资源简介

高二数学
大单元整体学习学程
圆锥曲线
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第六单元：圆锥曲线
单元概述
【学科大概念】利用点的坐标，刻画几何对象，研究几何对象的性质以及探讨几何对象之间的关系
【课程大概念】建立平面直角坐标系，依托对方程和几何性质的研究，揭示解析几何的本质，发展数学抽象和数学建模能力，初步形成研究解析几何的一般思路即用代数方法解决几何问题。
【单元内容】
圆锥曲线是在学习了直线和圆的方程和平面直角坐标系的基础上，具体研究椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的标准方程和几何性质，并判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会坐标法在解决几何问题中的重要性.并分析和解决与圆锥曲线相关的问题，主要发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学素养。在高考中主要以三种曲线的定义、几何性质及与直线的位置关系为载体考查数学运算能力和逻辑推理能力。
【课标要求】
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及他们的简单几何性质；
3.了解椭圆、抛物线的简单应用；
4.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；
5.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
【单元目标】
通过研究直线、圆及直线与圆的位置关系，明确解析几何的研究方法--坐标法，从而说出研究圆锥曲线的一般思路；
通过对平面直角坐标系中图形及对应方程关系的研究，从图形的性质和方程的特点两个角度研究圆锥曲线的几何性质，揭示圆锥曲线的本质；
建立数学模型，运用坐标法解决解析几何的核心问题，归纳坐标法解决解析几何问题的一般思路和方法；
从三种圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等方面重构单元结构，掌握解析几何的基本思想和方法即借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论.
【评价预设】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我评价
说出椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质，能根据简单的条件求出其标准方程 能根据直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、交点等问题 灵活运用圆锥曲线的性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决综合情境中的最值、定值、定点问题
【学习导航】
本单元是在学习了直线和圆的方程和平面直角坐标系的基础上，具体研究椭圆、双曲线、抛物线这三个圆锥曲线的标准方程和几何性质，判断直线与圆锥曲线的位置关系.在整体感知阶段大家类比直线与圆的方程、几何性质的研究过程，初步探究圆锥曲线的内容与研究方法。在探究构建阶段，在掌握了方法的基础上，进一步探究具体曲线的定义、方程和性质，揭示代数法研究几何问题的本质；在应用迁移阶段，从综合情境中抽象出数学问题，利用方程思想研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会坐标法在解决几何问题中的重要性.
【学时建议】
学习阶段 学习任务 课时安排
整体感知 探究解析几何的研究方法 2
探究建构 探究三种圆锥曲线的定义、标准方程及其性质 6
应用迁移 探究圆锥曲线的应用及价值 4
重构拓展 重构单元结构，拓展单元内容，进行单元过关检测 4
圆锥曲线
----探究解析几何的研究方法
【学习目标】
略读教材，动手完成实验说出交线对应的曲线类型，并比较它们与之前所研究的几何对象有何异同；
类比研究圆的方法初步探索研究椭圆、双曲线、抛物线及直线与圆锥曲线综合问题的大致思路；
3.以椭圆、双曲线和抛物线中的一种为例说明研究解析几何的一般思路，并和同学们分享.
—初步认识三种曲线
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线 ，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。 按照下面的要求动手操作，请给出切割后得到了什么曲线？
1.用垂直于锥轴的平面(不过圆锥顶点)去截圆锥；
2.用与锥轴相交且不平行的平面截圆锥；
3.用平行于圆锥母线的平面截圆锥；
4.用平行于圆锥的轴的平面截圆锥.
--类比圆探究三种曲线的学习方法
同学们，我们已经完成了直线、圆的学习，大家可以梳理一下直线、圆部分的知识体系与思想方法，类比着直线与圆部分的内容与学习方法，你能尝试着写出椭圆、双曲线和抛物线的大致内容与研究思路吗？
--类比直线与圆的研究方法探究直线与圆锥曲线的位置关系
同学们，还记直线与圆的位置关系有哪些吗，我们研究位置关系用的是什么方法？那么研究直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的方法是否也一样呢？请在下面阐述你的观点。
【形成性评价1】
请你自己选择一种圆锥曲线，阐述你是怎样研究这一类几何对象的，写出你的研究方法。
圆锥曲线
-----探究三种圆锥曲线的定义、标准方程及其性质
【学习目标】
1.通过三个实验，说出椭圆、双曲线、抛物线的定义并能推导出它们的标准方程；
2.结合它们的图形和方程探究其几何性质，归纳研究圆锥曲线性质的一般方法；
3.在数学情境中应用定义和性质解决方程、焦点三角形等综合问题，从而总结运用坐标法解决几何问题的思路。
——探究椭圆的定义、标准方程及其性质
动手实验1.请同学们在空白纸上取两个定点和，把一条长度为定值2a且大于的细绳的两端固定在两点，用铅笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周.
问题1.结合实验总结椭圆上点的性质，并归纳出椭圆的定义。改变两定点间的距离，试一试：若=2a，轨迹是什么曲线？若>2a，轨迹是什么曲线？
问题2.结合椭圆的定义，建立适当的坐标系，试推导出椭圆的标准方程.探究椭圆方程的特点，有无其他表示方式.
问题3.根据椭圆的标准方程和图像,从椭圆范围、对称性、顶点、轴和扁圆程度总结椭圆的几何性质.
【归纳生成】
阐述在研究椭圆的过程中其代数特征和几何特征是如何联系在一起的.
【学习评测】
，则该椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为
2.P是椭圆上的点，是椭圆的焦点，若，则的面积等于
——探究双曲线的定义、标准方程及其性质
动手实验2：分别取拉链两侧不同位置的两点用图钉固定在桌面上，将铅笔头穿过拉链头，画出拉链头移动的轨迹.
问题1.结合实验总结双曲线上点的性质，归纳出双曲线的定义，并与椭圆作比较.在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”三个字，还表示完整的双曲线吗？
问题2.类比椭圆的标准方程推导过程，试推导双曲线的标准方程.
问题3.根据双曲线的标准方程和图像,从双曲线范围、对称性、顶点、轴和渐近线总结双曲线的几何性质.
【归纳生成】
比较双曲线与椭圆在定义、标准方程和几何性质方面的异同
【学习评测】
1.已知双曲线过椭圆的焦点，且以椭圆的顶点为焦点，求双曲线的方程.
2.已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0
——探究抛物线的定义、标准方程及其性质
动手实验3：类比椭圆与双曲线的作图方法，请同学们借助三角板、直尺、细绳在一张纸上画出一条抛物线.
问题1.结合实验总结抛物线上点的性质，归纳出抛物线的定义，若去掉条件，还表示抛物线吗？
问题2.类比椭圆的标准方程推导过程，试推导抛物线的标准方程.
问题3.根据抛物线的标准方程和图像,从抛物线范围、对称性、顶点、轴和准线总结抛物线的几何性质.
【归纳生成】
解析几何中的抛物线与函数中的抛物线有何异同
【学习评测】
1.动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为 .
2. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(　　)
A. B. C.1 D.
【形成性评价2】
评价标准1：说出三种圆锥曲线的定义
评价问题：
平面内有定点及动点，命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是以、为焦点的椭圆，那么（ ）
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
评价标准2：灵活运用定义、几何性质求标准方程
评价问题：
1.根据条件求椭圆的标准方程
经过两点。
两个焦点过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，且的周长等于12.
2.已知是双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，求该双曲线的渐近线方程.
3.已知抛物线，且是抛物线上一点：
设为抛物线的焦点，，求的最小值，并求出取得最小值时点的坐标；
设的坐标为，求的最小值（用表示），并求出取得最小值时点的坐标.
圆锥曲线
---探究圆锥曲线的应用及价值
【学习目标】
1.通过探究直线与圆锥曲线的位置关系，运用两点间距离公式推导弦长公式并与圆中弦长比较有何联系与区别；
2.类比探究弦长的方法探究解析几何中的最值、定点、定值等问题，归纳解决解析几何综合问题的一般思路并阐释解析几何与函数、方程的关系；
3.在综合情境中，举例说明如何运用数形结合思想及坐标法解决平面解析几何问题。
——探究直线与圆锥曲线的关系
【例1】已知直线与椭圆C：，问：为何值时，直线l与椭圆C有两个交点，一个交点，无交点？
【实践生成】
总结直线与圆锥曲线位置关系
【学习测评】
1.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，则椭圆的方程为______________．
2.已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x．问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
——探究直线与圆锥曲线中的范围问题
【例2】椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，过点P（0，3）引直线l顺次与椭圆交于点A、B（A在B、P之间）．
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，求三角形AOB的面积的取值范围．
【实践生成】
总结求直线与圆锥曲线中范围问题的步骤过程
【学习测评】
已知如图，椭圆与直线l交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，．求证：λ+μ为定值；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求△OAB面积的取值范围．
——探究曲线与直线关系，解决定点、定值问题
【例3】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：过定点．
【实践生成】
总结解决直线与圆锥曲线中定点、定值问题的思路方法
【学习测评】
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：x12＋x22为定值，并求该定值．
【形成性评价3】
评价标准：灵活应用坐标法解决解析几何问题
评价问题：
圆锥曲线
——构建四大体系
【学习目标】
1.通过准备辩论的过程，以三种曲线及研究方法为核心重构解析几何结构，归纳解决解析几何的常见问题及其解法；
2.在综合情境和生活情境中建立曲线模型，解决数学中的解析几何问题；
3.在单元过关中，总结自己的得与失，进一步完善解析几何得四大体系。
【单元重构】
同学们，我们已经学习完圆锥曲线这一单元，具体学习了三种曲线分别是椭圆、双曲线和抛物线，请从三种曲线中选出你最喜欢的一种，和其它曲线对比，阐述你喜欢它的具体原因并和同学们一起辩论。
【基础过关】
1.，则该椭圆的长轴长为（ ）
A.10 B.5 C.6 D.8
2.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是 （ ）
A. B. 1或–2 C. 1或 D. 1
3.抛物线上一点到焦点的距离是10, 则点的坐标是（ ）
A.（9, 6） B.（6, 9） C.（±6, 9） D.（9,±6）
4.曲线与(k<9)曲线有（ ）
A.相等的长轴和短轴 B.相同的离心率 C.相同的焦距 D.不确定
5.对抛物线x2=4y,下列描述不正确的是(　　)
A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为
C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为
6.在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（ ）
A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称
C．曲线E关于y轴对称 D．若点在曲线E上，则
7.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若△是
正三角形，则这个椭圆的离心率为_______________.
8.与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是____________.
【应用过关】
一、单选题
1.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知直线过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，为C的实轴长的2倍，C的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
3.设为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于、两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（ ）
A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称
C．曲线E关于y轴对称 D．若点在曲线E上，则
5.卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为 36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为 O 半径为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积 S = 2πr2(1 cos α)，(单位：km2)，则 S 占地球表面积的百分比为（ ）
A．26% B． 34% C． 42% D．50%
二、多选题
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值不可能为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．19
7.已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法不正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
三、解答题
8.已知双曲线，离心率，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程.
9.双曲线的方程设A，B为曲线C:上两点，A与B的横坐标之和为4.
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.
【形成性评价4】
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 重构解析几何单元结构，掌握圆锥曲线的定义、方程和几何性质；
水平二 运用三种曲线的定义及性质解决简单的数学问题与实际问题；
水平三 类比直线与圆问题的解法，利用坐标法解决解析几何的综合问题，体会数形结合的思想；

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