资源简介 2024年春学期江阴市初中学业水平调研测试九年级数学试题本试卷分试题和答题卡两部分,所有答案一律写在答题卡上. 考试时间为120分钟. 试卷满分150分.注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上,并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合.2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑. 如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案. 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置,在其他位置答题一律无效.3.作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外,其他均应给出精确结果.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分. 在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑. )1. 的倒数是( )A. B. C. D.2. 要使二次根式有意义,x的值可以是()A. 3 B. 1 C. 0 D. -13. 下列运算正确是( )A. B.C. D.4. 如图图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形是( )A. B. C. D.5. 方程的解为()A. B. C. D.6. 一组数据0、1、、1、的中位数和众数分别是( )A. 、1 B. 、1 C. 1、1 D. 0、17. 《九章算术》中有一题:“今有大器五、小器一,容三斛;大器一、小器五,容二斛. 问大、小器各容几何?”译文:今有大容器5个,小容器1个,总容量为3斛(斛:古代容量单位);大容器1个,小容器5个,总容量为2斛,问大容器、小容器容量各是多少斛?若大容器的容量为斛,小容器的容量为斛,则可列方程组( )A. B. C. D.8. 如图,是的外接圆,是的直径,若,则的度数是( )A. B. C. D.9. 已知、、满足等式,则下列结论不正确的是( )A. 若,则 B. 若,则C. 若,则 D. 若,则10. 如图,四边形是边长为4的菱形,,将沿着对角线平移到,在移动过程中,与交于点,连接、、.则下列结论:①;②当时,;③当时,的长为;④的面积最大值为.其中正确为( )A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分. 不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置)11. 2023年我国国内生产总值约为1260000亿元,可将数字1260000用科学记数法表示为_________.12. 分解因式:__________.13. 请写出一个一元二次方程,使其一个根为2,一个根为0:_________.14. 已知圆锥的母线长,侧面积,则这个圆锥的高是__________.15. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器,又名汉筝、秦筝,是汉民族古老的民族乐器,流行于中国各地. 若古筝上有一根弦,支撑点是靠近点的一个黄金分割点,则_________.(结果保留根号)16. 如图,滑轮圆心为,半径为,若在力作用下滑轮上一点绕点顺时针旋转,则图中物块上升_________.(结果保留)17. 如图,在平面直角坐标系中,点坐标是,点在轴正半轴上,且,将绕点逆时针旋转,当点的对应点落在函数的图象上时,设点的对应点的坐标是,则_________.18. 如图,中,,,,以为直径作圆,圆心为,过圆上一点作直线的垂线,垂足为,则的最大值是_________.三、解答题(本大题共10小题,共96分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等. )19. 计算:(1);(2).20. (1)解方程:;(2)解不等式组:21. 如图,在中,点是对角线中点,过点作的垂线,分别与边、交于点、.(1)求证:;(2)连接、,求证:四边形是菱形.22. 为丰富同学们的学习生活,某校打算在七年级开设四种不同社团课,分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋. 为了解同学们对些课程的选择倾向情况,学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查,调查结果统计图部分如图所示.请你根据如图信息解决下列问题:(1)参加问卷调查的学生人数为名,“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是;(2)补全条形统计图(画图并标注相应数据);(3)若该校七年级一共有900名学生,试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名?23. 将两个规格相同的乒乓球上分别标上4、,放入不透明的甲袋中;另外四个规格相同的乒乓球上分别标上2、3、5、,放入不透明的乙袋中(1)从乙袋中任意摸出一个球,球上的数字恰好为无理数的概率是;(2)先从甲袋中任意摸出一个球,再从乙袋中任意摸出一个球,求两球数字乘积为有理数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)24. 如图,在中,.(1)请在图(1)中用无刻度的直尺和圆规作图:作的角平分线交于点,在上求作点,使;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若,则 (如需画草图,请使用图2)25. 如图,在中以为直径作圆,圆心为,交于点,连接,延长至,连接. 已知,.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长度.26. 某商店以30元/件的进价购进了某种商品,这种商品在60天内的日销售价(单位:元/件)与时间(单位:天)之间的关系如表格所示:第天(为整数)日销售价(元/件) 40日销售量(单位:件)与时间(单位:天)之间的函数表达式为,其中为整数.(1)求第30天的销售利润;(2)该商品在第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?日销售利润(日销售价进价)日销售量27. 矩形中,,,点是中点,点从点出发,沿边运动至点停止,四边形与四边形关于直线对称,设,四边形与矩形重叠部分的面积记为.(1)当点、、三点共线时,求;(2)求关于的函数表达式.28. 在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,直线过点且与轴平行. 二次函数的图象经过点,过点作的垂线,与直线交于点,与二次函数的图象另一个交点是点.(1)_______;(用含字母的式子表示)(2)若点的横坐标为,求;(3)若,求.2024年春学期江阴市初中学业水平调研测试九年级数学试题本试卷分试题和答题卡两部分,所有答案一律写在答题卡上. 考试时间为120分钟. 试卷满分150分.注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上,并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合.2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑. 如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案. 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置,在其他位置答题一律无效.3.作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外,其他均应给出精确结果.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分. 在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑. )1. 的倒数是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的倒数,根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可.解:∵,∴的倒数是,故选:D.2. 要使二次根式有意义,x的值可以是()A3 B. 1 C. 0 D. -1【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.解:由题意可知:,∴,∴符合要求的为A,故选:A.【点睛】本题考查二次根式,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型.3. 下列运算正确的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式.分别根据积的乘方运算法则,同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可.解:A、,本选项不符合题意;B、,本选项不符合题意;C、,本选项不符合题意;D、,本选项符合题意;故选:D.4. 如图图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别.根据中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形.解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;D、既是轴对称图形又是中心对称图形,故此选项符合题意;故选:D.5. 方程的解为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把分式方程转化为整式方程求解,然后解出的解要进行检验,看是否为增根.去分母得,解方程得,检验:是原方程的解,故选A.【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤,解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”,即把分式方程转化为整式方程求解,注意分式方程需要验根.6. 一组数据0、1、、1、的中位数和众数分别是( )A. 、1 B. 、1 C. 1、1 D. 0、1【答案】D【解析】【分析】本题考查了中位数和众数.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.据此求解即可.解:将数据重新排列为,,0,1,1,出现次数最多的是1,即众数为1;处于中间的两个数是0,则中位数为0,故选:D.7. 《九章算术》中有一题:“今有大器五、小器一,容三斛;大器一、小器五,容二斛. 问大、小器各容几何?”译文:今有大容器5个,小容器1个,总容量为3斛(斛:古代容量单位);大容器1个,小容器5个,总容量为2斛,问大容器、小容器的容量各是多少斛?若大容器的容量为斛,小容器的容量为斛,则可列方程组( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查列二元一次方程组,理解题意,根据题中等量关系列出方程组即可.解:根据题意,得,故选:B.8. 如图,是的外接圆,是的直径,若,则的度数是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理.根据圆周角定理求得,得到,再根据圆周角定理求解即可.解:连接,∵是直径,∴,∵,∴,∵,∴,故选:C.9. 已知、、满足等式,则下列结论不正确的是( )A. 若,则 B. 若,则C. 若,则 D. 若,则【答案】B【解析】【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质.根据题意得到,则,再逐一计算即可求解.解:∵,∴,则,若,则,∴,若,则,∴,,∵,∴,∴,,∵,∴,即,∴,观察四个选项,选项B符合题意,故选:B.10. 如图,四边形是边长为4的菱形,,将沿着对角线平移到,在移动过程中,与交于点,连接、、.则下列结论:①;②当时,;③当时,的长为;④的面积最大值为.其中正确的为( )A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质,等边三角形的性质,解直角三角形,解一元二次方程.证明四边形是平行四边形,都是等边三角形,即可判断①;利用三角形内角和定理,通过计算即可判断②;设,证明,得到关于的一元二次方程,解方程即可判断③;设,利用,得到关于的二次函数,利用二次函数的性质即可判断④.解:连接,∵四边形是边长为4的菱形,,∴和都是等边三角形,∴,由平移的性质得,四边形是平行四边形,∴,,,,∴都是等边三角形,∴,∴,①正确;∵,∴,∴,∵,即,∴,②正确;设,则,,∵,∴,∵,∴,∴,即,整理得,解得,∴,③错误;作于点,于点,设,则,,∴,,∴等边、、的高都是,∴,,,,,,∵,∴当时,有最大值,最大值为,④正确.综上,①②④正确,故选:D.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分. 不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置)11. 2023年我国国内生产总值约为1260000亿元,可将数字1260000用科学记数法表示为_________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法,科学记数法的表现形式为的形式,其中,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,n是正数,当原数绝对值小于1时n是负数;由此进行求解即可得到答案.解:将数字1260000用科学记数法表示为,故答案为:.12. 分解因式:__________.【答案】【解析】【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可.解:故答案为:.【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.13. 请写出一个一元二次方程,使其一个根为2,一个根为0:_________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查了一元二次方程.设方程为,根据一元二次方程根与系数的关系“,”求解即可.解:设方程为,∵一个根为2,一个根为0,∴,,∴,∴一元二次方程为,故答案为:(答案不唯一).14. 已知圆锥的母线长,侧面积,则这个圆锥的高是__________.【答案】12【解析】【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径,再利用勾股定理即可得到高.解:根据圆锥侧面积公式变形可得,根据圆锥母线公式,可得,故答案为:12.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式,熟知上述公式是解题的关键.15. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器,又名汉筝、秦筝,是汉民族古老的民族乐器,流行于中国各地. 若古筝上有一根弦,支撑点是靠近点的一个黄金分割点,则_________.(结果保留根号)【答案】【解析】【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算,即可解答.解:点是线段的黄金分割点,且,,故答案:.16. 如图,滑轮圆心为,半径为,若在力作用下滑轮上一点绕点顺时针旋转,则图中物块上升_________.(结果保留)【答案】【解析】【分析】本题考查弧长的计算.根据弧长的计算方法计算半径为,圆心角为的弧长即可.解:由题意得,重物上升的距离是半径为,圆心角为所对应的弧长,即,故答案为:.17. 如图,在平面直角坐标系中,点坐标是,点在轴正半轴上,且,将绕点逆时针旋转,当点的对应点落在函数的图象上时,设点的对应点的坐标是,则_________.【答案】【解析】【分析】过作轴于C,过作轴于D,先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到,,证明得到,则可得,利用反比例函数图象上点的坐标特征得到,由勾股定理求得,进而利用完全平方公式求解即可.解:过作轴于C,过作轴于D,则,∵点A坐标是,∴,在中,,则,由旋转性质得,,,点在第一象限中,∴,又,∴,∴,∴,∵的坐标是,且在第一象限,∴,,∴,,∵在函数的图象上,∴,且,∴,∵,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合,涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识,熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键.18. 如图,中,,,,以为直径作圆,圆心为,过圆上一点作直线的垂线,垂足为,则的最大值是_________.【答案】##【解析】【分析】通过创造出特殊的几何图形,利用特殊角度45度角的正切值为切入点,创造出一个特殊的45度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段,此时点与点重合,进而求出所需要的最大值.如图,作,过点作于点,延长交于点,过点作,垂足为点,过点作于点,延长交于点,当点与点重合,点在点处时,取得最大值.理由:连接,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,,∴,∴求得:或(舍去),∴,∵,∴,在上取不同于点的一点,过点作于点,过点作所在的直线于点,并延长交于点,∵,,∴,,则,或,∵,,∴,,∴,,由图可知:,∴,∴当点在点处时,取得最大值,最大值为的长,∵,∴取得最大值.故答案为:或.【点睛】本题重点考查三角形中三角函数的转化及运用,以及结合圆和勾股定理的相关知识解决线段最大值问题,关键在于此最大值的特殊位置的寻找,以及通过几何图形和各个角之间的相互转化叠加证明,最终求出所需量的值.三、解答题(本大题共10小题,共96分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等. )19. 计算:(1);(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算,特殊角的三角函数值,完全平方公式.(1)利用绝对值,特殊角的三角函数,零指数幂化简各项,再作加减法;(2)利用完全平方公式和整式的乘法去括号,然后合并同类项即可.【小问1】解:;【小问2】解:.20. (1)解方程:;(2)解不等式组:【答案】(1),;(2)【解析】【分析】本题考查解一元二次方程、一元一次不等式组,熟练掌握解法并正确求解是解答的关键.解:(1),,,,∴,∴,;(2),解不等式①,得,解不等式②,得,∴不等式组的解集为.21. 如图,在中,点是对角线中点,过点作的垂线,分别与边、交于点、.(1)求证:;(2)连接、,求证:四边形是菱形.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定,全等三角形的性质和判定等知识,(1)首先根据平行四边形的性质得到,,然后证明出即可;(2)首先根据得到,然后证明出四边形是平行四边形,进而证明出四边形是菱形.小问1】∵在中,点是对角线中点,∴,∴又∵∴;【小问2】如图所示,连接、,∵∴又∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形.22. 为丰富同学们的学习生活,某校打算在七年级开设四种不同社团课,分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋. 为了解同学们对些课程的选择倾向情况,学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查,调查结果统计图部分如图所示.请你根据如图信息解决下列问题:(1)参加问卷调查的学生人数为名,“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是;(2)补全条形统计图(画图并标注相应数据);(3)若该校七年级一共有900名学生,试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名?【答案】(1)100;(2)见解析(3)估计选择“围棋”社团课的学生约有名.【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.(1)根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数,用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果;(2)用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数,从而可补全条形统计图;(3)先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比,再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论.【小问1】解:参加问卷调查的学生人数为(名),“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是,故答案为:100;;【小问2】解:参加“插花”的人数有(名),补全条形统计图如下,;【小问3】解:(名),答:估计选择“围棋”社团课的学生约有名.23. 将两个规格相同的乒乓球上分别标上4、,放入不透明的甲袋中;另外四个规格相同的乒乓球上分别标上2、3、5、,放入不透明的乙袋中(1)从乙袋中任意摸出一个球,球上的数字恰好为无理数的概率是;(2)先从甲袋中任意摸出一个球,再从乙袋中任意摸出一个球,求两球数字乘积为有理数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)【答案】(1)(2)两球数字乘积为有理数的概率为.【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.(1)直接利用概率公式求解即可;(2)依据题意先用列表法分析所有等可能的结果,然后根据概率公式求出两球数字乘积为有理数的概率即可.【小问1】解:乙袋中有4个球,其中无理数只有标有的1个球,则从乙袋中任意摸出一个球,球上的数字恰好为无理数的概率是,故答案为:;【小问2】解:列表得:2 3 54 8 12 204由列表可知所有可能的结果有8种,两球数字乘积为有理数的有4种,所以两球数字乘积为有理数的概率为.24. 如图,在中,.(1)请在图(1)中用无刻度的直尺和圆规作图:作的角平分线交于点,在上求作点,使;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若,则 (如需画草图,请使用图2)【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可;(2)过点D作于G,过点E作于F,分别证明和得到,再分别证明和得到,然后利用正切定义求解即可.【小问1】解:如图,射线、点E即为所求;【小问2】解:如图,过点D作于G,过点E作于F,则,∵平分,,,∴,又,∴,∴,∵,,∴,则,∴,∴,又,,∴,∴,∵,,∴,又,∴,即,∵,,∴,∴,即,∴(负值舍去),∴,故答案为:.【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角,角平分线的性质、全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质、正切等知识,熟练掌握相关的知识的联系与运用,正确添加辅助线,利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键.25. 如图,在中以为直径作圆,圆心为,交于点,连接,延长至,连接. 已知,.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长度.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质,切线的判定,圆周角定理:(1)先证,推出,即可证得是的切线;(2)根据求出,连接,得到,列得,勾股定理求出,即可求得.【小问1】∵,,∴,∴,∵,∴,即,∵是的直径,∴是的切线;【小问2】∵,∴,即,∴,连接,∵是的直径,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴.26. 某商店以30元/件的进价购进了某种商品,这种商品在60天内的日销售价(单位:元/件)与时间(单位:天)之间的关系如表格所示:第天(为整数)日销售价(元/件) 40日销售量(单位:件)与时间(单位:天)之间的函数表达式为,其中为整数.(1)求第30天的销售利润;(2)该商品在第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?日销售利润(日销售价进价)日销售量【答案】(1)750元(2)该商品在第20天的日销售利润最大,最大日销售利润是800元【解析】【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用,理解题意销售量、利润与时间x的关系是解答的关键.(1)先求出第30天的销售量和销售单价,再由销售利润单件利润销售量求解即可;(2)先求得日销售利润与销售时间的关系式,再根据一次函数和二次函数的性质求解即可.【小问1】解:当时,销售量,销售单价为元/件,∴第30天的销售利润为元;【小问2】解:设日销售利润为W元,当时,日销售量为,销售单价为元/件,∴日销售利润,∵,∴当时,W最大,最大值为800;当时,日销售量,销售单价为40元,∴日销售利润,∵,y为整数,∴当时,W最大,最大值为元,∵,∴该商品在第20天的日销售利润最大,最大日销售利润是800元.27. 矩形中,,,点是中点,点从点出发,沿边运动至点停止,四边形与四边形关于直线对称,设,四边形与矩形重叠部分的面积记为.(1)当点、、三点共线时,求;(2)求关于的函数表达式.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质,结合对称性质证得,再根据等腰直角三角形的判定与性质求得,,进而根据解方程求解即可;(2)分当时,当时,当时,当时,分别画出相应的图形,利用对称性质、全等三角形的判定与性质,结合三角形的面积公式求解即可.【小问1】解:如图1,在矩形中,,,点是中点,∴,,,,∴为等腰直角三角形,则,,由对称性质得,,,∴,∵,∴,∴和均为等腰直角三角形,∴,,∴,解得;【小问2】解:当时,如图2,设与相交于点E,连接,过M作于H,则,,又,∴,则,设,∵,∴,又,∴在中,由勾股定理得,∴,解得,∴;当时,四边形与四边形重合,∴,上式仍然成立;当时,如图3,设与相交于点F,连接、,过M作于E,则∴,,∴四边形是正方形,∴,又,∴,∴,设,则,,在中,,由得,解得,∴,当时,重叠部分为,则,符合上式,综上,.【点睛】本题考查矩形的性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质,熟练掌握相关知识的联系与运用,利用数形结合和函数的思想求解是解答的关键.28. 在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,直线过点且与轴平行. 二次函数的图象经过点,过点作的垂线,与直线交于点,与二次函数的图象另一个交点是点.(1);(用含字母的式子表示)(2)若点的横坐标为,求;(3)若,求.【答案】(1)(2)或(3)或【解析】【分析】本题考查了二次函数的综合应用,相似三角形的判定和性质.(1)求得点的坐标,代入求解即可;(2)证明,得到,整理得,据此求解即可;(3)分和时,两种情况讨论,由,推出,再证明,通过计算求得点D坐标,代入,计算即可求解.【小问1】解:令,则,∴点的坐标为,∵二次函数的图象经过点,∴,解得;故答案为:;【小问2】解:二次函数的图象的顶点坐标为,作轴于点,由点的横坐标为,可知,∴在y轴左侧,如图,∴,,,,∵,∴,∴,∴,即,整理得,解得或,∴或;【小问3】解:当时,如图,作轴于点,由(2)得,∴,又,,∴,∵,,∴,∴,∵,,∴,,∴点D的坐标为,代入得,整理得,∵,∴;同理当时,可得;综上,或. 展开更多...... 收起↑ 资源预览