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二次函数y=ax 的图象和性质
R·九年级上册
学习目标
1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
2.能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
复习回顾
二次函数
概念
图象
性质
一次函数
正比例函数
从特殊
到一般
类比
描点法画图
观察图象特征
归纳函数性质
形如y=ax2+bx+c
(a，b，c是常数，a≠0)的函数.
探索新知
二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)
最简单的二次函数y=ax2
y=x2
画二次函数 y=x2 的图象.
1.列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2.描点.
3.连线.
y =x2
用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸.
y =x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
y =x2
议一议：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线；
2.图象开口向上；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（0，0）；
5.图象有最低点．
y =x2
想一想：二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化
从二次函数y=x2的图象可以看出：
当x<0时， y随着x的增大而减小；
当x>0时，y随着x的增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象.
y =x2
①列表；
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y=2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
②描点；
③连线.
y=2x2
y =x2
y=2x2
思考：（1）函数y= x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
①图象开口向上；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最低点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而减小；
当x>0时，y随着x的增大而增大.
开口大小
思考：（2）当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
y =x2
y=2x2
①图象开口向上；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最低点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而减小；
当x>0时，y随着x的增大而增大.
⑥a越大，抛物线的开口越小.
探 究
在同一直角坐标系中，画出函数y=- x2，y=-x2，y=-2x2的图象.
①列表；
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ···
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y=-x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y=-2x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ···
②描点；
③连线.
y =－x2
y=-2x2
y =－x2
y=-2x2
思考：（1）从函数y= x2 ，y=-x2，y=-2x2的图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
①图象开口向下；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最高点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而增大；
当x>0时，y随着x的增大而减小.
开口大小
y =－x2
y=-2x2
思考：（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
①图象开口向下；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最高点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而增大；
当x>0时，y随着x的增大而减小.
⑥a越小，抛物线的开口越小.
y=ax2 a>0 a<0
图象
位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方
对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大;
当x>0时, y随着x的增大而减小.
练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）y = 3x2； （2）y = -3x2 ；
（3）y = x2； （4）y = - x2.
开口向上
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
【教材P32练习】
开口向下
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
开口向上
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
开口向下
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
观察右面图象，抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
随堂练习
1. 函数y=2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________ . 在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______.
2. 函数y=-5x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________ . 在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______.
向上
y轴
（0，0）
减小
增大
向下
y轴
（0，0）
增大
减小
3.如右图，观察函数y=(k-1)2的图象，则k的取值范围是_______.
4.已知下列二次函数 ①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；
④y=-4x2；⑤y=4x2.
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
k>1
②③⑤
①
①④
5.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(-1，2).
（1）则a的值是_______；
（2）对称轴是_______，开口_______.
（3）顶点坐标是_______，顶点是抛物线上的最_______点.抛物线在x轴的_______方(除顶点外).
（4）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x12
y轴
向上
(0，0)
低
上
>
6.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）
C
7.如图，二次函数y=2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
解：∵二次函数y=2x2的图象经过点C，
∴当x=2时，y=2×22=8，即BC=8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴OA=OB.
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积.
∴S阴影部分面积之和=2×8=16.
课堂小结
二次函数y=ax2的
图象和性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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