资源简介 6.2 向量基本定理与向量的坐标同步练习学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知向量,,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.2.如果表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量不能作为一个基底的是( )A., B., C., D.,3.已知向量不共线,则向量与共线时,实数( )A. B. C. D.4.如图,已知点是的重心,过点作直线分别与,两边交于,两点,设,,则的最小值为( ) A.9 B.4 C.3 D.5.如图,在中,,的平分线交于点,若,且,则的长为( )A. B. C. D.6.已知,,则点的坐标是( )A. B. C. D.7.设直线的方向向量为,的法向量为,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知向量,,则与( )A.垂直 B.平行且同向 C.平行且反向 D.不垂直也不平行二、多选题9.如图,已知长方形中,,则( )A.的最小值为2B.当时,与的夹角余弦值为C.当时,D.对任意的10.在平行四边形中,与交于点为的中点,与交于点,延长交于,则 ( )A.为三角形的外心 B.C. D.11.在中,,D为线段AB上靠近A端的三等分点,E为线段CD的中点,则下列结论正确的有( )A. B.与的夹角的余弦值为C.的面积为6 D.12.已知向量,若在上的投影向量为,则( )A. B.C. D.与的夹角为三、填空题13.四边形ABCD中,,且,若,则 .14.在等腰梯形中,,,,,则 .(用向量,表示)15.已知平面向量,,若与共线,则实数 .16.向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为 .四、解答题17.已知点G为三条中线的交点.(1)求证:(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合),求证:(3)过G作直线与AB,AC两条边分别交于点M,N,设,,求的最小值.18.在平面直角坐标系中,为坐标原点,.(1)求的坐标;(2)已知,且,求的值.19.平面内给出三个向量,求解下列问题:(1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标;(2)设向量与向量夹角为,求的值;(3)若向量与向量的夹角为锐角,求实数的取值范围.20.已知是平面内两个不共线的非零向量,,,,且三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若,求的坐标;(3)已知点,在(2)的条件下,若四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点的坐标.21.如图,在菱形中,,.(1)若,求的值;(2)若,,求.(3)若菱形的边长为6,求的取值范围.第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页参考答案:1.C【分析】根据向量坐标进行数量积、共线、垂直和模长计算即可.【详解】对于A,,故A错误;对于B,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.故选:C.2.C【分析】由基底的定义结合向量共线定理判断即可.【详解】因为表示平面内所有向量的一个基底,即与不共线,对于A:显然不存在实数使得,所以与不共线,故可以作为一组基底;对于B:若,则,显然方程无解,所以与不共线,故可以作为一组基底;对于C:因为,所以与共线,故不能作为一组基底;对于D:若,则,显然方程无解,所以与不共线,故可以作为一组基底.故选:C3.B【分析】根据给定条件,利用共线向量定理,列式计算即得.【详解】由向量不共线,得向量,由向量与共线,得,于是,所以.故选:B4.C【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.【详解】由点是的重心,,,故,由、、三点共线,故,则,当且仅当,即,时,等号成立.故选:C.5.A【分析】先由三点共线得到,再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系,最后计算结果即可.【详解】因为三点共线,且,所以,过作的平行线,分别交于,则,又,的平分线交于点,所以,为正三角形,所以,故选:A.6.D【分析】利用向量的坐标表示求解即可.【详解】∵,∴,解得,∴点的坐标是.故选:D.7.A【分析】利用向量的垂直关系,结合充分、必要条件即可求解【详解】设直线的方向向量为,的法向量为,则当时,,,所以;当,则,解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A.8.C【分析】根据平面向量的坐标关系得出,由此可得出结论.【详解】向量,,,因此,与平行且反向.故选:C.【点睛】本题考查平面向量共线的判断,属于基础题.9.AC【分析】根据给定条件,以为坐标原点建立平面直角坐标系,求出的坐标,利用向量的坐标运算逐项计算判断即得.【详解】以为坐标原点,分别以向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系,则.对于A,显然,则,当,即时,取得最小值2,A正确;对于B,当时,与的夹角余弦值为,B错误;对于C,当时,,而,C正确;对于D,,当时,取得最小值,当或1时,的值为1,所以对任意的,D错误.故选:AC10.BCD【分析】由与相似,为的中点,可知,所以点为三角形的重心,判断出A错误;由重心得到为的中点,所以,判断出B正确;由平面向量的基本定理判断出C,D正确.【详解】在三角形中,为的中点,又与相似,可得:,故点为三角形的重心,故A错误;由于点为三角形的重心,延长交于,则为的中点,所以,故B正确;,,故C正确;,故D正确.故选:BCD.11.AD【分析】利用向量线性运算直接判断A;建立坐标系,利用向量夹角的坐标运算求解判断B;计算的面积判断C;由向量数量积坐标运算计算判断D.【详解】对于A,依题意,, A正确;以A为坐标原点,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则,对于B,,则,即与夹角的余弦值为,B错误;对于C,的面积,C错误;对于D,,则,D正确.故选:AD 12.ACD【分析】根据投影向量的公式求出的值,再根据向量坐标运算逐项判断即可.【详解】对于A,因为在上的投影向量为,即,所以,即,解得,故A正确;对于B,,所以,故B错误;对于C,,所以,故C正确;对于D,,所以与的夹角为,故D正确.故选:ACD.13.2【分析】由题设可得且,利用相似三角形和向量的线性运算将用与的另式表达,根据平面向量基本定理列出方程求解即得.【详解】如图,由可得且,易得,则有于是, 因,故得由,解得:.故答案为:2.14.【分析】如图,由,即可得解.【详解】如图,.故答案为:15.【分析】先计算出两向量的坐标表示和,再根据它们共线解出的值.【详解】由题意可得,因为与共线,所以,解得.故答案为:.16..【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开,对照系数列出方程组求解即得.【详解】依题意, ①,选择平面的基底为时,不妨设,则 ②,将① 式与②式对照即得:,解得即向量在基底下的坐标为.故答案为:.17.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【分析】(1)根据给定条件,利用向量线性运算及共线向量定理的推论推理即得.(2)利用(1)的结论,结合向量的减法法则推理即得.(3)由(1)的信息,结合共线向量定理的推论求得,再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】(1)令分别为的边上的中线,则,由点在上,得,显然,则,即,又点共线,于是,解得,则,因此,所以. (2)由(1)知,,而点为所在平面内任意一点(不与点G重合),因此,即,所以.(3)由(1)知,,而,,因此,又点共线,则,即,于是,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.18.(1)或(2)【分析】(1)根据两个向量平行,向量的模长公式,列出方程组求解;(2)先判断出三点共线,然后根据(1)中的结果进行分类讨论求解.【详解】(1)设,由可知,,又,,由可得,即,于是,解得或,即或(2)根据三角形的三边关系可知,若三点不共线,则和条件矛盾,故三点共线,且在射线或上.,由(1)知,当时,根据三点共线可得,,解得,此时,在线段上,不符题意;当时,根据三点共线可得,,解得,此时,在射线上,符合题意.综上,19.(1)(2)(3)且【分析】(1)根据投影向量坐标公式计算即可;(2)根据向量夹角坐标公式计算即可;(3)根据与的夹角为锐角,得到,且与不同向共线,然后列不等式求解即可.【详解】(1)向量在向量方向上的投影向量为;(2)由,得 ,所以;(3)若向量与向量的夹角为锐角,则,,得,若向量,则,得,所以且20.(1)(2)(3)【分析】(1)根据三点共线,得,即可列等量关系求解,(2)根据坐标运算即可求解,(3)根据向量相等即可列方程求解.【详解】(1).因为三点共线,所以存在实数,使得,即,得.因为是平面内两个不共线的非零向量,所以解得(2)(3)因为四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以.设,则,因为,所以,解得,即点的坐标为.21.(1)(2)(3).【分析】(1)利用已知条件求出,然后求解,即可.(2)利用已知向量,表示数量积的向量,然后求解即可.(3)利用向量的数量积可得,结合三角函数的有界性,求解即可.【详解】(1)因为,,所以,又,所以,,故.(2),为菱形,,即.(3),,的取值范围:.答案第1页,共2页答案第1页,共2页 展开更多...... 收起↑ 资源预览