资源简介 第3课时——二元一次方程组的应用知识点一:列二元一次方程组解应用题:1.基本步骤:①审题——仔细审题,找出题目中的等量关系②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数③列方程:根据等量关系与未知数列出二元一次方程组④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况,然后作答2.基本等量关系:①行程问题基本等量关系:路程=时间×速度;时间=路程÷速度;速度=路程÷时间顺行:顺行速度=自身速度+风速(水速);逆行速度=自身速度-风速(水速)②工程问题:工作总量=工作时间×工作效率注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系③商品销售问题:利润=售价-成本;售价=标价×0.1折扣;利润率=利润÷进价×100%3.常见的建立方程的方法:①基本等量关系建立方程②同一个量的两种不同表达式相等【类型一:由实际问题抽象出二元一次方程(组)】1.哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁,哥哥对弟弟说:“4年后,我的年龄是你的年龄的2倍.”求弟弟、哥哥今年的年龄,设弟弟,哥哥今年的年龄分别为x岁,y岁,根据题意可列的一个方程为,则另一个方程为( )A. B. C. D.2.《孙子算经》中有这样一个数学问题:今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,木长多少尺?小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题,他已列出一个方程是,则符合题意的另一个方程是( )A. B.C. D.3.为了迎接杭州亚运会的召开,某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛.竞赛共有20道题,规定:每答对一道题得5分,每答错一道题扣3分,不答的题得1分.已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分.设杭杭同学答对了x道题,答错了y道题,则有( )A. B. C. D.4.六十载春华秋实,一甲子桃李芬芳.2023年10月,重庆外国语学校即将迎来六十华诞,学校决定面向全校学生征集60周年校庆标识、吉祥物设计方案.初一年级某班准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学,若每3位同学奖励一盒巧克力,则少2盒;若每4位同学奖励一盒巧克力,则又多了2盒,设该班投稿的同学有x人,巧克力有y盒,依题意得方程组( )A. B.C. D.5.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗:“醇酒一瓶醉三客,薄酒三瓶醉一人,共同饮了一十九,三十三客醉颜生,试问高明能算士,几多醇酒几多醇?”这首诗是说:“好酒一瓶,可以醉倒3位客人;薄酒三瓶,可以醉倒1位客人,如今33位客人醉倒了,他们总共饮19瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是多少瓶?”设有好酒x瓶,薄酒y瓶.根据题意,可列方程组为( )A. B. C. D.6.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容如下:九十七文钱,甜果苦果买九十九个,甜果一个三文钱,苦果三个一文钱,试问甜苦果几个,又问各该几个钱?若设买甜果个,买苦果个,则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是( )A. B. C. D.7.某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元,经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元,求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?设原计划销售运动衣套,原计划每套运动衣的利润是元,可列方程组为( )A. B.C. D.8.由于今年重庆受到洪水袭击,造成南滨路水电站损害,重庆市政府决定对南滨路水电站水库进行加固.现有5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料,8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料,设每辆板车每次可运x吨货,每辆卡车每次能运y吨货,则可列方程组( )A. B.C. D.9.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有60张正方形纸板和140张长方形纸板,如果做两种纸盒若干个,恰好将纸板用完,设做x个竖式无盖纸盒,y个横式无盖纸盒,则可列方程组( )A. B. C. D.【类型二:二元一次方程组的应用】10.某医药超市销售两种品牌的消毒液,购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元;购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元.(1)求这两种品牌消毒液的单价;(2)某学校为了给教室进行充分消杀,准备花元购进两种品牌的消毒液,且要求品牌的消毒液的数量比品牌多,请你给出有哪几种购买方案?11.某校艺术节,计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计,并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件,每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表:批发价(元) 零售价(元)红色文化衫 25 45蓝色文化衫 20 35(1)学校购进红、蓝文化衫各几件 (2)通过手绘设计后全部售出,求该校这次义卖活动所获利润.12.商店有甲、乙两种型号的足球,已知购买2个甲型号足球和5个乙型号足球共需500元,购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元.(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元?(2)某学校在该店一次性购买甲、乙型号足球共100个,总费用为5900元,这所学校购买了多少个甲型号足球?13.某书店购进甲、乙两种图书共本,甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元,甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元.(1)若书店恰好用了元购进这本图书,求购进的甲、乙图书各多少本?(2)在销售时,该书店考虑到要迅速将图书售完,于是甲图书打8折,乙图书也打折进行促销,为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利元,请问乙图书应打几折出售 14.小明和小亮两人各带20元钱同时到一家文具店购买同一型号的中性笔和笔记本,这种中性笔每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元.小明要买3支中性笔和4本笔记本,需花费19元;小亮要买7支中性笔和3本笔记本,需花费19元.(1)求笔记本的单价和单独购买一支中性笔的价格;(2)小明和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品,他们利用所带的钱,能否做到既买全了想要的文具,又都能买到一件小工艺品?请通过计算说明.15.列一元一次方程(组)解应用题.入秋后,某地发生了洪灾,红星集团及时为灾区购进A,B两种抗洪物资80吨,共用去200万元,A种物资每吨万元,B种物资每吨万元.(1)求A,B两种物资各购进了多少吨?(2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资 一次性运往灾区,每辆大货车可运8吨A种物资 和2吨B种物资,每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资,问租用的大、小货车各多少辆?16.正值春夏换季的时节,某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件.(1)商场本次购进了衬衫和短袖各多少件?(2)若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%,将短袖在成本的基础上提价20%销售.在销售过程中,有5件衬衫因损坏无法销售,为了减少库存积压,该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售,每件衬衫降价多少元,该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标.17.一条笔直的铁路线上依次有A,B,C三个车站(B在A,C之间),A,B两站相距600千米,B,C两站相距420千米.甲,乙两列车分别从A,C两站出发,相向而行,甲列车速度为260千米/时,乙列车速度为140千米/时.(1)若甲,乙两列车同时出发,经过 小时相遇;(2)若甲,乙两列车同时出发,当乙列车到达B站时,甲列车是否到达C站?此时甲,乙两列车相距多远?(3)若乙列车先出发1小时,求甲列车经过多少小时与乙列车相距280千米.18.新新商场第1次用39万元购进A,B两种商品.销售完后获得利润6万元(总利润=单件利润×销售量),它们的进价和售价如表: 商品 价格 A B进价(元/件) 1200 1000售价(元/件) 1350 1200(1)该商场第1次购进A,B两种商品各多少件?(2)商场第2次以原价购进A,B两种商品,购进A商品的件数不变,而购进B商品的件数是第1次的2倍,A商品按原价销售,而B商品打折销售,若两种商品销售完毕,要使得第2次经营活动获得的利润等于36 000元,则B种商品是打几折销售的?知识点二:解三元一次方程组:1. 三元一次方程的定义:方程组中含有3个未知数的方程组。2.解三元一次方程组:利用带入消元或者加减消元的方法解三元一次方程组即可。【类型一:解三元一次方程组】19.解方程组:.20.解三元一次方程组21.设线段x、y、z满足,求x、y、z的值.试卷第1页,共3页试卷第1页,共3页参考答案:1.A【分析】根据哥哥对弟弟说:“4年后,我的年龄是你的年龄的2倍.”可以列出另一个方程,本题得以解决.【详解】解:由题意可得,,故选:A.【点睛】本题主要考查了二元一次方程的实际应用,解题的关键是正确理解题意,根据题意找出等量关系列出方程.2.A【分析】找到题中的等量关系,据此可列方程组求解.【详解】解:设绳长尺,木长为尺,依题意得:,故选:A.【点睛】此题考查了二元一次方程组问题,关键是弄清题意,找准等量关系,列对方程组,求准解.3.A【分析】根据“每答对一道题得+5分,每答错一道题扣3分,不答的题得1分.已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分”列出方程.【详解】解:依题意得:,即.故选:A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程.关键是读懂题意,根据题目中的数量关系,列出方程.4.B【分析】设该班投稿的同学有x人,巧克力有y盒,若每3位同学奖励一盒巧克力,则人数是巧克力的3倍,故有,若每4位同学奖励一盒巧克力,则人数是巧克力的4倍,故有,列方程组即可.【详解】解:设该班投稿的同学有x人,巧克力有y盒,依题意得:故选:B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用;解题的关键是依据等量关系正确列方程.5.A【分析】根据题意,列方程求解即可.【详解】解:设有好酒x瓶,薄酒y瓶,根据“总共饮19瓶酒”可得:根据“好酒一瓶,可以醉倒3位客人;薄酒三瓶,可以醉倒1位客人,如今33位客人醉倒了”,可得:综上:,故选:A【点睛】此题考查了列二元一次方程组,解题的关键是理解题意,正确列出二元一次方程组.6.C【分析】若设买甜果个,买苦果个,甜果苦果买九十九个,可列方程为,甜果一个三文钱,苦果三个一文钱,九十七文钱,可列方程为,由此即可求解.【详解】解:设买甜果个,买苦果个,甜果苦果买九十九个,甜果一个三文钱,苦果三个一文钱,九十七文钱,∴列方程组得,故选:.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用,理解题目中的数量关系列方程是解题的关键.7.B【分析】本题的等量关系为:计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元;实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利元;那么可列出方程组求解.【详解】解:设原计划销售运动衣x套,每套运动衣的原计划利润为y元. 根据题意得:故选B.【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用,理解题意,确定相等关系列出方程组是解本题的关键.8.B【分析】根据5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料,8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.【详解】解:设每辆板车每次可运x吨货,每辆卡车每次能运y吨货,依题意得:.故选:B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找到等量关系列出方程组是解题的关键.9.B【分析】设做x个竖式无盖纸盒,y个横式无盖纸盒,根据60张正方形纸板和140张长方形纸板建立等式.【详解】解:设做x个竖式无盖纸盒,y个横式无盖纸盒,根据竖式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板,横式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板,则,故选:B.【点睛】本题考查了列二元一次方程组,解题的关键是理清楚量与量之间的等量关系.10.(1)品牌消毒液的单价是元,品牌消毒液的单价是元(2)购买方案有两种,分别是:品牌消毒液瓶,购买品牌消毒液瓶;品牌消毒液瓶,购买品牌消毒液瓶【分析】(1)购买瓶品牌和瓶品牌共需元;购买瓶品牌和瓶品牌共需元,设品牌的单价是元,品牌的单价是元,根据数量关系列方程,即可求解;(2)由(1)中的单价可知,设购买品牌消毒液瓶,购买品牌消毒液瓶,且,列出方程,通过试值的方法即可求解.【详解】(1)解:设品牌消毒液的单价是元,品牌消毒液的单价是元,∴,解方程组得,,∴品牌消毒液的单价是元,品牌消毒液的单价是元.(2)解:设购买品牌消毒液瓶,购买品牌消毒液瓶,且,∴,即,经过计算,当的值取是为分数,不满足条件,∴当时,,满足条件;当时,,不满足条件;当时,,不满足条件;当时,,不满足条件;…当时,,满足条件;…当时,,则,不满足条件;综上所示,购买方案有两种,分别是品牌消毒液瓶,购买品牌消毒液瓶;品牌消毒液瓶,购买品牌消毒液瓶.【点睛】本题主要考查二元一次方程组在实际中的运用,理解题目中的数量关系,列方程组,掌握解方程组,根据实际情况考虑未知数的取值是解题的关键.11.(1)学校购进红文化衫80件,蓝文化衫140件(2)这次义卖活动共获得元利润【分析】(1)设学校购进红文化衫x件,蓝文化衫y件,根据两种文化衫220件共花费4800元,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)根据总利润=每件利润×数量,即可求出结论.【详解】(1)解:设学校购进红文化衫x件,蓝文化衫y件,依题意,得:,解得:.答:学校购进红文化衫80件,蓝文化衫140件;(2)(元).答:该校这次义卖活动共获得元利润.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.12.(1)甲型号足球的价格为50元、乙型号足球的价格为80元;(2)这所学校购买了70个甲型号足球.【分析】(1)设甲型号足球的价格为x元,乙型号的足球的价格为y元,根据“购买2个甲型号足球和5个乙型号足球共需500元,购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设这所学校买了m个甲型号足球,买了n个乙型号足球,根据该学校一次性购买甲、乙型号足球共100个且共花费5900元,即可得出关于m,n的二元一次方程组,解之即可得出结论.【详解】(1)解:设甲型号足球的价格为x元,乙型号的足球的价格为y元,依题意得:,解得:.答:甲型号足球的价格为50元、乙型号足球的价格为80元;(2)解:设这所学校买了m个甲型号足球,买了n个乙型号足球,依题意得:,解得:.答:这所学校购买了70个甲型号足球.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.13.(1)购进甲图书本,乙图书本(2)九【分析】(1)根据数量与总进价列出二元一次方程组求解即可;(2)根据总利润列出一元一次方程求解即可.【详解】(1)设购进甲、乙图书各x本、y本,∴,解得:,∴购进甲图书本,乙图书本.(2)设乙图书应打a折出售,,∴∴乙图书应打九折出售.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解题关键是找到相等关系,列出方程或方程组.14.(1)单独购买一支中性笔的价格是元,笔记本的单价是元(2)能,说明见解析【分析】(1)根据题意,设单独购买一支中性笔的价格是元,笔记本的单价是元,依题意列出方程组,解方程组即可得出结果;(2)计算出两人合在一起买的费用,比较即可得出结论.【详解】(1)解:设单独购买一支中性笔的价格是元,笔记本的单价是元,根据题意,可得:,解得:,∴单独购买一支中性笔的价格是元,笔记本的单价是元;(2)解:能,说明如下:∵若两人各自购买,则要买到想买的文具,小明要花费19元,小亮花费19元,因每人有20元,又∵一件小工艺品的单价为1.5元,∴两人都将无法再买小工艺品;∵若两人合在一起买文具,则买文具所需费用为:(元),又∵两人共有40元,(元),(元),,∴两人应该合在一起买文具,才能既买全了想要的文具,又都能买到一件小工艺品.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,准确找到题目中的等量关系、列出方程是解本题的关键.15.(1)购进A种物资60吨,则购进B种物资20吨(2)租用大货车5辆,租用大货车4辆【分析】(1)根据A,B两种抗洪物资80吨,共用去200万元,找出等量关系式列方程即可解得.(2)根据题意列出二元一次方程组即可解得.【详解】(1)解:设购进A种物资x吨,则购进B种物资吨,根据题意得,解得,则,即购进A种物资60吨,则购进B种物资20吨,答:购进A种物资60吨,则购进B种物资20吨;(2)设租用大货车m辆,租用大货车n辆,根据题意得,解得,即租用大货车5辆,租用大货车4辆.答:租用大货车5辆,租用大货车4辆.【点睛】此题考查了一元一次方程和二元一次方程的实际应用,解题的关键是找出等量关系式列出方程.16.(1)衬衫60件,短袖80件(2)降价15元【分析】(1)设商场本次购进了衬衫x件,短袖y件, 利用总价=单价×数量,结合商场共购进了某品牌衬衫和短袖共140件,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)每件衬衫降价元,根据预期利润=衬衫利润-衬衫降价亏损-衬衫损坏+短袖利润,即可列出关于的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】(1)解:设商场本次购进了衬衫x件,短袖y件,依题意的:,解得:.答:商场本次购进了衬衫60件,短袖80件(2)以180元的价格销售的衬衫:(件),降价销售的衬衫:(件),销售短袖的利润:(元),设:每件衬衫降价元,依题意得:解得:答:每件衬衫降价15元,该商场销售完这批村衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标.【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.17.(1)(2)当乙列车到达B站时,甲列车未到达C站,此时甲,乙两列车相距180千米(3)甲列车经过1.5小时或2.9小时与乙列车相距280千米【分析】(1)设经过x小时相遇,根据题意列出一元一次方程,解方程即可得出答案;(2)先求出乙列车到达B站所用的时间,再求出此时甲列车行驶的路程,即可得出答案;(3)设甲列车经过m小时与乙列车相距280千米,分相遇前距280千米和相遇后距280千米,两种情况列出两个一元一次方程,解方程即可得出答案.【详解】(1)解:设经过x小时相遇,由题意得:,解得:,故答案为:2.55;(2)(小时),,(千米),答:当乙列车到达B站时,甲列车未到达C站,此时甲,乙两列车相距180千米;(3)设甲列车经过m小时与乙列车相距280千米,由题意得:或,解得:或2.9,答:甲列车经过1.5小时或2.9小时与乙列车相距280千米.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,根据题意列出一元一次方程是解决问题的关键.18.(1)A商品200件,B商品150件;(2)8.5折【分析】(1)设该商场第1次购进A商品x件,购进B商品y件,根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品.销售完后获得利润6万元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设B种商品是打m折销售,根据第2次经营活动获得利润等于36000元,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】解:(1)设该商场第1次购进A商品x件,购进B商品y件,依题意得:解得:.答:该商场第1次购进A商品200件,B商品150件.(2)设B种商品是打m折销售,依题意得:解得:m=8.5.答:B种商品是打8.5折销售的.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.19.【分析】①②得:④,把③代入④求出x,把代入③求出y,再把,代入①求出z即可.【详解】解:,①②得:④,把③代入④得:,解得:,把代入③得:,把,代入①得:,解得:,原方程组的解为:.【点睛】此题考查了解三元一次方程组,正确掌握三元一次方程组的解法是解题的关键.20..【分析】先用①+②得x-y=5,再用②-③,得x+2y=11,两方程相减求得y的值,把y的值代入x-y=5求得x的值,把x,y的值代入③可求得z的值.【详解】①+②,得3x-3y=15,即x-y=5,④②-③,得x+2y=11,⑤⑤-④,得3y=6,所以y=2,把y=2代入④,得x=7.再把x=7,y=2代入③,得z=-2.所以方程组的解为【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法.通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.解题之前先观察方程组中的方程的系数特点,认准易消的未知数,消去未知数,组成其余两个未知数的二元一次方程组.21..【分析】设===k,从而可得x+y=2k,z+x=3k,y+z=4k,进而可得x+y+z=k,然后根据x+y+z=18,求出k的值,从而求出x+y=8,z+x=12,y+z=16,最后进行计算即可解答.【详解】解:设===k,∴x+y=2k,z+x=3k,y+z=4k,∴x+y+z+x+y+z=9k,∴2x+2y+2z=9k,∴x+y+z=k,∵x+y+z=18,∴k=18,∴k=4,∴x+y=8,z+x=12,y+z=16,∴z=10,y=6,x=2,∴原方程组的解为:.【点睛】本题考查解三元一次方程组,解题的关键是令===k,并求出k值.答案第1页,共2页答案第1页,共2页 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