资源简介

高三数学一轮复习
大单元整体学习学程
函 数
班级：
小组：
姓名：
函数
——研究两变量间的依赖关系和变化规律
【学科大概念】
描述客观世界中变量关系和变化规律的最为基本的数学语言和工具。
【课程大概念】
依托对基本初等函数的图象和性质的研究，揭示变量变化规律的本质，发展数学抽象和逻辑推理能力，初步形成研究两变量关系和变化规律的一般思路，能利用函数构建模型，解决实际问题。
【单元概述】
函数是高中数学四大主线之一，贯穿整个高中数学生涯。本单元内容包括函数概念与性质，幂函数，指数函数，对数函数，函数、方程、不等式关系，函数的综合应用等。在学习本单元时，要在初中用变量间的依赖关系研究函数的基础上，借助集合语言和对应关系重新刻画函数，围绕初中学过的一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质逐步生成研究函数的基本方法，进而运用函数的研究方法，从单调性、奇偶性、最值等方面研究幂、指、对函数的运算性质和结构性质，利用图像与性质探究基本初等函数与生活的关系和应用。
高考考查方向：1.求函数的定义域、解析式、值域；2.判断函数的单调性，奇偶性，周期性；3.函数单调性、奇偶性、周期性的应用；4.函数性质的综合应用。
【课标要求】
1函数概念
（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合关系和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、解析法、列表法）表示函数，理解函数图象的作用。
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
2.函数性质
（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
3.幂函数
通过具体实例，结合y=x，，，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
指数函数
（1）通过对有理数指数幂（a>0,且a≠1；m,n为整数，且n>0）、实数指数幂（a>0，且a≠1；）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
（2）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。
（3）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
5.对数函数
（1）理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
（2）通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
（3）知道对数函数与指数函数互为反函数（a>0.且a≠1）。
【单元目标】
会用集合语言和对应关系刻画函数，建立
完整的函数及幂、指、对函数的概念，借助图像，能说出函数及幂、指、对函数的性质并说出他们之间的关系，构建知识、逻辑体系；
2.通过幂、指、对函数的图像及代数运算，总结研究函数的基本方法，建立函数模型，运用函数单调性、最值、奇偶性解决函数的核心问题。
3.从函数的图象、性质和应用等方面重构函数的知识、逻辑、能力、价值意义体系，解决与幂、指、对函数有关的综合性、应用性、创新性问题。
【评价预设】
评价内 容 水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
整体建构 能用自己的话说出函数概念，基本初等函数概念及性质 能说出基本初等函数的性质及逻辑关系。 能画出函数的知识与逻辑体系
探究迁移 能探究基本初等函数的运算法则和结构性质 解决与函数图像与性质有关的基本问题 构建函数模型解决创新性问题
拓展过关 重构函数知识、逻辑、能力、价值意义体系 构建函数模型解决综合性、应用性、创新性问题 过关达标
【学时建议】
学习过程 学习任务 课时
整体建构 任务一：梳理函数的概念与表示、以及基本初等函数的图像与性质 任务二：构建知识、逻辑体系 4
探究迁移 任务一：探究图像、性质，总结数学思想方法 任务二：借助具体函数（幂指对）解决数学问题和实际生活问题 10
拓展过关 构建四大体系、纠错反思总结提升 6
【单元前测】
1.下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．　　　　 　B．
C． D．
2.下列图像表示函数的是（ ）
(
0
x
y
B
0
x
y
C
0
x
y
D
0
x
y
A
)
函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5.把函数的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数的图像，则
A. B. C. D.
6.（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7.（多选）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
8．已知，则f(x)＝________．
9.设函数求满足的取值范围__________ .
10.已知函数
（1）判断函数在区间上的单调性，并证明；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）写出函数在区间上的值域.
11.如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．
（1）求的解析式；
（2）比较与的大小；
（3）已知求m的取值范围。
函数
----探究函数的研究路径
【学习目标】
1.研读文本，借助271BAY资源，能从变量和集合等不同角度说出函数的概念，能够说出幂、指、对函数的概念；
2.能够准确进行指对运算，结合图象，能说出幂、指、对函数的性质及逻辑关系；
3.围绕函数及幂指对函数的概念、性质，画出本单元知识、逻辑体系.。
【情境任务】
研究细胞分裂时，每个细胞每次分裂为2个，则1个这样的细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞……
在这个问题中，若分裂的次数是一个变量，用来表示.每次分裂后，细胞的个数也是一个变数，用表示，归纳出第次分裂后，细胞的个数. 给定分裂次数，可求出细胞个数. 在实际问题中，又常常需要由细胞分裂若干次后的个数，计算分裂的次数，如已知，则分裂次数是多少？在由求的值时，把表示为，我们把叫做以2为底1024的对数.
任务一：梳理函数的概念与表示、以及基本初等函数的图像与性质
学习活动1：建构函数的概念及表示
问题1：如何用变量和集合等不同角度来理解函数？函数的三要素是什么？
问题2：如何判断两个函数相等？函数有几种表示方法？
问题3：什么是分段函数？分段函数是一个函数吗？
学习活动2：建构函数的性质
问题1：如何判断一个函数是增函数还是减函数？什么叫函数的最值？
问题2：什么叫函数单调性？什么是单调区间？单调区间可以用不等式来表示吗？多个单调区间应该用什么进行连接？
问题3：你能从定义域、对称性、概念等不同角度阐明奇函数、偶函数的异同吗？
问题4：什么样的函数叫周期函数？什么是最小正周期？
学习活动3：指对幂运算
写出指、对运算法则，并思考以下问题：
问题1：由对数概念可得出，，分别等于什么？指对运算法则各自成立的条件是什么？
问题2：指数式与对数式有什么关系？指数式与对数式互化的本质是什么？
问题3：在指对运算化简中应该注意什么问题？
问题4：指对运算的特点是什么？并写出记忆规律.
问题5：指数函数与对数函数有怎样的关系？反函数的定义是如何描述的？怎样求一个函数的反函数？
问题6：互为反函数的两个函数图像有什么关系？定义域和值域有怎样的关系？
学习活动4：指对幂函数图象与性质
填写以下表格并回答问题：
指对幂函数 指数函数 对数函数 幂函数
底数
图象
性质
注意
问题1.在指对函数的定义中，为什么要规定a>0且a≠1？
问题2：底数的变化对指对幂函数图像有何影响？
问题3：指对幂函数的性质是如何影响函数图像的？
问题4：指对幂函数图像和性质有何区别和联系？
任务二：构建知识、逻辑体系
学习活动5：构建知识、逻辑体系
结合前面的四个学习活动，自主梳理函数的概念与表示，函数的单调性和奇偶性、基本初等函数的图像和性质，构建本单元的知识与逻辑体系，总结本单元与其他单元的逻辑体系。
函数
-----探究函数的性质及应用
【学习目标】
1.通过幂、指、对函数的代数运算及图像性质，总结研究函数的思想方法，
2借助函数单调性、奇偶性解决函数的最值、不等式、方程及零点等数学核心问题。
3结合实际生活情境，构建函数模型，解决求距离、核算费用等生产生活问题。
任务一：探究图像、性质，总结数学思想方法
学习活动6：探究函数的性质
问题1：求函数三要素
1.(2019·长春质检)函数y＝＋的定义域是(　　)
A．[－1，0)∪(0，1)　　　 B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－1，0)∪(0，1] D．(－1，0)∪(0，1)
2.已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)
A．(－2，0)　　　　　　　　 B．(－2，2)
C．(0，2) D.
3.(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
4.已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝(　　)
A．－ B．2
C．4 D．11
5.(2019·深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________
问题2：求参数的值(范围)
1.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
3.(2019·南京调研)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
4.若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．
问题3：函数单调性
1.函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
2.函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．
3.试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
问题4：函数奇偶性和周期性
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
2.(2019·湖南永州第三次模拟)已知f(x)满足 x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1，3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2 019)的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
3.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．
活动7：函数方程不等式综合问题
问题1：函数解析式图像问题
1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)
2.(2020高考)函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x2·sin|x| B．f(x)＝·cos 2x
C．f(x)＝(ex－e－x)cos D．f(x)＝
3.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
4已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
问题2：函数不等式问题
1.设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
2.已知函数f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常数)．若当x∈[0，1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c的取值范围．
问题3：函数零点问题
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1)　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
2.已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________
3.设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B. C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
4.若函数f(x)＝kx－|x－e－x|有两个正实数零点，则k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)　　 B. C．(0，1) D．(0，e)
【归纳生成】
通过幂、指、对函数的代数运算及图像性质，总结研究函数的思想方法。
学习活动8：函数应用
问题1.在数学问题中的应用
1.从定义和周期性两个方面思考解决问题，比较异同
（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数与方程的应用，运用数形结合思想，转化与化归思想解决问题
（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，利用分类讨论思想解决问题，
（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
问题2.在实际生活中的应用
1.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是2km,从点沿海岸正东12km处有一个城镇。
假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度是5km/h，(单位:h),表示他从小岛到城镇的时间，(单位)表示此人将船停在海岸处距点的距离，（1）请将表示为的函数。
（2）如果将船停在距点4 km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精准到1h）？
2.某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为人，此次培训的总费用为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？
3.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
【实践生成】
请总结建立数学模型运用函数性质解决问题的一般方法.
函数
—— 纠错反思总结提升
【学习目标】
1.结合271BAY中的学习资源，以图像、性质、应用为核心，重构函数的知识、逻辑、能力、价值意义体系，总结出解决函数问题常用的方法；
2.探究指对幂函数的性质特点，尝试着画出构造的新函数的图像，能从多个角度揭示函数、方程与不等式的本质；
3.围绕函数的图像、性质、应用进行重构过关，归纳在综合情境和生活情境中建立函数模型，解决生活中相关问题的普遍规律.
活动9：重构单元体系
从函数的概念、幂指对函数的图像与性质等方面层层深入，再次阅读《函数》的课本内容及271BAY相关资源，重构函数的知识、逻辑、能力、价值意义体系.
活动10：应用过关
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则 （ ）
A． B. C. D.
2. 若函数是指数函数，则有 （ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称
4. 函数的定义域为 （ ）
A. B. C. D.
5. 若函数的图象在第一、三、四象限内，则（ ）
A、 B、且 C、 D、
6. 若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知，则a、b的关系是（ ）
A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1
8.函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.在下面给出的函数中，当时，能够使恒成立的函数有（ ） A． B． C． D．
10.函数的图象不可能是（ ）
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则
12.给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域是；
B．函数（其中，且）的图象过定点；
C．当时，幂函数的图象是一条直线；
D．若，则的取值范围是.
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 设函数 ，则不等式的解集为______________.
14. 已知函数是偶函数，则的值为______________.
15.已知函数与满足
如果函数的定义域为，则的定义域为_________
如果函数的定义域为，则的定义域为________
已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　　　　.
四、解答题：本题共6个小题，满分70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本题满分10分）（1）计算：
（2）若，求的值.
18.（本题满分12分）已知.
求函数的定义域； （2）判断并证明的奇偶性.
19.（本题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）证明：在上是增函数.
20.（本题满分12分）设，其中且，比较与的大小，并证明.
21.（本题满分12分）函数的最小值为，求的解析式.
22.（本题满分12分）已知且，求函数的最大值和最小值．
活动11： 纠错 反思 总结 提升
从以下方面进行反思总结：
学习态度、习惯方面：
课堂的参与、效率方面：
每天的落实清底子方面：
二、针对错题，进行纠错（注意错因分析，方法的总结，每道题都当作解答题进行纠错）

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