资源简介

(共32张PPT)
第21章 一元二次方程
章末复习
R·九年级上册
（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
（2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
（3）列一元二次方程解决实际问题.
（4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.
复习目标
知识框架
实际问题
设未知数，列方程
降次
实际问题的答案
一元二次方程
ax2+bx+c=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0的根)
检验
解方程
配方法
公式法
因式分解法
通过对一元二次方程这章的学习，你掌握了哪些知识？这些知识点间又有哪些联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？
ax2 + bx + c =0(a≠0)
a
b
c
二次项系数
一次项系数
常数项
知识回顾
知识点一：一元二次方程的有关概念
一元一次函数 一元二次函数
概念 一个未知数 最高次是1 整式方程
一般形式 mx+n=0(m≠0)
一个未知数
最高次是2
整式方程
ax2 + bx + c =0(a≠0)
1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般形式为 ，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是 .
x2-5x-4=0
1，-5，-4
知识点二：一元二次方程的解法
思考有哪些解一元二次方程的方法？
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
解方程：
（1）x2=81；
（2）196x2-1=0；
（3）（x-3）2-49=0；
解：(1) x1=9， x2=-9
（4）x2-2x+1=25.
(2) 196x2 =1
x2 =
解方程：
（1）x2=81；
（2）196x2-1=0；
（3）（x-3）2-49=0；
解：(3) (x-3)2 = 49
x-3 =±7
x1=10， x2=-4
（4）x2-2x+1=25.
(4) (x-1)2 = 5
x-1=
直接开平方法
形如方程x2=p或(mx+n)2=p可以用直接开平方法求解
当p>0时，方程有两个不等的实数根 .
当p=0时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0.
当p<0时，方程无实数根.
解方程：
（1）x2+6x+4=0；
（2）2x2-6x-3=0.
解：(1)移项，得 x2+6x = -4
由此可得 x+3 =±
x1= -3+ ， x2=-3-
(x +3)2 =5
配方，得 x2+6x +32 = -4+32
二次项系数化为1，得 x2-3x =
配方，得 x2-3x + = +
解方程：
解：(2)移项，得 2x2-6x =3
由此可得
x1= ， x2=
（2）2x2-6x-3=0.
（1）x2+6x+4=0；
配方法
一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解.
1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.降次，利用平方根的意义降次；
5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
（1）x2－7x－1 = 0 ； （2）2x2+3x = 3；
解方程：
b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53＞0，
所以
解：(1)因为a = 1，b = -7，c = -1，
所以
x1= ， x2= .
b2-4ac=32-4×2×(-3)=33＞0，
所以
因为a = 2，b = 3，c = -3，
所以
x1= ， x2= .
解：(2)原方程可化为2x2+3x-3=0
（1）x2－7x－1 = 0 ； （2）2x2+3x = 3；
解方程：
公式法
公式法适用于任何一个一元二次方程.
先将方程化为一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定 的 符号:
当 时，方程有两个不等的实数根;
当 时，方程有两个相等的实数根;
当 时，方程没有实数根.
Δ=b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
解方程：
（1）x2－2x + 1 = 25； （2）x(2x－5) = 4x －10；
因式分解，得(x-6)(x+4)=0.
所以 x-6=0 或 x+4=0.
解：(1)原方程可化为x2-2x-24=0.
所以x1=6，x2 = -4.
所以 2x-5=0 或 x-2=0.
解：(2)原方程可化为(2x-5)(x-2)=0.
所以x1= ，x2 = 2.
解方程：
（1）x2－2x + 1 = 25； （2）x(2x－5) = 4x －10；
因式分解法
若A·B=0，则A=0或B=0
把方程变形为x2+px+q=0的形式；
把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
解两个一次方程，求出方程的根.
移
分
化
解
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1，x2，则其求根
公式是 x ＝ .
根与系数的关系是：x1+x2＝ ，x1x2＝ .
只有当a≠0，Δ≥0时，才能用根与系数的关系.
知识点三：一元二次方程根与系数的关系
解：设下列方程的两根分别为x1，x2 .
（1）x1+x2 = -(-5)=5，x1x2 =-10.
（2）x1+x2 = ，x1x2 = .
求下列方程两个根的和与积:
（1）x2－5x－10 = 0 ； （2）2x2+7x+1 = 0；
（3）3x2－1 = 2x + 5 ； （4）x(x－1) = 3x + 7.
求下列方程两个根的和与积:
（1）x2－5x－10 = 0 ； （2）2x2+7x+1 = 0；
（3）3x2－1 = 2x + 5 ； （4）x(x－1) = 3x + 7.
（3）方程可化为3x2-2x-6=0
x1+x2 = ，x1x2 = .
（4）方程可化为x2-4x-7=0
x1+x2 = 4，x1x2 =-7 .
应用
列一元二次方程解实际问题的步骤:
审, 设, 列, 解, 验, 答
几种常见问题
传播问题
细胞分裂问题
单(双)循环问题
平均变化率问题
销售问题
几何图形问题
知识点四：一元二次方程的应用
要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解：设应邀请x个球队参加比赛.
由题意，可知 x(x-1)= 15，x2-x-30=0，解得x1=6，x2=-5.
因为球队个数不能为负数，所以x = -5不合题意，应舍去.
所以 x =6.
答：应邀请6个球队参加比赛.
向阳村2010年的人均收入为12 000元，2012 年的人均收入为14 520元.求人均收入的年平均增长率。
解：设人均收入的年平均增长率为x.
由题意，可知12000(1+x)2 = 14520，
解得x+1=±1.1，
所以x1=0.1= 10% ，x2= -2.1.
又因为x = -2.1不合题意，舍去，所以x=10%.
答：人均收入的年平均增长率为10%.
随堂练习
1.已知2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为______.
2.关于x的一元二次方程ax2-2x+2=0有两个相等的实数根，则a的值为______.
-3
3.读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英才两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华属周瑜.周瑜去世时是______岁.
36
4.下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A. x2+x-2=0
B. x2-2x =0
C. x2+x+5=0
D x2-2x+1=0
C
5.已知关于x的一元二次方程k2x2+2(k-1)x+1=0.
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求k的值.
解：（1）由题意得k2≠0，Δ=[2(k-1) ]2-4k2=-8k+4≥0，
所以 k ≤ 且k ≠ 0.
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，
整理，得(k-2)2=9.
解得k1 = -1，k2 = 5.
根据（1）中k ≤ 且k≠0，得 k =-1.
课后作业
完成本课时相关作业

展开更多......

收起↑