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福州市八县 （市） 协作校2023——2024学年第二学期期中联考
高二 数学试卷
【完卷时间: 120分钟; 满分: 150分】
命题：福州树德学校 罗建平 陈少敏
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 42
2. 的展开式中，常数项是（ ）
A. 81 B. 32 C. 24 D. 8
3. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A B. C. 1 D.
5. 已知随机变量的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则（ ）
A. 1 B. C. 11 D. 15
6. 吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（ ）种排列方式.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（ ）
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
8. 若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若随机变量X服从两点分布且，则
B. 若随机变量满足，，则
C. 若随机变量，则
D. 设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
10. 关于函数及其导函数，下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若函数为奇函数，则
D. 若，则
11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ）
A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条
B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为
C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条
D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社 戏剧社 魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团 每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种
13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为______．
14. 若函数有零点，则实数取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.
15. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法 （用数字作答）.
（1）既有内科医生，又有外科医生；
（2）至少有1名主任参加；
（3）既有主任，又有外科医生.
16. 在 的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项
17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
（1）求值;
（2）以频率估计概率，完成下列问题.
(i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；
(ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.
18. 某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.福州市八县 （市） 协作校2023——2024学年第二学期期中联考
高二 数学试卷
【完卷时间: 120分钟; 满分: 150分】
命题：福州树德学校 罗建平 陈少敏
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】利用排列数，组合数的计算公式计算.
【详解】.
故选：D.
2. 的展开式中，常数项是（ ）
A. 81 B. 32 C. 24 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解..
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，则，
即展开式的常数项为24.
故选：C
3. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值，再利用对立事件的概率公式可求得的值.
【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，
由题意可得，，，，
由全概率公式可得,
由对立事件的概率公式可得，
故选：B.
4. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求导公式和运算计算法则求出a，进而直接得出结果.
【详解】由，得，所以，
解得，所以，
所以.
故选：B
5. 已知随机变量的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则（ ）
A. 1 B. C. 11 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【详解】由，故，
则.
故选：D.
6. 吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（ ）种排列方式.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，列式计算即得.
【详解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有种方法，
所以香烟和口香糖的不同排列方式有（种）.
故选：C
7. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（ ）
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
【答案】D
【解析】
【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可.
【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D表示此人感冒，
则,
，
则因为来自高二年级概率最大，所以,
即,
即，
即，即，
故选：D.
8. 若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解.
【详解】设，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又该切线过原点，所以，
整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故，解得.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量X服从两点分布且，则
B. 若随机变量满足，，则
C. 若随机变量，则
D. 设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
【答案】BD
【解析】
【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，因为随机变量X服从两点分布且，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为随机变量满足，，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故C错误；
对于D，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，
所以，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若函数为奇函数，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC；构造函数，利用导数证明为增函数，即可判断D.
【详解】A：由，得，所以，故A正确；
B：由，得，所以，则，故B错误；
C：由为奇函数，得，等式两边同时取导数，
得，即，故C正确；
D：由，且定义域为，
可构造函数，则，
所以为R上的增函数，则，
则，故D正确.
故选：ACD
11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ）
A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条
B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为
C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条
D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则.
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D：求出和，再利用条件概率公式求解.
【详解】对于A：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A正确；
对于B：在张同学去人民广场选择的最短路径中，
总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法，
到F处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种，
则概率为，B正确；
对于C：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，
①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，
②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，
③先从走到，再走到有种走法，
综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法，
则欣赏灯光秀有种走法，C错误；
对于D：，D错误.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为格中，有格向上，向右的问题来解答.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社 戏剧社 魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团 每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种
【答案】240
【解析】
【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案
故答案为：.
13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为______．
【答案】1.2
【解析】
【分析】确定随机变量X服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.
【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，其中，，，
于是次品件数X的期望，
故答案为：1.2
14. 若函数有零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数说明函数单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
又，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又时，时，
又函数有零点，所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.
15. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法 （用数字作答）.
（1）既有内科医生，又有外科医生；
（2）至少有1名主任参加；
（3）既有主任，又有外科医生.
【答案】（1）
（2）
（3）191
【解析】
【分析】（1）分内科医生去人四种情况计算；
（2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解；
（3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可；
【小问1详解】
既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：
内科医生去人，
得选派方法为：；
【小问2详解】
分两类：
一是选1名主任有种方法；
二是选2名主任有种方法；
故至少有1名主任参加的选派方法共种；
【小问3详解】
若选外科主任，则其余可任意选，
共有种选法；
若不选外科主任，则必选内科主任，
且剩余四人不能全选内科医生，有种选法； .
（也可以直接法：+=65）
故既有主任，又有外科医生的选派种数为.
16. 在 的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项
【答案】（1）1 （2）
（3）第6项和第7项
【解析】
【分析】（1）借助赋值法令即可得；
（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；
（3）解不等式组即可得.
【小问1详解】
令，可得展开式中所有项的系数和为；
【小问2详解】
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
的展开式的通项为：
，
故；
【小问3详解】
由的展开式的通项为：
，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，
解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值;
（2）以频率估计概率，完成下列问题.
(i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；
(ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.
【答案】（1）
（2）(i)分布列见解析，；(ii)
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）(i)依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii)利用条件概率的概率公式计算可得.
【小问1详解】
依题意可得，解得；
【小问2详解】
(i)由（1）可得高度在的频率为，
所以，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
所以；
(ii)在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，
至多株高度低于为事件，
则，
，
所以.
18. 某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【答案】（1）16372
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由题意，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；
（2）由题意有，进一步分3大种情况求得，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.
【小问1详解】
由题意
，
若某天该商场有20000位顾客，
估计该天消费额在内的人数为；
【小问2详解】
设事件“顾客中龙腾奖”， 事件“顾客中旺旺奖”， 事件“顾客获得乙奖品”，
由题意知，
事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，
则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，
共有种；
（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，
共有种；
（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，
共有1种；
所有，
①由全概率公式可得，
即顾客获得乙奖品概率为；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，
所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导得，分是否大于0进行讨论即可得解；
（2）原问题等价于对任意恒成立，令，不断求导得在上单调递增，注意到，由此结合导数与最值的关系分是否大于1进行讨论即可.
【小问1详解】
.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.
令，则.
设，则.
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，.
①若，当时，上单调递增，
则，所以，所以，
②若，则，又当时，，
所以，使得，即.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
所以，所以.
由，
令函数，则当时，，
所以，所以.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出在上单调递增，且注意到，由此即可顺利得解.

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