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专题1.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】
【浙教版】
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】
【例1】
（2023春·广东广州·九年级期末）
1．已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式1-1】
（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）
2．若关于的函数的图像与坐标轴有两个交点，则的值为 ．
【变式1-2】
（2023春·浙江绍兴·九年级统考期中）
3．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．全体实数
【变式1-3】
（2023春·广东惠州·九年级校考期末）
4．已知二次函数的图象与交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，是以为底的等腰三角形，那么的值为 ．
【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】
【例2】
（2023春·山西临汾·九年级统考期末）
5．如图，二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中正确的结论为 （填序号）．
【变式2-1】
（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）
6．抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是 ．
【变式2-2】
（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）
7．若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为（　　）
A．、 B．、
C．、 D．、
【变式2-3】
（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例3】
（2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）
9．已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】
（2023春·浙江台州·九年级统考期末）
10．抛物线与x轴交于，两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】
（2023春·山东临沂·九年级统考期末）
11．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】
（2023春·吉林长春·九年级统考期末）
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为______．
【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】
【例4】
（2023春·广西玉林·九年级统考期中）
13．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】
（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）
14．小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值．
0 1 2
3 4 3 0
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，x的值为 ；
(3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ．
【变式4-2】
（2023春·福建福州·九年级统考期末）
15．对于每个非零的自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】
（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）
16．定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例5】
（2023春·广东潮州·九年级统考期末）
17．根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（）
x 1 1.1 1.2 1.3
0.84 2.29
A． B． C． D．
【变式5-1】
（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）
18．二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）
【变式5-2】
（2023春·全国·九年级期中）
19．小朋在学习过程中遇到一个函数．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
结合上表，画出当时，函数的图像；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
【变式5-3】
（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）
20．二次函数（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x -1 - 0 1 2 3
y -2 1 2 1 -2
一元二次方程（a≠0，a，b，c是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 （填序号）
① ②
③ ④
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
【例6】
（2023春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）
21．如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
【变式6-1】
（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）
22．已知：二次函数．
(1)将函数关系式化为的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
x ··· 0 1 2 3 ···
y ··· ···
(3)当时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．
【变式6-2】
（2023春·山西运城·九年级校考期末）
23．定义为，，中的最小值，例如：，．如果，那么的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式6-3】
（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）
24．我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③．
【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例7】
（2023春·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中）
25．在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为，，抛物线也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【变式7-1】
（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）
26．已知二次函数（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上．
(3)已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　．
【变式7-2】
（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）
27．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若抛物线经过点A，B，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取值范围．
【变式7-3】
（2023春·福建泉州·九年级校考期末）
28．已知：在平面直角坐标系中，，，抛物线与线段有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）．①；②；③；④；⑤，
【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】
（2023春·广东广州·九年级统考期中）
29．抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是 ．
【变式8-1】
（2023春·浙江·九年级期末）
30．如图，将二次函数（其中）的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是 ．
【变式8-2】
（2023春·浙江杭州·九年级校考期末）
31．如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ．
【变式8-3】
（2023春·浙江·九年级期末）
32．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为.
(1)求函数()的对折函数；
(2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值；
(3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可．
【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根
∴△=4+4k＞0即k＞-1，
因为二次项的系数不能为0
∴k＞-1且，
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系．
2．，2或
【分析】解答时，分函数为一次函数，函数是二次函数经过原点，与轴相切，与轴相交三种情况求解．
【详解】∵关于的函数的图像与坐标轴有两个交点，
∴可分如下三种情况：
①当函数为一次函数时，有，
∴，此时，与坐标轴有两个交点；
②当时，函数为二次函数，与轴有一个交点，与轴有一个交点，
∵函数与轴有一个交点，
∴，
∴，
解得；
③当时，函数为二次函数，与轴有两个交点，且轴的交点和与轴上的一个交点重合，即图像经过原点，
∴，
解得．
当，此时，与坐标轴有两个交点．
故答案为，2或.
【点睛】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，理解坐标轴的内涵，抛物线与坐标轴有两个交点的情形是解题的关键．
3．A
【详解】解：∵抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴当时，，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，
解得：m＞，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，
∴2m-1＜，
解得：m＜，
综上可得：，
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，正确理解题意是解题的关键；．
4．
【分析】令二次函数，可得含参数的、点的公式，再由是以为底的等腰三角形，可知，根据两点间距离公式可算出的值．
【详解】令，
由题意可知，即或,
则可以得出 ，，
再令，，则可以得出点，
是以为底的等腰三角形，
，则，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题涉及了两点间距离公式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等内容，熟记两点间距离公式是解题的关键．
5．②④⑤
【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点，可得抛物线与x轴的另一个交点为，可判断②；根据图象，可知是有最大值，但不一定是，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为，可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为，
∴，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由可得，
根据图象，抛物线与直线有交点，
∴有实数根，故④正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，即，故⑤正确．
综上所述，正确的为②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
6．
【分析】根据图象与x轴的交点坐标直接写出答案即可．
【详解】解：观察图象知：抛物线的顶点在轴上，点的坐标为，
所以一元二次方程的根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解一元二次方程与二次函数的关系，难度不大．
7．A
【分析】根据一元二次方程的根为2，得出，利用对称性求出坐标即可．
【详解】解：二次函数与轴的交点坐标纵坐标为0，
即，
关于的一元二次方程的一个根为2，
所以，，
解得，，
二次函数的对称轴为直线，
所以，二次函数与轴的交点坐标为、，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根确定二次函数与轴的交点坐标．
8．三
【分析】根据对称轴公式求出顶点横坐标，再根据开口向上及有两个交点即可得到顶点纵坐标与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
顶点横坐标为：，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点，
顶点纵坐标：，
∴抛物线顶点在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数顶点公式，解题的关键是根据开口方向及与x轴交点确定顶点纵坐标与0的关系．
9．A
【分析】设，而，即函数向上平移个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解．
【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移个单位得到函数，
则两个函数的图象如下图所示省略了轴，
从图象看，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，画出函数的大致图象．
10．C
【分析】根据抛物线上下平移，对称轴不变，结合一元二次方程根与系数的关系可得结论．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴当时，，此时，，
将抛物线向上平移，对称轴不变，即为，
故有，，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，正确掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
11．B
【分析】根据题意，画出函数和y=2的图象草图，根据函数图象可直接求解．
【详解】解：∵a=1>0
∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、
又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且
∴抛物线的图象如图，

由图象可知：
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图象．
12．4
【分析】二次函数的图像与x轴交点的横坐标，是对应该二次函数时的实数根，所以令，求出、、、四点的横坐标，再利用的关系即可求出n的值．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
，
，，
把代入得：
，
解得：，
，
，，
，
，
，
，
令，则
，
解得：，，
当时，，解得：，
，
符合题意，
当时，，解得：，
不符合题意．
故答案为：4
【点睛】本题考查了二次函数与方程的关系及二次函数的图像与性质，找到、、、四点的横坐标是解答本题的关键．
13．B
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得，再根据线段上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当时，，当时，，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴．
∵线段上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为，，0，1，2，3，4.
∵，
∴当时，，当时，，
∴且，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键．
14．(1)
(2)或1
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）令，解一元二次方程即可；
（3）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于的不等式，解不等式即可求得．
【详解】（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，
设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得，
该二次函数的表达式为；
（2）令，则，
解得：，；
（3）令，
整理得，
设点、的横坐标为，，
，是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，即，
，
的取值范围是．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．
15．D
【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是,另一个是，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=－，再代入计算即可．
【详解】解：令时，，
解得：，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是和，
∴AnBn=－
∴ ＝．
故选D．
【点睛】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
16．(1)4
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
雅礼弦长；
（2），，
，
，，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
；
（3）由题意，令，
，，
则，
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，
，为正整数，且，
则，或，．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
17．B
【分析】根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解.
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的一个根x的范围是；
故选：B.
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键.
18．0.2．
【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2．
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
19．(1)最小；0
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式，即可求解；
（2）根据描点法画函数图像；
（3）根据图像法求解即可，作经过点的直线，与的另一个交点的横坐标即为方程的解
【详解】（1）解：∵，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
（2）根据列表，描点连线，如图，
（3）依题意，有一个实数根为2，
则过点
的解即为与的交点的横坐标，
且过点
如图，作过点的直线，与交于点
根据函数图像的交点可知点的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程的解，数形结合是解题的关键．
20．③
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．
【详解】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：y=0在y=与y=1之间，
∴-＜x1＜0，2＜x2＜时y的值最接近0，
的取值范围是：-＜x1＜0；2＜x2＜．
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
21．D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
22．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：列表如下：
x ··· 0 1 2 3 ···
y ··· 0 3 4 3 0 ···
函数图象如下所示：
（3）解：由函数图象可知，当时，．
【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
23．A
【分析】由4，，3中最小值为3，可得，即，设，进而求解即可．
【详解】解：由题意得4，， 3中最小值为3，
∴，即，
设，如图，
当时，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24．A
【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得轴与轴左边的交点为，即可判断B，根据图象可知当或时，原方程有两个实数根，据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，此图像关于轴对称，故①正确；
②对称性可得轴与轴左边的交点为，则不等式即的解集是或，故②正确；
③∵，当时，，顶点坐标为和，且与轴交于点，
∴当或时，方程有两个实数解，
故③不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．
【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线联立方程，判断时，求得，当时，抛物线对称轴为，画出草图，抛物线过定点，当经过点时，代入点得，解得，由于越大，开口越小，可得的取值范围为．
【详解】解：设直线为，
将点，代入得，解得，
∴直线：，
抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不同的解，
化简得：，
∴，
解得，
当时，抛物线对称轴为，如图，
当，，即：抛物线过定点，
当经过点时，
代入点得，
解得，
由于越大，开口越小，
故的取值范围．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用待定系数法联立方程，判断进而得出的取值范围，解题关键是数形结合．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1 ）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论；
（ 2）利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（ 3）先计算出抛物线与直线的交点的横坐标，然后结合图象得到且．
【详解】（1）证明：∵
，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：，
二次函数的顶点坐标为
当时，，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上；
（3）当时，，解得，
当且时，线段AB与函数的图象有公共点，
所以a的范围为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
27．(1) ；(2)抛物线表达式为；(3) 抛物线顶点横坐标的取值范围时或．
【分析】（1）根据点的平移规律向右平移6，横坐标加6，可得点B坐标；
（2）根据A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；
（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t，t+2），继而可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得t的范围．
【详解】解：(1)根据平移的性质向右平移几，横坐标加几，可得：点B坐标为（-4+6，-2）即；
(2) ∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为；
(3)∵抛物线顶点在直线上 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线表达式可化为．
抛物线与AB仅有一个交点，
当点A为顶点时，抛物线与AB开始有交点，此时t=-4,
当抛物线与AB有两个交点，其中A为左交点，
把代入表达式可得：
解得：．
∴．
当抛物线与AB的右交点在点B时，开始有一个交点，直到点B为抛物线的左交点
把代入表达式可得．
解得：，
∴．
综上可知：
抛物线顶点横坐标的取值范围时或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本，将抛物线与线段AB有一个公共点转化为方程问题是解题的关键．
28．①④##④①
【分析】分两种情况，当抛物线的顶点在线段上和抛物线顶点不在线段上时，根据题意，画出图形，求解即可．
【详解】解：抛物线，则开口向上，对称轴为，顶点坐标为
抛物线的顶点在线段上，如下图：
则，解得，①正确；
当抛物线顶点不在线段上时，
若时，顶点在轴上方，此时抛物线与线段没有交点，
当时，如下图所示，
当抛物线过点时，此时刚好有两个交点，将代入可得
，解得，
抛物线继续向下平移，此时与线段有一个交点，符合题意，即；
当抛物线过点时，此时刚好有一个交点，将代入可得
，解得，
抛物线继续向下平移，此时与线段没有交点，不符合题意，即；
则，④正确；
故答案为：①④
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是通过数形结合方法求解．
29．，，，
【分析】分别求出与直线的图形有唯一交点、与直线的图形有唯一交点、直线经过抛物线与x轴的交点时，对应m的值，然后观察图象即可得出答案．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵、关于轴对称，
∴的解析式为，
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
观察图象可知：当，，，时，和组成的图象与直线有3个公共点．
故答案为：，，，．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象的性质，二次函数与一次函数的交点等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
30．或
【分析】根据题意得出翻折后的抛物线解析式为，若与恰有两个交点，则需分两种情况，①当直线与和分别有一个交点时，结合图象即可解答；②当直线与有两个交点，直线与无交点时，联立方程组，利用根的判别式求出m的值，结合图象即可解答．
【详解】解：二次函数（其中）的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到的抛物线解析式为：，
∵直线，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-2，
∴直线与x轴交点为（-2,0），与y轴的交点为（0,2），
①如下图，当抛物线经过点（-2,0）时，0=4-m，解得m=4，
观察图象可知，当m＞4时，与恰有两个交点，
②由得，当时，解得：，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
31．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－.
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.
32．(1)；(2)或-6；(3)n<-1时，与x轴有4个交点，n=-1时，与x轴有3个交点；与x轴有2个交点；n=3时，与x轴有3个交点；n>3时，与x轴无交点.
【分析】（1）根据定义得出对折后函数的顶点坐标为，该函数表达式为：；
（2）将点代入求解出m的值即可；
（3）)分当时、当时、 当时、当时、当时，画出具体的函数图像进行观察与x轴的交点个数即可
【详解】(1)令，则或3，如图1：即点的坐标为，，则对折后函数的顶点坐标为，该函数表达式为：，
即对折函数为.
(2)将点代入
解得：或-6(不合题意的值已舍去)
即或-6；
(3)①当时，如图2：
此时在点的左侧，从图中可以看出：函数与轴有4个交点；
②当时，过点，从图1可以看出：函数与轴有3个交点；
③同理：当时，函数与轴有2个交点；
④同理：当时，函数与轴有3个交点；
⑤同理：当时，无交点.

【点睛】本题属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键.
答案第1页，共2页
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