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第22章 二次函数
章末复习
R·九年级上册
学习目标
1.熟练掌握二次函数的定义、图象以及性质，理解与一元二次方程的关系，并能运用解决实际问题.
2.通过复习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法，提高解题能力，形成知识网络.
知识结构
图象
和
性质
二次函数
定义
解析式
y = ax2
y = ax2+k
y = a(x－h) 2
顶点式：y = a(x－h)2+k(a≠0)
一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
开口
对称轴
增减性
最值
应用
交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)
实际应用
二次函数与一元二次方程
面积
利润
抛物线型问题（如拱桥）
顶点坐标
先构建二次函数模型，
再利用图象性质求解
抛物线的平移关系及变化规律
知识回顾
一般地，形如y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
1.二次函数的定义
温馨提示：
（1）函数解析式是整式；
（2）化简整理后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0，即a≠0.
考点精练
1.下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A.y=x3+2x2+3 B. C.y=x2+x D.y=mx2+x+1
2.若函数y=(m-1)x2+3x+1是二次函数，则有（ ）
A. m≠0 B. m≠1 C. x≠0 D. x≠1
C
B
2.二次函数的图象和性质
y=ax2 a>0 a<0
图象
位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方
对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大;
当x>0时, y随着x的增大而减小.
y=ax2+k a>0 a<0
图象 k>0
k<0
开口方向
对称轴 顶点坐标 函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
（0，k）
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
2.二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最大值=0
2.二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最大值=k
2.二次函数的图象和性质
3.二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
考点精练
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
y=ax2
y=a(x-h)2
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度
y=a(x-h)2+k
向上(k>0)或向下(k<0)平移
| k |个单位长度
y=ax2+k
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度
向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度，
再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
简记为：
上下平移，括号外上加下减；
左右平移，括号内左加右减.
二次项系数a不变.
2.二次函数的图象和性质
考点精练
4.在平面直角坐标系中，作抛物线y=2x2关于x轴的对称变换，将所得抛物线再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ）
A.y=2(x-1)2-2 B.y=2(x+1)2-2
C.y=-2(x-1)2-2 D.y=-2(x+1)2-2
C
2.二次函数的图象和性质
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
开口方向
顶点 对称轴 增减性
最值
向上
向下
当 时
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当 时
当 时
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
当 时
当 时
当 时
2.二次函数的图象和性质
①已知抛物线上的三点，通常设解析式为______________；
②已知抛物线顶点坐标(h, k)，通常设抛物线解析式为______
_______________；
③已知抛物线与x轴的两个交点(x1, 0)、 (x2, 0)，通常设解析式为_____________________.
y=ax2+bx+c (a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
考点精练
5.抛物线y=x2-4x-3的顶点坐标为（ ）
A.(2, -7) B.(2, 7) C.(-2, -7) D.(-2, 7)
A
6.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①abc<0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0；
④a-b≥m(am+b)(m为实数)；⑤4ac-b2<0.
其中错误的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
3.二次函数与一元二次方程
方程角度
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解
抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点
xx2
x1有一个交点
x≠x1或x≠x2
无解
无交点
全体实数
无解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点
有一个交点
无交点
x1无解
无解
xx2
x≠x1或x≠x2
全体实数
考点精练
7.若抛物线y=(k-1)·x2-x+1与x轴有公共点，则k的取值范围是___________.　
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y<0时，x的取值范围是_________. 　
x -2 -1 0 1 2
y 0 4 6 6 4
且k≠1
x<-2或x>3
4.实际问题与二次函数
实际问题
二次函数
实际问题
的答案
利用二次函数的图象与性质求解
抽象
检验
目标
建立适当的直角坐标系
根据条件确定已知点坐标
待定系数法求抛物线解析式
9.如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完，则矩形框架ABCD面积的最大值为_______cm2.　
考点精练
150
10.某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本.按照物价部门规定，销售利润率不得高于90％ .市场调研发现，在一段时间内，每天的销售数量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)符合一次函数关系，其图象如图所示.　
考点精练
（1）根据图象，直接写出y关于x的函数解析式.
y=-2x+260
（2）若该公司想要每天获得3000元的销售利润，则销售单价应定为多少元
解：由题意，得(x-50)( -2x+260)=3000.
整理，得x2-180x+8000=0.
解得x1=80，x2=100.
因为x≤50×(1+90％)=95，
所以x=100不合题意，舍去.故x=80.
答:销售单价应定为80元.
（3）销售单价为多少元时，每天获得的销售利润最大 最大利润是多少元
解：设每天获得的销售利润为w元.由题
意，得w=(x-50)(-2x+260)=-2x2+360x-13000=-2(x-90)2+3200.
因为-2<0，所以当x=90时，w最大，由
（2）知这个定价符合物价部门的规定，
此时w最大值=3200.
答:销售单价为90元时，每天获得的销售利润最大，最大利润是3200元.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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