资源简介

专题1.8 绝对值贯穿有理数的八大经典题型
【人教版】
【题型1 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Toc18062 \\h 1
【题型2 利用绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Toc11165 \\h 1
【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Toc19167 \\h 2
【题型4 利用绝对值的定义判断正误】 PAGEREF _Toc14840 \\h 2
【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Toc7552 \\h 3
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Toc23072 \\h 3
【题型7 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Toc16777 \\h 4
【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Toc31398 \\h 4
【题型1 利用绝对值的性质化简求值】
【例1】（2023春·江苏常州·七年级校考期中）
1．如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|=（ ）

A．7 B． 9 C．11 D．13
【变式1-1】（2023春·山东威海·六年级校联考期中）
2．有理数、，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校联考阶段练习）
3．化简：.
【变式1-3】（2023春·全国·七年级期末）
4．已知化简：= ．
【题型2 利用绝对值的非负性求值】
【例2】（2023春·天津和平·七年级天津二十中校考期中）
5．若有理数、满足，，且，求的值．
【变式2-1】（2023春·七年级课时练习）
6．已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ．
【变式2-2】（2023春·重庆·七年级校考阶段练习）
7．已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ．
【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）
8．满足|a﹣b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】
【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）
9．当时，化简 ．
【变式3-1】（2023春·全国·七年级专题练习）
10．已知有理数，则化简的结果是 ．
【变式3-2】（2023春·上海·六年级专题练习）
11．已知非零实数a，b，c，，，，化简．
【变式3-3】（2023春·河南新乡·七年级校考期中）
12．已知，|a|＝﹣a，，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ．
【题型4 利用绝对值的定义判断正误】
【例4】（2023春·湖北宜昌·七年级枝江市实验中学校考期中）
13．如果，且．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．、为正数，为负数 B．、为正数，为负数 C．、为正数，为负数 D．、为正数，为
【变式4-1】（2023春·四川甘孜·七年级统考期末）
14．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是 ．（填序号）
【变式4-2】（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）
15．已知a、b为有理数，下列说法：
①若a、b互为相反数，则；
②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；
③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；
④若|a|＞|b|，则（a+b） （a﹣b）是负数．
其中错误的是 （填写序号）．
【变式4-3】（2023春·湖北咸宁·七年级校联考期中）
16．已知a、b为有理数，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例5】（2023春·七年级单元测试）
17．当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（　　）
A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D．a≥6
【变式5-1】（2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）
18．已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023春·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期末）
19．数a在数轴上对应点位置如图，若数b满足b≤|a|，则b的值不可能是（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
【变式5-3】（2023春·山东济南·七年级校联考期中）
20．若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，则x的范围是 ．
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论问题】
【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）
21．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（ ）
A．1 B．或 C．1或 D．或3
【变式6-1】（2023·浙江·模拟预测）
22．有理数a，b，c均不为0．且，设，则代数式的值是（ ）
A．2010 B．1990 C．2030或1990 D．2010或1990
【变式6-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）
23．已知有理数满足，求的值．
【变式6-3】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）
24．已知都是不等于0的有理数，若，求的值．
解：当>0时，，当﹤0时，，所以
(1)若，则的值为______；
(2)若，则的值为______；
(3)由以上探究猜想，，共有_____个不同的值．
(4)应用：如果a、b、c是非零实数，且，那的所有可能的值为______？
【题型7 分类讨论多绝对值问题】
【例7】（2023春·广西南宁·七年级校考期中）
25．在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若，设d在a、c之间，则 ．
【变式7-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）
26．已知，，，都是整数，且，则 ．
【变式7-2】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）
27．已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式的值是同一个常数，则此常数为 ．
【变式7-3】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）
28．已知、为有理数，方程仅有三个不相等的解，则 ．
【题型8 绝对值中最值问题】
【例8】（2023春·江苏·七年级期末）
29．如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【变式8-1】（2023春·广东汕头·七年级校考阶段练习）
30．（1）在数轴上，点表示数，点表示原点，点、之间的距离 ．
（2）在数轴上，点、分别表示数、，点、之间的距离，数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3，那么
（3）计算：
（4）的最小值是
【变式8-2】（2023春·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）
31．已知，则的最大值是 ．最小值是 ．
【变式8-3】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
32．三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据绝对值的几何意义，将|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9转化为两点间的距离，进而可得q、r两点间的距离，即可得答案．
【详解】解：根据绝对值的几何意义，
由|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9可得
p、r两点间的距离为10，p、s两点间的距离为12，q、s两点间的距离为9，
则q、r两点间的距离为10+9-12=7，
即|q-r|=7，
故选A．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，|a-b|即两实数a、b表示两个点间的距离．
2．B
【分析】由数轴可知，然后进行去绝对值，进而问题可求解．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值，熟练掌握数轴、绝对值是解题的关键．
3．
【详解】试题分析：要去掉绝对值符号，需知绝对值中式子的符号，x的取值是有理数范围内任一数，所以要对x的取值分情况讨论，再去绝对值符号．
试题解析：
①当时，原式
②当时，原式
③当时，原式
④当时，原式
综上所述：
4．-a-3b-c
【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.
【详解】解：∵
∴a≤0，b＜0，c≥0
∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0
∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
故答案为-a-3b-c.
【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.
5．6或8
【分析】根据绝对值的意义得出或，或，再分情况代入验证是否满足，继而计算即可．
【详解】解：∵，，
∴或，或，
①当时，（舍去），
②当时，，
则；
③当时，，
则；
④当时，，
则；
则②③④满足，则或8．
【点睛】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值，正确分类讨论是解题关键．
6．2或4．
【详解】解：根据平方数是非负数，绝对值是非负数的性质可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴当a=－1，b=－2时，ab=2；
当a=－1，b=－4时，ab=4．
故答案为2或4．
点睛：本题主要考查了绝对值是非负数，偶次方是非负数的性质，根据题意列出等式是解题的关键．
7．5或7或8或4
【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即，或，，然后解绝对值方程组即可，．
【详解】解：因为，均为整数，，
可得：，或，，
∴当，，可得：，，则；
当，，可得：，，则；
当，，可得：，，则；
当，，可得：，，则，
故答案为5或7或8或4．
【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键．
8．C
【详解】∵|a﹣b|+ab=1，∴|a-b|=1-ab，∵|a﹣b|≥0，∴1-ab≥0，∴ab≤1，
∵a，b是非负整数，
∴存在（1，1）（1，0）（0，1）3种情况．
故选C.
【点睛】本题主要考查非负整数、绝对值的性质，非负整数包括0和正整数，所以a，b可以是0或者是正整数．
9．##
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解：根据绝对值的性质可知，当时，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，整式的加减，熟知正数的绝对值是其本身、零的绝对值还是零、负数的绝对值是其相反数是解本题的关键．
10．
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
11．b
【分析】根据“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值它的相反数”化简即可．
【详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，熟练掌握所学知识是解题关键．
12．
【分析】根据已知的等式判断出a、b、c的正负，进而确定出a+b、a﹣c、b﹣c的正负，再利用绝对值的代数意义化简，即可求解．
【详解】解：∵，＝﹣1，，
∴a为非正数，b为负数，c为非负数，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
∴原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，
故答案为：﹣2c．
【点睛】本题考查了整式的加减、合并同类项、根据绝对值的代数意义进行化简等知识点，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．
13．A
【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为，可得、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又，那么，进而得出可能存在的情况．
【详解】解：，
、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数，
，
，
∴可能、为正数，为负数；也可能、为负数，为正数．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
14．②③
【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，
∴，
故①不正确，②正确，
∵，，，
∴，
故③正确，
∵
∴，
∴，
故④不正确，
∵，，
∴，
故⑤不正确，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义．
15．①③④
【分析】根据不等式的性质进行判断即可；
【详解】解：若a＝b＝0，则没有意义，故①符合题意；
∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴3a+4b＜0，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故②不符合题意；
∵|a﹣b|+a﹣b＝0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，
∴a≤b，故③符合题意；
若a＝﹣2，b＝1，
（a+b） （a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3＞0，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查有理数加法、乘法和除法法则，以及绝对值法则，掌握这些法则是解题的关键．
16．②③④
【分析】根据得，，从而得，，，，进而判断各项结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，，，故①错误，②正确，
∴，，故③④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的比较大小，综合有理数的绝对值、有理数的乘法是解题的关键．
17．B
【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-1|+|x|，根据x的范围分情况去掉绝对值符号，可求得y≥5，再结合题意即可确定a的范围．
【详解】令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，
当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，
当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，
∴5＜y＜11；
当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，
∴5≤y≤6；
当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，
∴6＜y＜9；
当x≤0时，y＝﹣5x+9，
∴y≥9；
综上所述，y≥5，
∴a≥5时等式恒有解．
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值的性质；通过构造函数，将等式问题转化为函数问题解题是关键
18．D
【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案．
【详解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x，
∴5x﹣2≤0，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的性质以及解一元一次不等式，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键．
19．B
【分析】根据数轴得到，根据题意解答即可
【详解】由数轴可知，
∵，
∴，
可以是不可能是，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的概念、绝对值的性质，根据数轴确定的范围是解题的关键．
20．
【分析】根据绝对值的性质可得或，解不等式组即可求解．
【详解】∵|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|，
∴或，
解得 ．
故x的范围是．
故答案为．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
21．A
【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】∵
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵
∴a，b，c的符号为1负2正
令，，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．
22．C
【分析】根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），则可得，，的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．
【详解】解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，
∵a+b+c=0，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，
∴，，中必有两个同号，另一个符号相反，
即其值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴=±1，
∴==，
或==，
故选C．
【点睛】本题考查了代数式求值，注意分类讨论思想的应用．能得到，，的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1是解此题的关键，要注意仔细分析，难度适中．
23．2或
【分析】根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，然后分情况求解即可．
【详解】解：根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，
则原式或．
【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键．
24．(1)或0
(2)或
(3)2022
(4)0
【分析】（1）由题意可得，，再求解即可；
（2）由题意可得，，，再求解即可；
（3）通过计算发现规律：有2022个值，最大值2021，最小值为，再求解即可；
（4）根据正负性去绝对值计算即可，注意分类讨论．
【详解】（1）解：，，
或0，
故答案为：或0；
（2）解：，，，
或，
故答案为：或；
（3）解：由（1）（2）可知，有2个值，有3个值，有4个值，
有2022个值，最大值2021，最小值为，
故答案为：2022．
（4）解：∵a、b、c是非零实数，且，
∴a、b、c是两个正数一个负数或一个正数两个负数，
当a、b、c是两个正数一个负数时，，此时；
当a、b、c是一个正数两个负数时，，此时；
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查数字的变化规律、绝对值化简，通过计算，从特殊到一般进行归纳，探索出结果的规律是解题的关键．
25．
【分析】由，又d在a、c之间，故有或两种情况，分别讨论可得答案．
【详解】解：，
，
d在a、c之间，
或，
当时，，
当时，，
故答案为：
【点睛】本题考查去绝对值，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26．1或0．
【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：①3个为0，1个为2；②2个为0，2个为1，继而讨论|a+d|的值．
【详解】由题意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以有两种可能：
①3个为0，1个为2，
②2个为0，2个为1，
所以|a+d|只可能取0、1、2，若为2，
则|a+b|=|b+c|=|c+d|=0，
不难得出a=-d，所以|a+d|=0，与假设|a+d|=2矛盾．
所以|a+d|只可能取0、1，a=0，b=0，c=-1，d=1时|a+d|=1；
a=-1，b=0，c=0，d=1时|a+d|=0．
故答案为1或0．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，难度较大，注意对各种情况的讨论，不要漏解．
27．2022
【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．
【详解】由题意，得将进行化简后代数式中不含x，才能满足题意．
因此，当时，
原式=
．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减、整式的加减，解题的关键是确定x的取值范围．
28．2.7####
【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得或，由于仅有3个不相等的解，则，解方程求得n的值．
【详解】解：，
∴或，
当时，或，
当时，或，
方程仅有三个不相等的解，
时，或时，，
当时，，不成立，
，
综上所述：的值为2.7，
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键．
29．（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．
【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
（2）先求出b﹣a的范围，再比较大小即可求解；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．
【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＞0；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|
＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1
＝b﹣c﹣a+c+a﹣1
＝b-1；
（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．
故答案为：①b﹣a；②b﹣c．
【点睛】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
30．（1）3；（2）1或；（3）；（4）1
【分析】（1）数轴上两点的距离右边的数左边的数，据此即可得到答案；
（2）根据已知中两点的距离公式计算，即可得到答案；
（3）根据绝对值的意义去绝对值符号，再进行计算，即可得到答案；
（4）分三种情况讨论，分别求出最小值，比较即可得到答案．
【详解】解：（1）点表示数，点表示原点，
点、之间的距离，
故答案为：3；
（2）数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3，
，
或，
故答案为：1或；
（3）
，
故答案为：；
（4）当时，，此时最小值为；
当时，，
当时，，此时最小值为，
综上可知，的最小值是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴的定理，解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．
31．
【分析】先讨论∶ 、、的最小值，根据它们的积是36，分别得到、、的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
当时，x最小取，最大取2，
当时，y最小取，最大取2，
当时，z最小取，最大取3
∴的最大值为∶
，
的最小值为∶
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键．
32．34
【分析】根据，，可得，，，则，再由，a，b，c都是整数，得到则，根据，，即可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，a，b，c都是整数，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴的值最大为9+8+17=34，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键在于能够根据题意得到，，．
答案第1页，共2页
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