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2024学年广东省广州市九年级中考数学二模练习试题
考试时间：120分钟 满分：120分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 某日上午八点温州市的气温为，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，
则下午两点的气温为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，与距地约400000米的空间站核心舱成功对接，
数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4 .不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，
点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，
能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，
现测得，，，则点A到的距离为（ ）

A． B． C． D．
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A． B． C． D．
如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，
点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，
则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
12 .一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球 个．
13.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，
则圆锥的母线l为 ．

某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．

边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于．
若，用含的式子表示的长是________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
18. 计算：，从0，1，2，3，4中选取适合x的值代入求值．
19 .如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）
20. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相于点A，
反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接，
求的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，
体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，
已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，
用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，
用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，
种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．
作于点F，于点G．
(1)求证：是的切线，
(2)已知，，求的半径，
24. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，
抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
25. 如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接．
初步尝试：
（1）与的数量关系是 　 ，与的位置关系是 　 　．
特例研讨：
（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），
得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：
若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接，．
当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，
利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024学年广东省广州市九年级中考数学二模练习试题解析
考试时间：120分钟 满分：120分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 某日上午八点温州市的气温为，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，
则下午两点的气温为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加减运算的知识，理解题意列出算式是解题的关键．
根据有理数的加减运算法则运算即可．
【详解】解：
故选：C．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得．
【详解】解：从左边看，可得如选项B所示的图形，
故选：B
2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，与距地约400000米的空间站核心舱成功对接，
数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：B．
4 .不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意，
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C
如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，
点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，
能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，
现测得，，，则点A到的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解：过A作，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B

如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，
点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，
则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
12 .一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球 个．
【答案】8
【分析】根据共摸球30次，其中10次摸到白球，可知随机摸出一球，摸到白球的概率约为，可求出总球数，再求黄球个数即可．
【详解】解：根据共摸球30次，其中10次摸到白球，可知摸到白球的概率约为，
不透明的袋子中球的个数为：（个），黄球的个数为12-4=8（个），
故答案为：8．
13.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，
则圆锥的母线l为 ．

【答案】15
【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】解：圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：15．
某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式根据题意得：，
解得：，
∴，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，
根据题意得： ，
解得： ，
∴，
联立 ，
解得 ：，
∴过 20 分钟时，两仓库快递件数相同；
故答案为：20．
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于．
若，用含的式子表示的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】-3
【分析】先根据零次幂、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角形函数值进行化简，然后计算即可．
【详解】解：
=1+ -1+(-3)-3×
=(-3)+ -
=-3．
18. 计算：，从0，1，2，3，4中选取适合x的值代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式；
【分析】本题考查了分式方程的化简求值，先通分括号内，再进行除法运算，化简得，要注意分母不为0的情况，把和分别代入，即可作答．
【详解】解：
，
，
，
，
∵，
∴，
∵从0，1，2，3，4中选取适合x的值，
∴当把代入，原式，
当把代入，原式．
19 .如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）
解：如图所示：过点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为
∴四边形是矩形，
在中，
在中，
即
∴点C到直线AE的距离为
20. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相于点A，
反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接，
求的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数表达式为．
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，掌握方程思想和数形结合是解题的关键．
（1）联立求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）求得B、C的坐标，利用求得即可；
（3）根据图象即可求解．
【小问1详解】
解：联立，解得，
∴A点坐标为．
将代入，得．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
如图，
联立，解得：或．
∴．
在中，令，得．
故直线与x轴的交点为．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
则．
【小问3详解】
由图象可得：
关于x的不等式的解集为或．
随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，
体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，
已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，
用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，
用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，
种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，设总利润为w元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m的范围；再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）解：设该商店购进A种羽毛球拍m副，总利润为w元，
根据题意，得，
解得，且m为正整数，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．
作于点F，于点G．
(1)求证：是的切线，
(2)已知，，求的半径，
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了圆切线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）连接，根据，得出，根据，，推出，进而得出，即可求证；
（2）根据垂径定理可得，通过证明四边形为矩形，可得，，设的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，则，
∴，即是的切线．
（2）解：∵，，，
∴四边形为矩形，，
∴，，
设的半径为r，即
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：．
∴的半径为5．
24. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，
抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的坐标为
(3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似
【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐标为；
（3）①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
25. 如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接．
初步尝试：
（1）与的数量关系是 　 ，与的位置关系是 　 　．
特例研讨：
（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），
得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：
若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接，．
当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，
利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），平行；（2）①30度；②；（3）或
【解析】
【分析】（1），点M，N分别为边，的中点，则是的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：①连接，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；
②连接，证明，则 ，设，则，在中，，，则，在中，，勾股定理求得，则；
（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，设，则，得出，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当F在上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解．
【详解】解：（1）∵，点M，N分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，；
故答案为：，；
（2）特例研讨：①如图所示，连接，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，
∴；，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴，
在中，M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即旋转角，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵ ，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，则，
在中，，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，
∵，
∴，设，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴，
∴，
∴A，B，E，C在同一个圆上，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当F在上时，
∵，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设，则，
将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴
设，则，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键．
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