资源简介

(共29张PPT)
数学活动
R·九年级上册
（1）通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.
（2）探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
（3）运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
（4）通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力，培养学生的空间想象能力.
活动目标
新课导入
点是几何中最基本的图形，把点按一定规律排列起来组成的图形叫做点阵.
点是几何中最基本的图形，把点按一定规律排列起来组成的图形叫做点阵.
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
观察图形，完成下面各题.
活 动 1
三角形点阵
新课探究
图1
活 动 1
三角形点阵
新课探究
问题1：三角点阵中，从上向下数有无数多行，你能说说它的规律吗？
第一行有1个点
第二行有2个点
第三行有3个点
第四行有4个点
……
第n行有n个点
问题2：三角点阵中，前4行的点数和是多少？前5行呢？前6行呢？
前n行 前n行点数和
前1行
前2行
前3行
前4行
前5行
前6行
…
前n行
1
1+2=3
1+2+3+···+（n-2）+（n-1）+ n
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
…
前n行的点数和：
1+2+3+···+（n-2）+（n-1）+n
m=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+ … +4+3+2+1.
设：
①
②
① +② 得：
2m=(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)
n个
m=1+2+3+4+…+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n.
2m=n(n+1)
m=
问题3：你能发现300是前多少行的点数和吗？
解：设前n行的点数和为300.
1+2+3+4+ … +(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=300
转化为方程：
整理得：
n2 + n - 600 = 0
解得：
n1=24，
n2=-25
即：
n =24，
所以，300是前24行的点数和.
（舍）
问题4：三角点阵中前n行的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，请说明理由.
解：设前n行的点数和为600.
可得方程：
整理得：
n2+n-1200=0
解得：
该方程没有整数根.
所以三角点阵中前n行的和不能是600.
4761＜4801＜4900
692＜4801＜ 702
如果把三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？
想一想
前n行的点数和为
此时这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
想一想
解：设前n行的点数和为600.
可得方程：
整理得：
n2+n-600=0
n（n+1）=600
解得：
n1=24，
n2=-25
即：
n =24.
（舍）
活 动 2
正六边形点阵
如图2是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，依此类推.
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······
·······
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········
·······
······
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图2
①填写下表：
层 数 1 2 3 4 …
该层对应的点数
所有层的总点数
1
6
12
18
…
1
7
19
37
…
②第n层所对应的点数为 （n≥2）.
③写出n层正六边形点阵的总点数（n≥2）.
6(n-1)
1+6×1+6×2+…+6(n-1)
=1+6·
=1+3n(n-1)
④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？
1+3n(n-1)=331
化简方程为：n2-n-110=0
分解因式为：(n-11)(n+10)=0
解得：n1=11，n2=-10(舍去)，
所以共有11层.
⑤ 点阵设计大赛：
设计时间：5分钟.
设计要求：
a.每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.
b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.
1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.
（1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
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····
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··
···
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··
·
①1=1；
②1+2= ；
③1+2+3= ；
④1+2+3+4= .
3
6
10
随堂演练
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式：_________________.
1+2+3+…+9=45
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···
····
·
··
···
·
··
·
（3）2015是“三角形数”吗？为什么？
解：不是.“三角形数”都可以写成 的形式，
令2015= ，
解得n1= ，n2= .
因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数.
（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.
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①1=12； ②1+3=22；
③3+6=32； ④6+10=42；
⑤ .
10+15=52
（5）通过猜想，写出（4）中与第n个点阵相对应的等式： .
（6）判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
解：是. ∵152=225.
∴225是“正方形数”.
由(5)得， ，
∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.
2.如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(n+3)
(n+2)
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
解：第n个图共有(n2+5n+6)块瓷砖.
由n2+5n+6=506.
解得n1=20，n2=-25(舍去).
∴n=20.
(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖
白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,
黑瓷砖块数是506-420=86.
86×4+420×3=1604(元).
共需1604元钱购买瓷砖.
(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形 请通过计算说明为什么
在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).
则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)
化简得n2-3n-6=0
解得n1= ， n2= .
∵n为正整数，不合题意.
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
三角形点阵前n行数点数和
正六边形第n层所对应的点数（n≥2）
6(n-1)
n层正六边形点阵的总点数（n≥2）；
1+3n(n-1)
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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