x = 5 +5
答：小圆形场地的半径为(5 +5)m.
所以( +1)x+5=0或(1– ) x+5=0，
因式分解法
概念
原理
步骤
用因式分解法解方程
提公因式法
课堂小结
→
如果a·b=0,则a=0或b=0.
→
→
1.移 2.分 3.化 4.解
公式法
十字相乘法
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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