资源简介

高三数学一轮复习
《三角函数与解三角形》
大单元整体学习学程
班级___________________
小组___________________
姓名___________________
三角函数与解三角形
——学习周期性函数的本质及应用
【学科大概念】用三角函数研究、表达客观世界中事物的周期性变化规律，用三角函数模型解决不可到达距离测量问题.
【课程大概念】借鉴研究一般函数的方法，研究三角函数，用三角函数刻画现实世界中事物的周期性变化规律，发展逻辑推理、抽象概括能力；建立三角形模型解决三角形边、角问题，发展数学建模能力.
【单元概述】
三角函数与解三角形是由三角函数和解三角形两个单元组合而成，其内容包括三角函数的概念、分类、表示、性质、图像与三角函数的应用，解三角形等.在学习的过程中要理解为什么要进行角度与弧度的转化，即明确三角函数的定义域，在此基础上掌握弧长公式，扇形面积计算公式；然后明确三角函数的对应法则，即三角函数的概念；明确了这样的对应关系之后，利用对称性探究总结这种对应关系之间的内联系，进而得到诱导公式；在掌握定义域、对应法则的基础上利用函数图像研究分析函数基本性质并对其进行归纳总结。借助单位圆进一步推导三角函数的同角三角函数关系式，和角、差角、倍角公式；最后建立解三角形模型，利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边角问题.
【高考考查方向】
1.利用三角函数定义求三角函数值； 2.借助三角函数图像研究分析三角函数性质；3.对三角式进行化简求值；4.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题.
【课标要求】
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.
2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上、正切函数在 上的性质.
4.结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
5.理解同角三角函数的基本关系式.
6.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换.
7.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
8.借助向量运算，探索三角形边与角的关系，掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
【单元目标】
1. 梳理三角函数与解三角形的知识内容，明确他们的生成过程，利用内在逻辑联系建构建三角函数与解三角形的知识、逻辑体系；
2. 借鉴一般函数研究方法研究学习三角函数，并用几何直观和代数运算的方法解决三角函数求值和三角函数图像性质问题，明确三角函数是刻画事物周期性变化规律的特殊函数模型，能建立解三角形模型解决不可到达测量问题发展数学建模能力；
3. 重构三角函数的知识、逻辑、能力、价值意义体系，能用三角函数图像和性质解决与三角函数有关的问题，能用正、余弦定理解决解三角形问题，通过完成活动实现的转化目标.
【单元学习计划】
学习过程 学习任务 课时
整体建构 任务一：梳理三角函数，三角恒等变换，解三角形的知识内容；任务二：构建知识、逻辑体系 4
探究迁移 任务一：探究一般三角函数性质与图像，从数与形表示三角函数任务二：建立三角函数的模型解决生活中的问题 7
拓展过关 构建四大体系、纠错反思总结提升 4
【单元前测】
一、单选题
1.若，从单位圆中的三角函数线观察的大小是（ ）
A. B.
C. D.
2.函数的图像与函数的图像的交点个数是(　　)
A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4
3.若将某正弦函数的图像向右平移个单位后，所得到的图像的函数表达式是，则原来的函数表达式为(　　)
A． B．
C．　 D．
4.在中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
1.的三边所对的角分别是，下列所给条件能确定这个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若在是减函数，则的可能值有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
1.已知，则
2.在中，，则的面积等于
四、解答题
1.函数的部分图像如图所示，求函数的解析式.
2.在平面四边形中，.
（1）求；
（2）若，求.
【评价预设】
评价内 容 水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
整体建构 能明确三角函数与解三角形包含的知识内容 能利用单位圆逐步推导本单元知识内容，并根据这些内容初步形成体系 能利用知识的内在逻辑联系构建形成本单元知识体系，并能进一步拓展联系其他相关知识内容
探究迁移 能明确各知识内容的由来及用这些知识能够解决的那些问题 能根据问题恰当选择方法和用到的三角知识解决问题，形成解题的方法体系 能构建三角函数模型解决简谐运动、单摆、波形图像等问题；能构建解三角形模型解决不可到达距离测量问题
拓展过关 重构三角函数与解三角形的知识、逻辑、能力、价值意义体系 归纳总结在知识体系的基础进一步构建好方法体系 过关达标
三角函数与解三角形
——梳理构建三角函数与解三角形的知识、逻辑体系
【学习目标】
1.梳理三角函数与解三角形的知识内容，明确它们生成过程，利用其内在逻辑联系建构三角函数与解三角形知识、逻辑体系；
2.借助单位圆逐步推导三角函数与解三角形的知识内容，明确这些内容与相关知识的联系以及能够解决的问题；
3.梳理三角函数与解三角形能解决的问题，构建三角函数与解三角形的价值意义体系.
任务1：梳理推导三角函数与解三角形的知识内容，归纳总结相关公式，明确单元结构
活动1：梳理角度转化成弧度的原因
问题1.为什么要进行角度与弧度的转换？
问题2.推导弧长公式和扇形面积计算公式.
归纳总结：
活动2：利用三角函数的对应法则梳理三角函数的概念，图像和性质
问题1.借助单位圆梳理三角函数的定义及表示
问题2.借助单位圆和三角函数线画出正弦、余弦、正切函数的图象
正弦：
余弦：
正切：
归纳总结：
问题3.利用上述函数图像梳理三角函数性质
问题4.借助单位圆和点对称的关系推导诱导公式
公式二 公式三 公式四
公式五 公式六
归纳总结：
活动3：同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换公式推导
问题1.利用单位圆推导同角三角函数基本关系式
问题2.利用向量和单位圆推导和角、差角公式
问题3.利用和角公式推导倍角公式
活动4：正弦定理、余弦定理的推导
问题1.余弦定理的推导
问题2.正弦定理的推导
归纳总结：
任务2：梳理构建本单元的知识、逻辑体系
【整体构建评测】
水平等级 要求 自我评价 小组评价
水平一☆ 能明确三角函数与解三角形包含的知识内容
水平二☆☆ 能利用单位圆逐步推导本单元知识内容，并根据这些内容初步形成体系
水平三☆☆☆ 能利用知识的内在逻辑联系构建形成本单元知识体系，并能进一步拓展联系其他相关知识内容
三角函数与解三角形
——探究解决三角函数、解三角形的建模问题
【学习目标】
探究三角函数的定义、诱导关系、同角基本关系式及三角恒等变换，总结三角求值的方法；
从几何直观和代数运算的方法去研究正弦函数的性质，并能利用三角函数构建数学模型，解决实际问题；
通过正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题，能将测量和几何计算有关的实际问题转化成解三角形问题，发展数学建模的能力.
任务三：利用公式、概念、性质求解三角函数值
活动5：三角函数求值
1.（1）已知角的终边经过点,求角的正弦、余弦和正切值.
已知角的终边在直线上，求角的正弦、余弦和正切值.
2.已知，，则(　　)
A．　　　　B． C. D．
3.已知，则________.
4.已知，求下列各式的值：
（1）； （2）.
5.已知，求下列各式的值.
（1） （2）
（3） （4）.
6.已知f(x)＝(n∈Z)．
（1）化简f(x)的表达式；
（2）求＋的值．
归纳总结：
活动6：化简求值
1.（1）计算
（2）.
2.（1）在中，若，则________.
（2）＝________.
3.已知，求的值
4.已知函数，.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
归纳总结：
任务四：分析三角函数图像和性质并用图像和性质解决问题
活动7：三角函数图像和性质
1.用“五点法”作出函数的图象.
2.根据上面作出的函数的图象，作出函数的简图，此图象是由经过怎样的变换得到的？（尝试写出两种变换方式）
3.把函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为 。
4.已知函数(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程和对称中心．
归纳总结：
建模活动一：三角函数刻画事物周期性变化规律
1.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4
收购价格y(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为______________．
2.如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t(min)时P距离地面的高度(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π)，求2 017 min时P距离地面的高度；
（2）当离地面(50＋20)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈有多少时间可以看到公园的全貌？
3.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数(A＞0，ω＞0)的图象，根据以上数据，
（1）求函数f(t)的解析式；
（2）求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．
归纳总结：
活动8：三角函数中的综合问题
1.函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为________．
2.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为___________________________________．
3.已知函数，其中，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
4.已知ω>0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是________．
5.已知函数是偶函数，则θ的值为________．
6.已知函数,求函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的取值集合.
7.已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
8．已知函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω＞0)的图象的一条对称轴为x＝π.
(1)求ω的最小值；
(2)当ω取最小值时，若，，求的值．
9.(2019·全国卷Ⅲ)设函数已知f(x)在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④　　　　　　　 B．②③
C．①②③ D．①③④
归纳总结：
任务五：用正弦、余弦定理求解三角形，并构建模型解决不可到达距离测量问题
活动9：利用正余弦定理解三角形
在中，角A、B、C的对边分别用表示，已知，则的面积是多少？
2.在中，已知，求此三角形的三个角的余弦值和面积.
3．在中，，则（ ）
A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200
4.（多选） 在中，已知，，，则边长(　 　)
A.3 B. C. D .6
5.已知锐角三角形中，，的面积是，则（ ）
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.已知三角形满足条件则 .
7.在
8．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B
B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
9．（创新题型）在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．
归纳总结：
建模活动二：建立解三角形模型解决不可到达测量距离问题
1.在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角．已知铁塔BC部分的高为50 m,求山高CD.
2.某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
（注:,）
【探究迁移评测】
水平等级 要求 自我评价 小组评价
水平一☆ 能明确各知识内容的由来及用这些知识能够解决的那些问题
水平二☆☆ 能根据问题恰当选择方法和用到的三角知识解决问题，形成解题的方法体系
水平三☆☆☆ 能构建三角函数模型解决简谐运动、单摆、波形图像等问题；能构建解三角形模型解决不可到达距离测量问题
三角函数与解三角形
—— 纠错反思总结提升
【学习目标】
围绕三角函数的图像和性质，三角形边角关系，重构三角函数的知识、逻辑、能力、价值意义四大体系；
能够根据三角函数的图像分析其性质，解决与三角函数有关的问题；并能用正余弦定理解决求三角形的问题，解决三角形边、角求解问题；
通过完成活动理解并掌握三角函数与解三角形的所有内容，实现的小组转化目标.
活动1：重构单元体系
从三角函数定义、三角函数的图像与性质及解三角形等方面层层深入，再次阅读《三角函数》的课本内容，重构三角函数与解三角形的知识、逻辑、能力、价值意义体系.
活动2：应用过关
1.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
2.已知则
A． B． C． D．
3.已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
4.在中，则
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
6.的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若的面积为则C=
A. B. C. D.
7.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
8.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为 2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
9.函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
10.已知，则的值是 .
11.在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
12.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________
13.函数在的零点个数为________．
14.已知则______．
15.的内角的对边分别为，设．
（1）求；（2）若，求．
16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
17.在中，．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．
18.在中，．
（1）求；
（2）求边上的高．
19.在平面四边形中，，.
（1）求；
（2）若，求.
20.的内角的对边分别为a，b，c，已知的面积为
（1）求；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
21.的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
22.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.
活动3： 纠错 反思 总结 提升
从以下方面进行反思总结：
学习态度、习惯方面：
课堂的参与、效率方面：
每天的落实清底子方面：
二、针对错题，进行纠错（注意错因分析，方法的总结，每道题都当作解答题进行纠错）
整体建构
学习活动
探究迁移
学习活动
拓展过关
学习活动

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