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R·九年级数学上册
第二十一章
一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
学习目标
知识回顾
1. 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2. 如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)
=0 (x1，x2为已知数) 的两根为x1和x2，将方程化
为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与 p，q之
间的关系吗？
新课导入
(x-x1)(x-x2)=0
化为一般式，得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
由上式，得 一次项系数为1，
二次项系数为 p=-(x1+x2)， 常数项为 q=x1x2.
则上述方程两个根的和、积与系数的关系为：
x1+x2=-p, x1x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0→x2+px+q=0
新知探究
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
别为x1= ，x2= 。
x1+x2= ，
x1x2= .
.
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
即任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
思考：把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
同除以a，得
此时方程的二次项系数为1，则两根与两根之积与系数的关系有：x1+x2=-p, x1x2=q（p为二次项系数，q为常数项）.
故也能得出
例 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下
列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2-6x-15=0； (2) 3x2+7x-9=0； (3) 5x-1=4x2 .
解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15.
拓展提升
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
①
②
③
④
⑤
⑥
练一练
1.设x1，x2是一元二次方程x2-7x-5=0的两个实
数根，则 的值为 .
2.设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则：
（1） = ；
（2） = .
3
10
关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= .
已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ .
-2
-1
-7
随堂练习
3.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) x2-3x=15； (2) 3x2+2=1-4x；
解：x1+x2=3
x1x2=-15
【选自教材P16 练习】
解：化简得 3x2+4x+1=0
x1+x2=
x1x2=
(3) 5x2-1=4x2+x； (4) 2x2-x+2=3x+1.
解：化简得 x2-x-1=0
x1+x2=1
x1x2=-1
解：化简得 2x2-4x+1=0
x1+x2=2
x1x2=
4. 求下列方程两个根的和与积：
（1）x2－3x+2=10； （2）5x2+x-5=0；
解：x1+x2=3
x1x2=-8
解：x1+x2=
x1x2=-1
【选自教材P17 习题21.2 第7题】
（3）x2+x=5x+6； （4）7x2-5=x+8.
解：化简得 x2-4x-6=0
x1+x2=4
x1x2=-6
解：化简得 7x2-x-13=0
x1+x2=
x1x2=
5. 已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).
根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，
得x2-8x+9.75=0.
解得x1=6.5, x2=1.5.
当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.
∴这两个数是6.5和1.5.
6. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） ； （2） .
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
7. 已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等
于两根之积，求m的值.
解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.
∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.
根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.
当m=3时，原方程为x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有实数根.
当m=-1时，原方程为x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此m值舍去.
∴m的值为3.
课堂小结
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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