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6.1 平面向量及其线性运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
2．在中，边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，在边BC上，延长AD到，使得，若（为常数），则PD的长度是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．已知方向相同，且，则等于（ ）
A．16 B．256 C．8 D．64
5．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
8．在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的重心
B．若，则点在边的延长线上
C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则
D．若，且，则的面积是面积的
11．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，是相反向量，则
C．若，则向量，共线
D．若，则点，，，必在同一条直线上
12．如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（ ）
A．
B．对于任意一点，都有
C．对于任意一点，都有
D．
三、填空题
13．已知，是不共线的向量，且，，，若、、三点共线，则 .
14．已知向量共线，且，则 ．
15．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 .
16．在中，D为边的中点，经过的中点E的直线交线段，于点M，N，若，，则 ；该直线将分成的两部分，即与四边形的面积之比的最小值是 ．
四、解答题
17．已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
(1)设，直接写出的所有可能结果；
(2)求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
(3)设，求的聚数的所有可能结果．
18．如图，在梯形中，，，，为的中点，.

(1)若，试确定点在线段上的位置；
(2)若，当为何值时，最小
19．如图，点是中BC边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示;
(2)若点是的重心，求.
20．如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值．
21．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】在中，，所以.
故选：A
2．A
【分析】由平面向量的线性运算即可.
【详解】
为的中点，
，
.
故选：A.
3．B
【分析】设，得到，结合三点共线，得到方程，求得的值，即可求解.
【详解】设，则,
因为，所以，
即，
因为三点共线，可得，解得，
所以，因为，所以，
所以的长度为.
故选：B.
4．A
【分析】根据向量方向相同，得，进而得到答案.
【详解】因为方向相同，且，
所以，
所以，
故选：A.
5．D
【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.
【详解】如图，
因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
6．C
【分析】结合图形由向量的线性运算可得.
【详解】因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选：C.
7．A
【分析】先求出，再根据可判断A；利用向量共线定理，设，利用向量相等列方程组求解即可判断B；同样，设，求判断C；求出，令，求解来判断D．
【详解】对于A，，
又，所以，则与共线，
又与有公共点B，所以A、B、D三点共线，A正确；
对于B，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，B，C三点不共线，B错误；
对于C，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即B，C，D三点不共线，C错误；
对于D，，
令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，C，D三点不共线，D错误.
故选：A．
8．C
【分析】解法一是由三角形的重心性质易知；解法二是用向量的共线运算和中线向量公式，利用向量三点共线的性质：即三点A、B、C共线等价于且，即可求得结果.
【详解】解法一：因为M，N分别是边BC，AC的中点，可由三角形重心的性质知.
解法二：设，
则，
又由B，D，N三点共线，可知，解得，
所以，故，
故选：C.
9．AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
10．ACD
【分析】对于A，只需证明即可；对于B，我们只需证明，进而说明点并不在射线上；对于C，我们先设的内心为，然后证明和重合；对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可.
【详解】对于A，，即，
则，
所以点是的重心；
对于B，若，则，
所以点在边的反向延长线上，故B错误；
如图对于C，延长到，使，同理，
因为，所以，
以为邻边作平行四边形，所以，则，即，
因为，
同理，
，
所以，故C正确；
如图对于D，设为中点，
，所以，即，
由，所以，所以三点共线，
所以.故D正确.
故选：A C D.
【点睛】关键点点睛：向量之间的加减法运算和内积运算，以及内积关于加法的分配律及数形结合是解决本题的关键.
11．BC
【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解.
【详解】对于A，，是共线的单位向量，则或，A错误；
对于B，若，是相反向量，则，B正确；
对于C，，即，则向量，共线，C正确
对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误.
故选：BC
12．BCD
【分析】由重心的性质及中线的向量表示可判断A，由向量的减法及A判断B，由向量的减法及B可判断C，由数量积的运算法则及相反向量可判断D.
【详解】由题意，知为的重心，
因为F是AB的中点，所以，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
由B选项可知，
，所以，故C正确；
因为，
同理，，
三式相加可得，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】根据向量共线即可求解.
【详解】由，可得,
由于,,三点共线，则,
故，解得，
故答案为：
14．或
【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得.
【详解】由向量共线，故向量可能同向、可能反向，
当向量同向时，由，则，
当向量反向时，由，则.
即可能为或.
故答案为：或.
15．6
【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论.
【详解】设为的重心，
则，
因为，所以，
即在以点为圆心，为半径的圆上面，
设点与坐标原点重合，
则，
当且仅当都在线段上，等号成立，
又，
当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立，
综上所述，的最大值与最小值之和为6.
故答案为：6.
16． 4
【分析】根据共线定理的推论，结合三点共线可得；利用三角形面积公式先求和的面积比，化简后利用基本不等式可得最小值，然后可得与四边形的面积之比的最小值.
【详解】因为D为边的中点，E为的中点，
所以，
又，，所以，
因为三点共线，所以，所以.
若直线将分成与四边形两部分，由图可知，，
记，四边形，的面积分别为，，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取得最小值.
故答案为：4；.
17．(1)或或；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）直接根据定义写出结论；
（2）根据定义结合变换中维数的变化规律证明；
（3）证明变换过程满足交换律、结合律（与实数加法、乘法的交换律、结合律一样），得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论．
【详解】（1），，，
所以或或；
（2）设，，则，，，，，
，，所以，
，，所以，
即，
所以维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量，
这样经过次变换后变成一个数，
所以对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
（3）定义运算#：，首先证明这个运算满足交换律与结合律：
，即运算“#”满足交换律，
又，
，
所以，即运算“#”满足结合律，
所以维可聚向量经过变换后所得可聚数与实施的具体操作过程无关，
因此可作如下操作：
由（1），易得，，，，
原来向量记作，则，再进行4次变换化为一项，
综上可知，的聚数为．
【点睛】难点点睛：本题是综合性很强的问题，解题时需要认真审题，理解新定义，交利用定义来解题．难点是对变换过程中实施运算引入一个符号：#，，证明此运算满足交换律和结合律，从而得出变换后所得聚数与中间具体操作过程无关，从而可利用其中一种简单的变换得出结果．
18．(1)在线段上靠近点的四等分点处
(2)
【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置；
（2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值.
【详解】（1）过作交于，如图，

因为，所以，
则四边形是平行四边形，故，即是的中点，
所以
因为，所以，
所以
又因为，
所以，解得，
所以在线段上靠近点的四等分点处；
（2）因为，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以当，即时，取得最小值.
所以的最小值为，此时.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形中线的性质和重心的性质求解；
（2）根据三角形重心的性质结合题意求解即可》
【详解】（1）因为点是中BC边的中点，点是的重心，
所以.
（2）因为点是的重心且是BC边的中点，所以，
又，所以，
所以.
20．
【分析】根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解.
【详解】设，则，，
又，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
21．(1)证明见解析
(2)12
【详解】（1）证明：由已知，得＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2.
因为＝2e1－8e2，所以.
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
（2）由（1）可知＝e1－4e2.因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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