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5.3 概率 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．勾股定理是数学史上非常重要的定理之一．若将满足的正整数组称为勾股数组，则在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，能组成勾股数组的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为p，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则p的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（　　）
A． B． C． D．
5．《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（ ）
A． B． C． D．
6．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A．与是对立事件 B．与是互斥事件
C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件
7．从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，至少有一个是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A． B．
C． D．若，则B与C互斥
10．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是对立事件
C． D．
11．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ）
A．A与相互独立 B．A与互为对立
C．与互斥 D．与相互独立
12．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
三、填空题
13．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为 ．
14．继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ．
15．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为 ．
16．某班成立了，两个数学兴趣小组，组有5名学生，组有10名学生．在某次测验中，组学生的成绩如图所示，组学生的平均成绩为117分，方差为14．若从组学生中随机抽取2人作为兴趣小组组长，则这2个组长的成绩均在120分以上的概率为 ；若将组学生、组学生该次测验的成绩混合在一起，产生一组新的数据，则这组新数据的方差为 ．
四、解答题
17．象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲－乙 丙－丁
第二轮 甲－丙 乙－丁
第三轮 甲－丁 乙－丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
18．在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．
(1)求，；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当临界值时，求漏诊率和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值．
20．2023年被称为交互式元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方式很快就变得无处不在，并像电子邮件 流媒体或任何其他曾经是未来主义 现在成为日常的技术一样融入到我们的生活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对的了解情况.调查问卷主要设置了在以下六个方面的应用：传媒 机器人 办公 医药 自动驾驶 军事.已知该学校高一年级共600人，随机选取30名学生（其中男生16人，女生14人）做了一次调查，结果显示：对有较多了解的男生有12人，女生8人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了解的学生最感兴趣的应用领域具体人数情况如下表：
性别 传媒 机器人 办公 医药 自动驾驶 军事
男 1 4 2 1 3 1
女 3 2 2 0 1 0
(1)估计该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数；
(2)现学校从对机器人最感兴趣的这6名学生中抽取2名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女生的概率.
21．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得.
【详解】依题意，，由，
得，又，
则当时，，
所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是.
故选：C
2．A
【分析】求出基本事件总数，再求出勾股数组的个数，即可求解．
【详解】在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，
基本事件的总数为，
能组成勾股数组的有共2个，
能组成勾股数组的概率是
故选：A
3．B
【分析】根据独立事件概率乘法公式可知：三次都未命中的概率为，根据题意结合对立事件概率公式可知，运算求解即可.
【详解】因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为.
又因为每次射击结果相互独立，则三次都未命中的概率为.
若连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，
所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.
故选：B.
4．B
【分析】根据互斥、对立事件概率的运算性质可得，进而可得，即可得解．
【详解】因为事件，互斥，它们都不发生的概率为，
所以.
将代入上式可得，
所以，.
故选:B.
5．C
【分析】运用古典概型概率公式和对立事件的概率公式，分别求出试验的基本事件总数和所求事件的对立事件含有的基本事件数代入计算即得.
【详解】不妨用表示剩下49根蓍草去掉1根后，随意分成的两堆中左右堆的蓍草根数，
依题，分堆方法有共49种，
而最后放在中间的蓍草总数为“9”的情况有：共11种，
故最后放在中间的蓍草总数为“5”的情况有种，
故“5”的概率是.
故选：C.
6．D
【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确，
故选：D.
7．D
【分析】利用对立事件概率公式、概率乘法公式，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】设连续取两次，一次都没有奇数为事件，
因为，
所以，
故选：D
8．A
【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.
【详解】由题意得，
A选项，，，故，
所以，故事件相互独立，A正确；
B选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，B错误；
C选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，C错误；
D选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，D错误；
故选：A
9．BCD
【分析】A与B相互独立，则,又因为可判断A选项；由条件概率的运算 判断B选项 ；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；，即B与C互斥判断D.
【详解】对于A，A与B相互独立，则,
，A错误；
对于B，因为A与C互斥，所以,所以
,,
所以,B正确；
对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，
所以,所以，C正确；
对于D，显然，即，
由，得，
解得，所以B与C互斥，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了互斥事件、独立事件的概念和条件概率的公式化简运算，关键在于理解和事件与积事件的求法，并于条件概率运算公式中的项相结合，进行化简，进而向各选项表达式靠拢判断正误.
10．ABC
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.
【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，
与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确；
对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC
11．ABD
【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.
【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件A，共4个基本事件.
事件B，共6个基本事件.
事件C，共6个基本事件.
事件D，
共8个基本事件.
对于A选项，因，
则，故A与相互独立，故A正确；
对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确；
对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误；
对于D选项，因，，，
则，故D与相互独立，故D正确.
故选：ABD
12．ACD
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式，结合串并联的特征逐项计算即得.
【详解】依题意，，
对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确；
对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误；
对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确；
对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确.
故选：ACD
13．
【分析】根据题意求得所有的跳动可能性，再求得满足题意的可能性，根据古典概率的概率计算公式求解即可.
【详解】质点的每次跳动，都有2种选择，故共有种；
若从原点出发，最终落在点，则这四次跳动中，必有一次向负方向跳动，剩余三次向正方向跳动，
故满足题意的跳动方式有：种，即选择第一次，或者第二次，或者第三次，或者第四次向负方向跳动，
故满足题意的概率为.
故答案为：.
14．/0.3
【分析】根据古典概型求解即可.
【详解】由题意，设五种食材分别为，则基本事件空间为
，
共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以.
故答案为：
15．
【分析】先求选手不被淘汰的概率为，进而可得该选手被淘汰的概率.
【详解】记“该选手能正确回答第轮的问题”为事件，
则，，，
该选手不被淘汰的概率，
则该选手被淘汰的概率为，
故答案为：.
16． /0.3 /
【分析】根据给定的茎叶图，结合列举法求出古典概率；求出组学生该次测试成绩的平均成绩及方差，再利用分层抽样的方差公式计算即得.
【详解】由茎叶图知，组5名学生的测试成绩分别为，他们分别记为，
从5名学生任抽2人的样本空间，共10个，
成绩均在以上的事件，共3个，
所以这2个组长的成绩均在120分以上的概率为；
组5名学生测试成绩的平均分为，
方差为，而组学生的平均成绩为，方差为，
因此新数据组的平均分，
方差.
故答案为：；
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.
【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则，
即丁同学的总分为5分的概率为.
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概
率.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
综上，甲同学能获得奖励的概率.
18．(1)，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据概率的乘法公式计算即可；
（2）分别求出第一次中奖，第次抽奖中奖的概率，第一次未中奖而第二次中奖，第次抽奖中奖的概率，前两次均未中奖，第次抽奖中奖的概率，即可得解；
（3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次，故只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，分别从初始状态开始，抽一次中奖的概率，从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率，从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率即可得解.
【详解】（1），
；
（2）因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第次抽奖中奖的概率为，
综上所述，对任意的，，
又，所以；
（3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，
故连抽次至少中奖次，
所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，
另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，抽一次中奖的概率为，
从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为，
从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为，
用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖，
则三次中奖的所有情况如下：，
，
故仅三次中奖的概率为
，
所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为.
【点睛】关键点点睛：题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次，故只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，是解决第三问的关键.
19．(1)0.5%，3.5%；
(2)，0.07.
【分析】（1）根据题意，由第一个图求出的矩形面积，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出.
（2）根据题意，确定分段点100，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.
【详解】（1）依题意，，
.
（2）当时，
，
当时，；
当时，
，
当时，，
所以，在区间上的最大值为0.07.
20．(1)120人；
(2).
【分析】（1）根据样本数据计算出频率，即可估计人数；
（2）记男生的4人分别为，女生的2人分别为，，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式及对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意样本中对有较多了解的频率为，
对有较多了解的学生最感兴趣的应用领域为机器人的频率为，
所以该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数约为人.
（2）记男生的4人分别为，女生的2人分别为，，
从这人中选取人，基本事件是共15种，
这人都是男生的事件是共6种，
故所求概率.
21．(1)平均数为75.5，分位数为88；
(2).
【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可；
（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；
【详解】（1）由，解得.
该校高三学生期初数学成绩的平均数为.
前3组的频率和为，所以分位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为
的有人，记为，
从6人中任取2人，基本事件有，共15种，
其中2人分数都在的有共6种，
所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.
答案第1页，共2页
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