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(共21张PPT)
用待定系数法求二次函数的解析式
R·九年级上册
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.灵活选择一般式、顶点式解决关于二次函数的相关问题.
复习回顾
1.一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)有几个待定系数？确定一次函数的表达式需要几个条件？
2个
2个
待定系数法
设
代
解
写
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
设函数解析式
代入已知点的坐标列方程（组）
解方程（组）
写出解析式
3.二次函数的两种常用表达式是？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点为(h, k)
思考：确定二次函数的表达式需要几个条件？
3个待定系数，3个条件
探索新知
问题1：一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
把点(-1, 10)、(1, 4) 、(2, 7)代入可得
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解得
a=2
b=-3
c=5
∴这个二次函数解析式是y=2x2-3x+5.
写出解析式
一般式法求二次函数表达式的方法
若已知抛物线过三个点，可设一般式求二次函数的表达式.这种方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
任意两点的连线不与y轴平行.
练一练
一个二次函数的图像经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c.
把点(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)代入可得
解得a=4，b=5，c=0.
∴抛物线的解析式为y=4x2+5x.
c=0
a-b+c=-1
a+b+c=9
【教材P40练习 第2题】
问题2：已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式.
解：∵抛物线顶点为(1, -4)，
∴设这条抛物线的解析式y=a(x-1)2-4.
把点(3, 0)代入得
0=a(3-1)2-4，
解得a=1.
∴这条抛物线为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3.
顶点式法求二次函数表达式的方法
若已知抛物线的顶点坐标（对称轴、最值）及另一点，可设顶点式求表达式.这样的方法叫做顶点式法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标；
③将另一点的坐标代入解出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练
1.一个二次函数，当x=-1时，y有最大值为-4，当x=1时，y为
-8，求抛物线的解析式.
2.抛物线的对称轴为直线x=1，且过点(2, -3)，(-1, 0)，求抛物线的解析式.
顶点坐标(-1, -4)
y=-(x+1)2-4
y=a(x-1)2+k
或y=ax2+bx+c，- =1
y=(x-1)2-4
y=x2-2x-3
3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0，求这个二次函数的解析式.
【教材P40练习 第1题】
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c.
把点 (0, -1)，(-2, 0)，( , 0)代入可得
解得a=1，b= ，c=-1.
∴抛物线的解析式为y=x2+ x-1.
4a-2b+c=0
a+ b+c=0
c=-1
你还有其他的方法吗？
当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点A(x1，0)，B(x2，0)，
显然，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根.
则x1+x2=- ，x1x2= .
∴ y=ax2+bx+c=a(x2+ x+ )
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的交点式
3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0，求这个二次函数的解析式.
【教材P40练习 第1题】
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x- )，即y=x2+ x-1.
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x- ).
把点 (0, -1) 代入可得
-1=a(0+2)(0- )，
解得a=1.
方法二：
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中；
③将另一个点代入解出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳小结
求二次函数解析式时
图象过一般三点：
常设一般式
y=ax2+bx+c
已知顶点坐标：
常设顶点式
y=a(x-h)2+k
已知抛物线与x轴两交点：
常设交点式
y= a(x-x1)(x-x2)
练一练
顶点式
交点式
图象过x轴上的-3和4，并过y轴上-1
图象顶点坐标(3,2)，与x轴交于(-3,0)
函数过点
(0,-3)，(2,0)，(-3,0)
图象过点
(-5,0)，对称轴为x=-2，y有最大值5
随堂练习
1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2)，且过点B(0,2)，则y与x的函数关系式为( ).
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c= ．
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，则其解析式为 .
D
-2
y=-7(x-3)2+4
4.如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4)，求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8, 0)及对称轴为x=3，
知抛物线一定过点(-2, 0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，
∵抛物线过点(0, 4)，
把点 (0, 4) 代入可得4=a(0+2)(0-8)，解得a=- .
∴这个抛物线的解析式为y=- (x+2)(x-8)，
即y=- x2+ x+4
5.已知抛物线顶点(1, 16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5, 0)，(-3, 0)，
设解析式为y=a(x-5)(x+3)，
∵抛物线过点(1, 16)，
把点 (1, 16) 代入可得16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)，
即y=-x2+2x+15.
课堂小结
已知条件
待定系数法
求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x-h)2+k
③已知抛物线与x轴的两个交点
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
（x1，x2为交点的横坐标）
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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