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专题4.2 平行线分线段成比例【十大题型】
【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】
【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】
【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】
【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】
【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】
【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】
【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】
【知识点 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】
【例1】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）
1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1－1】（2023春·湖南娄底·九年级统考期中）
2．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【变式1－2】（2023春·湖南娄底·九年级校联考期末）
3．如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1－3】（2023春·山西晋城·九年级统考期末）
4．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】
【例2】（2023春·河北保定·九年级统考期末）
5．如图，点A，B在格点上，若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式2－1】（2023春·广西百色·九年级统考期末）
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式2－2】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）
7．已知线段a、b、c，若求作线段x，使a∶b＝c∶x，则以下作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2－3】（2023春·九年级课时练习）
8．如图，在△ABC中，EFCD，DEBC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．

【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】
【例3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）
9．如图 ，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么的值等于 ．
【变式3－1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）
10．如图：，，，那么的长为（ ）

A．4 B．12 C． D．6
【变式3－2】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）
11．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、、和、、，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【变式3－3】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期中）
12．已知三条互相平行的直线分别截直线l4于点，截直线于点，直线与相交于点O，且，，，．
(1)求的长；
(2)求的长．
【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】
【例4】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）
13．如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4－1】（2023春·上海静安·九年级校考期中）
14．已知，求作x，那么下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4－2】（2023春·全国·九年级专题练习）
15．如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）

A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【变式4－3】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）
16．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　）
A． B． C． D．
【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】
【例5】（2023春·全国·九年级期末）
17．如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5－1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）
18．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝，则BD的值是 ．
【变式5－2】（2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）
19．如图，梯形中，，，，则 ．

【变式5－3】（2023春·山西长治·九年级统考期末）
20．如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，D，B，E，C，F．已知直线，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2023·四川南充·校联考三模）
21．如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有 ．(填序号．)
【变式6－1】（2023春·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期末）
22．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【变式6－2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）
23．如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【变式6－3】（2023·山西运城·统考二模）
24．请阅读下列材料，非完成相应的任务．
利用辅助平行线求线段的比 三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决． 举例：如图1，是的中线，，的延长线交于点F． 求的值． 下面是该题的部分解题过程： 解：如图2，过点D作交于点H． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， …
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A.方程思想 B.转化思想 C.分类思想 D.整体思想
(3)请你换一种思路求的值，直接写出辅助线的作法即可．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】
【例7】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）
25．如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．

【变式7－1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）
26．如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．

【变式7－2】（2023春·陕西商洛·九年级校考期中）
27．如图，在平行四边形中，点F是上的点，，直线交于点E，交的延长线于点G，若则的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式7－3】（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）
28．如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，．
(1)求的长；
(2)若，在上述条件和结论下，求的长．
【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
【例8】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）
29．已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【变式8－1】（2023·上海浦东新·九年级统考期中）
30．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ．
【变式8－2】（2023春·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）
31．如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是 ．
【变式8－3】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）
32．如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（ ）
A．2 B．2．5 C．3 D．4
【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】
【例9】（2023春·河南郑州·九年级统考期中）
33．如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是 ．
【变式9－1】（2023春·九年级课时练习）
34．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长．
【变式9－2】（2023春·陕西西安·九年级校考期末）
35．如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ．
【变式9－3】（2023春·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）
36．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ．
【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】
【例10】（2023春·四川达州·九年级校考期末）
37．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式10－1】（2023春·广西钦州·九年级校考阶段练习）
38．如图，在中，，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
(1)比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(2)过点M作的垂线，交于点N，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【变式10－2】（2023春·山西太原·九年级统考期中）
39．已知中，于点，平分，交于点．
请从，两题中任选一题作答．我选择________题．
．如图，若，则的长为________．
．如图，若，则的长为________．
【变式10－3】（2023春·上海·九年级校考期中）
40．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【详解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
2．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
3．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：，
，，
，故A错误；
，故D正确；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
4．C
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵DGBC，
∴，故A选项错误；
∵DGBC，
∴，故B选项错误；
∵EHAB，
∴，故C选项正确；
∵EHAB，
∴，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．
5．B
【分析】根据平行线分线段成比例可得，然后代入数据计算即可．
【详解】解：如图，
由题意，知∥ ， ，
∴ ，
又，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
6．A
【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
7．D
【分析】根据平行线分线段成比例，逐项分析即可
【详解】A.根据平行线分线段成比例，可得，故该选项不符合题意；
B.根据平行线分线段成比例，可得，故该选项不符合题意；
C.根据平行线分线段成比例，可得，故该选项不符合题意；
D.根据平行线分线段成比例，可得，即，故该选项符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
8．（1）见详解；（2）．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EFCD得到AF：FD=AE：EC，由DEBC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解；
（2）根据比例的性质得到，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF．
【详解】解：（1）证明：∵EFCD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2:1，
∴
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键．
9．##0.75
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．
10．A
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
11．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据合比性质即得．
【详解】，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由，推出，即可求解；
（2）由，推出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
13．B
【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
14．C
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．
【详解】∵，
∴或．
A．作出的为，故不符合题意；
B．该情况无法作图，故不符合题意；
C．作出的为，故符合题意；
D．作出的为，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．
15．C
【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可．
【详解】解：∵，
∴
∴＝，
∵AF：BF＝2：5，
∴＝，
即AG＝BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝BD，
∴＝＝，
∵，
，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．C
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
，即，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．
17．B
【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到.
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴；
故选择：B.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
18．3
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，即，
解得：BD=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
【详解】解：∵
∴
，，，
，
,
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质．
20．C
【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握：两条直线被第一组平行线所截的线段成比例．
21．②③
【分析】由题意可知，，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出与联立可得，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接．设，根据面积可判断④．
【详解】解：是的中位线，
是的中点，
又
,
①
，
∴．
∴①错误
②
又，
由两式相减，得
∴．
∴．
∴②正确
③
∴
∴③正确
④连接．设，可得其他三角形面积如图
∴，∴④错误
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22．B
【详解】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵M是DE的中
∴DM=ME=BC，
∴，
∴
故选：B.
23．B
【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，
∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，
∴DM＝ME＝DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，
∴＝＝，
∴NM＝AG＝PG，
∵DM＝ME，
∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．
24．(1)见解析
(2)B
(3)见解析
【分析】（1）通过过点D作交于点H．根据的中线的定义即可得到，根据平行线分线段成比例即可得到与，根据即可得到，进一步即可求出答案；Ｄ
（2）由上述解题过程即可得到求的值转化为了求与的值，通过转化即可求出答案，即可判断出答案；
（3）通过过点D作交于点M，根据的中线的定义即可得到，进一步得到，根据平行线分线段成比例即可得到与，根据，即可得到，进一步即可求出答案．
【详解】（1）∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）上述解题过程主要用的数学思想是转化思想
故选B
（3）解：如图，过点作交于点．
∵是的中线，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴

【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键．
25．
【分析】证明，结合，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点M是线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键．
26．9
【分析】由可得从而可得再由可得结果．
【详解】解:∵,
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
27．C
【分析】由可以假设，得到，（k是正整数），根据平行四边形的性质得到，，，然后根据平行线分线段成比例来求解．
【详解】解：，
设，
则，（k是正整数）．
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
．
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．理解相关知识是解答关键．
28．(1)6
(2)
【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论．
（2）由，推出，可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．
29．C
【分析】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到CG＝2EG，则利用平行线分线段成比例得到，再根据三角形面积公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，则S△BCG＝3，接着求出S△BEG＝，从而得到S△BCE＝，然后利用CE为中线得到S△ABC．
【详解】解：连接CG并延长交AB于E，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝2EG，
∵DG∥AB，
∴，
∴S△GDC＝2S△BDG＝2，
∴S△BCG＝1+2＝3，
而EG＝CG，
∴S△BEG＝S△BCG＝，
∴S△BCE＝+3＝，
∵CE为中线，
∴S△ABC＝2S△BCE＝2×＝9．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．
30．12
【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【详解】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案为12．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
31．
【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴＝，
∵DC＝BC，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系．
32．A
【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解．
【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示：
∵是的重心，延长交于点，延长交于点，
∴，，
∴，，
又∵分别是和的重心，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键．
33．
【分析】作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图所示，作，交与，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
34．3
【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．
【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则＝，又BD＝2DC，
∴
∵AD＝2，
∴DE＝1，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，
∴∠ACE＝∠E＝75°，
∴AC＝AE＝AD + DE =3．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键．
35．8:5
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CE=DF，由DF∥AE得到，则AE=4DF，然后计算的值．
【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴，
而BD：DC=2：3，
∴，则CE=DF，
∵DF∥AE，
∴，
∵AG：GD=4：1，
∴，则AE=4DF，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
36．
【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．
【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E，
在和中
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．
37．C
【详解】解：作FG⊥AB于点G，
由AE∥FG，得，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ACB的平分线，
∴FG=CF，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF，
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=BC，
∴==．
故选：C．
【点睛】考点：1、平行线分线段成比例，2、全等三角形及角平分线
38．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】对于（1），证明，得到，即可得到结论；
对于（2），过点E作，交于点H，可证，再证，得到，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转得，，，
∴.
又∵，
∴，
∴.
∵，
∴；
（2），理由如下：
过点E作，交于点H，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据三角形全等得出对应边相等是解题的关键．
39．或；；
【分析】选择题，过点作，垂足为，设，则，证明，得出，进而根据即可求解；
选择题，过点作，垂足为，等面积得出，根据，得出，得出，代入数据即可求解．
【详解】选择A题：如图，过点作，垂足为，
，，
，，，
，
平分，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
选择题，过点作，垂足为，
，，
，
，
解得，
，
平分，
，
，
，
，
设，
则，
在直角三角形中，
，
解得，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
40．
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转的性质可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，设EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行线分线段成比例可求DE：CE的值．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
∵旋转，
∴BF＝BE，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°，
∵EF∥BC
∴∠BEF＝∠EBC＝45°
∵EH⊥BC
∴∠EBC＝∠BEH＝45°，
∴BH＝EH，
∵tanC=，
∴设EH＝4a，HC＝3a，
∴BH＝4a，
∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC
∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB＝DG＝7a，
∵EH∥DG
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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