资源简介

(共23张PPT)
数学活动
R·九年级上册
学习目标
1.探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.
2.建立二次函数模型证明猜想是否正确.
3.通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.
情境导入
问题：观察下列两个两位数的积，猜一猜其中哪个积最大.
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.
探索新知
数学活动1
（1）观察下列两个两位数的积 （两个乘数的十位上的数都是9， 个位上的数的和等于10）， 猜想其中哪个积最大.
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
解：91×99=99×91=9009，
92×98=98×92=9016，
93×97=97×93=9021.
∴91×99<92×98<93×97.
猜想：95×95最大.
“和同近积大”
你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？
（1）观察下列两个两位数的积 （两个乘数的十位上的数都是9， 个位上的数的和等于10）， 猜想其中哪个积最大.
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？
解：设第一个两位数的个位上的数为x，则第二个两位数的个位上的数为(10-x).
两个两位数的乘积y=(90+x)[90+(10-x)]，
=-x2+10x+9000，(x=1,2,3,…,8,9)
y=(90+x)[90+(10-x)]
=-x2+10x+9000 (x=1,2,3,…,8,9)
=-(x-5)2+9025 (x=1,2,3,…,8,9)
（1）观察下列两个两位数的积 （两个乘数的十位上的数都是9， 个位上的数的和等于10）， 猜想其中哪个积最大.
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？
解：设第一个两位数的个位上的数为x，则第二个两位数的个位上的数为(10-x).
两个两位数的乘积y=(90+x)[90+(10-x)]，
=-(x-5)2+9025 (x=1,2,3,…,8,9)
由此可知，当x=5时，y最大.
即在所列两个两位数乘积中，95×95最大．
（2）观察下列两个三位数的积 （两个乘数的百位上的数都是9， 十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100）， 猜想其中哪个积最大.
901×999，902×998，…，998×902，999×901.
你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？
解：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x).
两个三位数的乘积y=(900+x)(1000-x)
=-x2+100x+900000 (x=1,2,3,…,98,99)
=-(x-50)2+902500 (x=1,2,3,…,98,99)
所以当x=50时，y最大，即950×950最大．
数学活动2
（1）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0, 2).在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.
观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
(0, 2)
（1）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0, 2).在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，
作线段AM的垂直平分线l1，
过点M作x轴的垂线l2，
记l1，l2的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.
观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.
观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
点击打开几何画板.gsp
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是(x, y)，你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？你得出的结论与先前你的猜想一样吗？（提示：根据勾股定理用含x，y的式子表示线段PA的长.）
解：∵点P在线段AM的垂直平分线上，
∴PA=PM（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）.
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是(x, y)，你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？你得出的结论与先前你的猜想一样吗？（提示：根据勾股定理用含x，y的式子表示线段PA的长.）
PA = PM
=
y
=

解：过点A作AB⊥PM于点B.
在Rt△PAB中，有PA2=AB2+ PB2.
而AB=｜x｜，PB=｜y-2｜，
∴PA2=x2+(y-2)2.
∵点P在线段AM的垂直平分线上，
∴PM=PA.
又∵PM=y，
∴y2=x2+(y-2)2.
整理得y= x2+1.
由二次函数定义可知曲线L是抛物线.
随堂练习
1.根据以下10个乘积，回答问题：
1×399，2×398，3×397，4×396，…，398×2，399×1．
（1）猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？
（2）运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.
解：（1）猜想：200×200的积最大.
（2）设第一个乘数为x，第二个乘数为(400-x).
两个数的乘积y=x(400-x)=-x2+400x=-(x-200)2+40000.
由此可知，当x=200时，y有最大值.
即在所列两个数的乘积中，200×200最大.
2.分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？
x
L-x
L=2πr
S1=x( L-x)=-(x- )2+
S2=πr2=π( )2=
当x= 时，S1最大，此时S1= .
∵4π<16，∴ < .
∴S13.如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．
解答下列问题：
（1）填表：
（2）当n=6时，S=____；
n 1 2 3 4 5 …
S
1
3
6
10
15
…
21
（3）根据表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式．
y= x2+ x
课堂小结
1.活动1是运用二次函数的性质解决最值问题，活动2是运用二次函数的定义判定曲线的形状；
2.经历了计算、作图、观察、猜想、证明的数学研究过程，运用了数形结合思想；
3.从数学问题中抽象出二次函数关系，体会二次函数在数学中的广泛应用.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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