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2023年江苏省镇江市中考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. ﹣7的相反数是_____．
2. 使有意义的x的取值范围是______．
3. 镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物（里面是一个个小等边三角形），该图形绕旋转中心（点O）至少旋转_______度后可以和自身完全重合．
4. 已知直线，将一块含的按如图方式放置，点A，B分别落在直线a，b上，若，则的度数为 ________．
5 2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约亿人次，比去年同期增长，其中，数据亿用科学记数法可表示为 _____．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
7. 小明妈妈的生日快到了，为了给妈妈一个惊喜，小明自己动手给妈妈做了一顶圆锥形的生日礼帽，量得帽子的底面圆的直径为，帽子的高为，则这顶帽子的侧面积为 _________（结果保留π）．
8. 已知点在反比例函数的图象上，且，则_____（填写“”、“”或“”）．
9. 如图，内接于，，过点切线与的延长线交于点，则________．
10. 已知一次函数的图象经过二、三、四象限，且与x轴交于，则关于x的不等式的解集为 _________．
11. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则长为 __________________．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于______．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13. 如图所示这个几何体的主视图是（　　）
A. B. C. D.
14. 下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
15. 某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
16. 甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺码分别是x甲，x乙，x丙，x丁，请通过以下几句正确对话，
①甲对丙说：“我穿鞋尺码比你大”；
②丙对乙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
③丁对甲说：“我们两个所穿的鞋的尺码加起来比他俩的尺码和小”；
判断他们所穿鞋的尺码的大小关系是（　　）
A. B.
C. D.
17. 为推进大运河文化的保护、传承和利用，某校组织学生开展“走进大运河”知识竞赛活动（满分为100分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）并进行整理和描述，成绩为整数，用x表示，共分成四个等级：A：：B：；C：；D：，20名学生成绩扇形统计图如图，其中B等级的具体数据是：94，92，92，90，94，92，92．所抽取的20名学生的竞赛成绩的中位数为（　　）
A. 92 B. 93 C. 94 D. 无法确定
18. 如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
三、解答题（本大题有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
20. （1）解方程： ； （2）解不等式组：
21. 如图，四边形为平行四边形，E，F分别在，上，连接交于点O，且．
（1）求证：；
（2）若平分，证明：四边形为菱形．
22. 为保护未成年学生身心健康，防止过度使用甚至沉迷手机等问题，某校采用随机抽样的方法，抽取了部分学生，对他们一周内手机使用时间（单位：小时）进行了调查，将收集的数据进行整理，并绘制成表格，请根据表格中的信息回答下列问题：
手机使用时间 频数 频率
4 0.08
0.24
10 0.20
16
8 0.16
（1）抽取的样本容量______，______，______；
（2）请估计该校1600名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数；
（3）请根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
23. 如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
24. 如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，
25. 如图，中，，以为直径的圆交于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点O为坐标原点，直线交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作轴，过点C作轴，点E为垂足，相交于点D，连接．
（1）______；
（2）求证：：
（3）当时，求的长．
27. “折纸”是同学们经常做的手工活动．
【活动一】
如图1，有一张长方形纸片，，，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点落在纸片的内部，折痕与边交于点E，第2次折叠，在边上取一点F，将沿进行折叠，使得点D落在射线上．
（1）如图1，在第1次折叠中，若点恰好落在对角线上，则　 　；
（2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出的最大值．
【活动二】
（3）如图3，有一张四边形纸片，已知，，，，小明认为他可以用一张边长为的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由．
28. 已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为．在x轴的下方有一点P，坐标为，过点P作轴，垂足为点C．若点P满足：当点C在线段上（与A，B不重合）时，满足：，当点C在点B右侧时，满足：，当点C在点A左侧时，满足：，其中a是常数，且，则我们称点P为点A，B的“a关联点”．
（1）已知．
①点_______（填“是”或“不是”）点A，B的“a关联点”；
②求点A，B的“a关联点”P的横、纵坐标m，n满足的数量关系；
（2）点P为点A，B的“a关联点”，过点作x轴的垂线l，直线分别与直线l相交于点E，F，点E在点F的下方，若的中点D的纵坐标是3，求a的值；
（3）点P是点A，B的“a关联点”，若满足的面积为8的点P有且只有两个，则a的取值范围是_______．
2023年江苏省镇江市中考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. ﹣7的相反数是_____．
【答案】7
【解析】
【详解】﹣7的相反数是－（－7）＝7．
故答案是：7.
2. 使有意义x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件．
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
．
故答案为：．
3. 镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物（里面是一个个小等边三角形），该图形绕旋转中心（点O）至少旋转_______度后可以和自身完全重合．
【答案】60
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键；根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为，
所以该六边形绕点至少旋转后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
4. 已知直线，将一块含的按如图方式放置，点A，B分别落在直线a，b上，若，则的度数为 ________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点C作，根据平行线的性质可得出，故可得出的度数，据此得出结论，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
【详解】过点C作，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴．
故答案为：．
5. 2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约亿人次，比去年同期增长，其中，数据亿用科学记数法可表示为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：数据亿用科学记数法可表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解此题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：，
故答案为：．
7. 小明妈妈的生日快到了，为了给妈妈一个惊喜，小明自己动手给妈妈做了一顶圆锥形的生日礼帽，量得帽子的底面圆的直径为，帽子的高为，则这顶帽子的侧面积为 _________（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求扇形的面积公式，本题的关键是要清楚圆锥与其侧面展开图的扇形的关系，并知道扇形的面积公式．
【详解】解：∵帽子的底面圆的直径为，
∴帽子的底面圆的半径为，
∴这个圆锥的母线长为，
∴这顶帽子的侧面积．
故答案为：．
8. 已知点在反比例函数的图象上，且，则_____（填写“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，即当时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．由，双曲线在第一，三象限，根据即可判断A在第三象限，B在第一象限，从而判定．
【详解】解：∵，
∴双曲线在第一，三象限，
∵，
∴A在第三象限，B在第一象限，
∴；
故答案为：．
9. 如图，内接于，，过点的切线与的延长线交于点，则________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
是的切线，
，
，
故答案为：．
10. 已知一次函数的图象经过二、三、四象限，且与x轴交于，则关于x的不等式的解集为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系．的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．
【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
11. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则的长为 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，旋转前后对应边相等．
连接，根据勾股定理得出，，通过证明是等边三角形，得出，则为垂直平分线，进而得出，则，最后根据，即可解答．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得到：，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴为垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键．
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
∴，
∴，
设正方形的边长为，，
∴，，
∴，
整理得，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴正方形的面积为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13. 如图所示这个几何体的主视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图
14. 下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据去括号法则和合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的除法可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．
【详解】解：A.，故选项A正确，符合题意；
B.，故选项B错误，不符合题意；
C.，故选项C错误，不符合题意；
D.，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
15. 某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；
根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”即可得出关于x的分式方程列方程即可．
【详解】解：设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了（x+1）名学生，
则：．
故选：B．
16. 甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺码分别是x甲，x乙，x丙，x丁，请通过以下几句正确对话，
①甲对丙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
②丙对乙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
③丁对甲说：“我们两个所穿的鞋的尺码加起来比他俩的尺码和小”；
判断他们所穿鞋的尺码的大小关系是（　　）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
故选：D．
17. 为推进大运河文化的保护、传承和利用，某校组织学生开展“走进大运河”知识竞赛活动（满分为100分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）并进行整理和描述，成绩为整数，用x表示，共分成四个等级：A：：B：；C：；D：，20名学生成绩扇形统计图如图，其中B等级的具体数据是：94，92，92，90，94，92，92．所抽取的20名学生的竞赛成绩的中位数为（　　）
A. 92 B. 93 C. 94 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查扇形统计图和中位数，先求出A等级人数，再找到第10、11个数据，继而利用中位数的定义求解即可，解题的关键是根据扇形图得出A等级人数，并熟练掌握中位数的定义．
【详解】由题意知A等级人数为（人），
其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为94、94，
∴这组数据的中位数为，
故选：C．
18. 如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】连接交于点，连接并延长交于点，由正方形的性质得，，，则，得，由，，证明，则，变形为，而，则，可推导出，则，所以，，可知点在的垂直平分线上运动，当点与点重合时，长的值最小，此时，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
，
于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
点在的垂直平分线上运动，
，
当点与点重合时，的值最小，此时，
长的最小值为1，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算及分式化简，涉及算术平方根、特殊角的三角函数、零整数指数幂、二次根式加减运算、因式分解、通分、约分及分式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
（1）先由算术平方根、特殊角的三角函数及零整数指数幂分别计算，再由二次根式的加减运算求解即可得到答案；
（2）先因式分解，再将括号里的分式通分，利用分式加减运算求解后约分即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. （1）解方程： ； （2）解不等式组：
【答案】（1）x=-5；（2）
【解析】
【分析】（1）首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可；
（2）先解第一个不等式得x≥1，再解第二个不等式得x＜3，然后取公共部分即可解集．
【详解】解：（1） ；
方程两边同时乘以（x-1）（x+1）得：
3（x+1）=2（x-1），
3x+3=2x-2，
3x-2x=-2-3，
x=-5，
经检验：x=-5是原方程的解；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是：1≤x≤3．
【点睛】此题主要考查了解分式方程和解一元一次不等式组，注意分式方程要正确找出最简公分母，不等式组要注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时不等号的方向改变．
21. 如图，四边形平行四边形，E，F分别在，上，连接交于点O，且．
（1）求证：；
（2）若平分，证明：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查三角形全等的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质，菱形的判定．
（1）根据AAS证明是解题的关键；
（2）证出，，得出四边形为平行四边形，证明是解题的关键．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
．
在和中，
，
（AAS）；
【小问2详解】
证明：，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
22. 为保护未成年学生身心健康，防止过度使用甚至沉迷手机等问题，某校采用随机抽样的方法，抽取了部分学生，对他们一周内手机使用时间（单位：小时）进行了调查，将收集的数据进行整理，并绘制成表格，请根据表格中的信息回答下列问题：
手机使用时间 频数 频率
4 0.08
0.24
10 0.20
16
8 0.16
（1）抽取的样本容量______，______，______；
（2）请估计该校1600名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数；
（3）请根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）50；0.32，12；
（2）768人； （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出本次调查的人数．
（1）根据统计表中的数据，可以计算出本次抽取的样本容量，然后即可计算出a和b的值；
（2）用1200乘样本中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数所占比例即可；
（3）根据表格中的数据，写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
【小问1详解】
本次抽取的样本容量为：，
，，
故答案为：50；0.32，12；
【小问2详解】
（人），
答：估计该校1600名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上人数约有768人；
【小问3详解】
根据表格中的数据可知，接近一半的学生一周“手机使用时间”达到3小时及以上，给学校的建议是：近期组织一次家长会，就学生们的“手机使用时间”进行强调，要求家长监管好孩子们的手机使用时间，要少于3小时．（答案不唯一）．
23. 如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．
根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案;
(2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率.
点评
【小问1详解】
根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）；
【小问2详解】
用“树状图”列出所有可能的结果：
当选取的两个顶点为点A、E或点D、F时，所画的四边形是平行四边形，
所画的四边形是平行四边形的概率．
24. 如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，
【答案】16米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示：
由题意得：米，米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
米，
米，
小李到古塔的水平距离即的长约为16米．
25. 如图，中，，以为直径的圆交于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、圆周角定理及其推论、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形等，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
（1）首先连接，由在中，，易证得，又由过点作于点，即可得，证得是的切线；
（2）根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再由题意得到，由勾股定理列方程求解得到即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
在中，，即，
，
的半径为．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点O为坐标原点，直线交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作轴，过点C作轴，点E为垂足，相交于点D，连接．
（1）______；
（2）求证：：
（3）当时，求的长．
【答案】（1）6 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先设出点C坐标，进而得到点D的坐标，再由对称性求出点B的坐标，接着利用待定系数法求出直线的解析式即可证明结论；
（3）设与交于点F，由对称性可知，，证明，即点F为的中点，再证明，得到；进一步证明，得到，则，利用勾股定理得到，则．
【小问1详解】
解：把代入中得：，解得，
故答案为：6；
【小问2详解】
解：由（1）得反比例函数解析式为，
由反比例函数的对称性可知点B的坐标为，
设，则，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
∴直线与直线平行，
∴；
【小问3详解】
解：如图，设与交于点F，
由对称性可知，，
由（2）知，
∴
∴，即点F为的中点，
∵轴，轴，
∴CD⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理等等，熟知反比例函数的对称性以及一次函数中一次项系数相同时的两条直线平行是解题的关键．
27. “折纸”是同学们经常做的手工活动．
【活动一】
如图1，有一张长方形纸片，，，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点落在纸片的内部，折痕与边交于点E，第2次折叠，在边上取一点F，将沿进行折叠，使得点D落在射线上．
（1）如图1，在第1次折叠中，若点恰好落在对角线上，则　 　；
（2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出的最大值．
【活动二】
（3）如图3，有一张四边形纸片，已知，，，，小明认为他可以用一张边长为的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）图见解析，；（3）小明的想法不对，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得，再结合轴对称的性质与勾股定理可得答案；
（2）如图2，作的角平分线，交于点F即可，证明，可得，设，，则，再建立二次函数，利用二次函数的性质可得答案；
（3）如图，连接，先求解，根据题意，可能的折法有以下两种：折法一：如图3，可得一边长为45，则不符合题意；折法二：如图4，将所得的四边形纸片展开的正方形，证明，可得，设，则，，，求解，可得，从而可得结论．
【详解】解：（1）由折叠可知，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
（2）如图2，作的角平分线，交于点F，
由折叠可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
整理得，，
∴当时，y有最大值，
∴的最大值为；
（3）小明的想法不对，理由如下：
如图，连接，
∵，，，，
∴，，
∴，
根据题意，可能的折法有以下两种：
折法一：如图3，可得一边长为45，
∵，不符合题意；
折法二：如图4，将所得的四边形纸片展开的正方形，
同理可得：，
∴，
∴两个三角形的相似比为，
设，则，，，
∴，
解得，
∴，
∵，不符合题意；
综上所述：小明的想法不正确．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作角平分线，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
28. 已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为．在x轴的下方有一点P，坐标为，过点P作轴，垂足为点C．若点P满足：当点C在线段上（与A，B不重合）时，满足：，当点C在点B右侧时，满足：，当点C在点A左侧时，满足：，其中a是常数，且，则我们称点P为点A，B的“a关联点”．
（1）已知．
①点_______（填“是”或“不是”）点A，B的“a关联点”；
②求点A，B的“a关联点”P的横、纵坐标m，n满足的数量关系；
（2）点P为点A，B的“a关联点”，过点作x轴的垂线l，直线分别与直线l相交于点E，F，点E在点F的下方，若的中点D的纵坐标是3，求a的值；
（3）点P是点A，B的“a关联点”，若满足的面积为8的点P有且只有两个，则a的取值范围是_______．
【答案】（1）①不是；②（或）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】主要考查相似三角形的性质与判定，二次函数综合题，理解“a关联点”的定义是解题关键
（1）①根据“a关联点”的定义代入求解即可判断；②根据题目给出的定义，分别给出比例，求解即可得出结论；
（2）由题意可知，作出对应的图形，可得，得出比例式并求解即可；
（3）根据题意作出点P的轨迹，由的面积为8可得出点P的纵坐标为，结合(1)中的计算可得出不等式，进而可得出结论
【小问1详解】
解：①如图1，过点M作轴于点N，
，
，
故答案为：不是；
②当C在线段上时，．
由，即：，
；
当C在点B右侧时，．
由，即：，
；
当C在点A左侧时，．
由，即：＝4，
．
综上所述： （或）或；
【小问2详解】
由题意可知，，则，
设与x轴交于点G，
，，
，，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
由（1）②可知，点P的运动轨迹如图2所示的抛物线（部分）上，
的面积为8，
，
解得，
若满足的面积为8的点P有且只有两个，则当时抛物线的顶点纵坐标大于，
，
，
，
，
解得，
由“a关联点”的定义可知，，
综上，．
故答案为：．

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