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二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
R·九年级上册
学习目标
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.
2.能说出抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
3.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
向上k 个单位
向下k 个单位
复习回顾
抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到
y=ax2
y=ax2+k
y=ax2-k
y=a(x+h)2
向左h个单位
y=a(x-h)2
向右h个单位
上加下减常数项
括号内左加右减
复习回顾
抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到
猜想：抛物线y=a(x-h)2+k由抛物线y=ax2怎样平移得到
探索新知
例3 画出函y=- (x+1)2-1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=- (x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
描点、连线，画出这两个函数的图象.
y=- (x+1)2-1
开口_______，
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
向下
直线x=-1
(-1, -1)
y=- (x+1)2-1
思考：抛物线y=- (x+1)2-1的图象可以由抛物线y=- x2平移得到吗？怎么平移？
y=- x2
y=- x2
y=- (x+1)2
向左平移1个单位
y=- (x+1)2
y=- (x+1)2-1
向下平移1个单位
还有其他的平移方法吗？
思考：抛物线y=- (x+1)2-1的图象可以由抛物线y=- x2平移得到吗？怎么平移？
y=- x2
y=- x2
向下平移1个单位
y=- x2+1
y=- x2-1
y=- (x+1)2-1
向左平移1个单位
y=- (x+1)2-1
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一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同.
归纳小结
y=ax2
y=a(x-h)2
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度
y=a(x-h)2+k
向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
y=ax2+k
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度
向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度，
再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
简记为：
上下平移，括号外上加下减；
左右平移，括号内左加右减.
二次项系数a不变.
练一练
将抛物线y= x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( ).
A. y= (x-2)2+3 B. y= (x+3)2+2
C. y= (x-3)2+2 D. y= (x+2)2+3
C
y=ax2 y=a(x-h)2+k
开口方向 a>0时开口向上，a<0时开口向下 对称轴 x=0 x=h
顶点坐标 (0, 0) (x, k)
顶点式
y=ax2、 y=ax2+k、y=a(x-h)2是特殊的顶点式.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最大值=k
练习
说出下面函数的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2；
（3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6.
【教材P35练习】
开口向上
对称轴为x=-3
顶点坐标为（-3，5）
开口向下
对称轴为x=1
顶点坐标为（1，-2）
开口向上
对称轴为x=3
顶点坐标为（3，7）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-6）
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长.
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此可设这段抛物线对应的函数是
y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1) +3，
x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
解得a= - .
因此y= - (x-1)2+3（0≤x≤3）.
随堂练习
1.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1；
（3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3.
开口向上
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，1）
开口向下
对称轴为x=2
顶点坐标为（2，-1）
开口向上
对称轴为x=4
顶点坐标为（4，3）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-3）
2.对称轴是直线x=-2的抛物线是( ).
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2
C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
3.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ).
A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1
C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+1
4.若抛物线的顶点为(3,5) ,则此抛物线的解析式可设为( ).
A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5 C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
C
C
B
5.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1, -2)，求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是(1, -2)，
设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.
图象过点(0, 0)，则0=a(0-1)2-2，
解得a=2.
∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
6.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=- x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ).
A.3.5 m B.4 m
C.4.5 m D.4.6 m
B
课堂小结
二次函数
y=a(x-h)2+k
的图象和性质
图象
1.开口方向由a的符号决定；
2.顶点坐标是(h, k)；
3.对称轴是直线x=h.
性质
平移规律
左右平移：自变量左加右减
上下平移：常数项上加下减
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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