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第2课时——解一元一次不等式（组）
知识点一：一元一次不等式：
1．一元一次不等式的概念：
含有 1 个未知数，未知数的次数 1 的不等式，叫做一元一次不等式．
判断一元一次不等式：
①只有一个未知数．
②未知数项系数不能为 0 ．
③未知数次数一定为 1 ．
【类型一：判断一元一次不等式】
1．下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列式子①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【类型二：根据一元一次不等式的定义求值】
4．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
5．若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1
6．若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．当 时，不等式是关于的一元一次不等式．
8．若关于的一元一次不等式，则m的值为 ．
知识点二：解一元一次不等式组：
解一元一次不等式的步骤：
第一步：去分母——不等式左右两边同时乘分母的 最小公倍数 ．
第二步：去括号．
第三步：移项．
第四步：合并．
第五步：系数化为1．两边同时除以系数或乘以 系数的倒数 ．若系数为正数，则不等号方向不变 ，若系数为负数，则不等号 方向改变 ．
【类型一：解一元一次不等式】
9．解不等式的下列过程中错误的是（ ）
A．去分母得 B．去括号得
C．移项，合并同类项得 D．系数化为1，得
10．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
11．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
12．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2) ．
13．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来
(1)﹣x+19≥2（x+5）
(2)
知识点三：一元一次不等式组：
一元一次不等式组的定义：
几个含有 同一个 未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
注意：一元一次不等式组中可以有多个一元一次不等式，但是只能有一个未知数．
【类型一：判断一元一次不等式组】
14．下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　)
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点四：解一元一次不等式组：
解一元一次不等式组的步骤：
求不等式组的所有不等式的解集的 公共部分 即为不等式组的解集．
不等式组解集的情况：
①，若，则不等式的解集为 ；若，则不等式的解集为 ．简称同大取大．
②，若，则不等式的解集为 ；若，则不等式的解集为 ．简称同小取小．
③，若，则不等式的解集为 ．简称大小小大中间找．若，则不等式组 无解．简称大大小小无解答．
【类型一：解不等式组】
17．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上．
18．解不等式组并把解在数轴上表示出来．
19．解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集．
20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．解下列不等式组并在数轴上表示它的解集．
．
【类型二：根据不等式组的解的情况求值】
22．已知不等式组无解，则的取值范围为 ．
23．如果一元一次不等式组的解集为．则a的取值范围是 ．
24．若不等式组无解，则m的值可能（ ）
A．7 B．6 C．3 D．5
25．已知不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B．2021 C．1 D．
26．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
【类型一：不等式（组）的整数解】
27．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．不等式的非负整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．不等式组的所有整数解的和为 ．
31．解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和．
【类型一：根据不等式（组）的整数解求值】
32．已知关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4．则a的取值范围是 ．
33．已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
34．已知关于x的不等式的正整数解恰好为1，2，3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A． B． C． D．
36．若关于x的不等式组有解且至多有个整数解，且多项式能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
37．若关于的不等式组只有个正整数解，则整数的值不可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
38．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式组恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．-27 B．-29 C．-42 D．-45
39．若关于x的一元一次不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．23 B．26 C．29 D．39
40．若整数使得关于、的方程的解为正整数，且关于的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解： A、3x>7中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；
B、x 2C、5+4>8中不含有未知数，故本选项错误；
D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，理解不等式的定义是解题关键．
2．B
【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，不等号左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】A、不满足“未知数的次数是1”的条件，所以不是一元一次不等式，故A选项不符合题意；
B、是一元一次不等式，故B选项符合题意；
C、不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意；
D、不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故D选项不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
3．B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．
【详解】解：题目中是一元一次不等式的有：
；，共两个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键．
4．B
【分析】含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这样的不等式是一元一次不等式，根据定义列方程与不等式，从而可得答案．
【详解】解： 是关于x的一元一次不等式，
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，掌握“一元一次不等式的定义”是解本题的关键．
5．B
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵，
∴且，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
6．C
【分析】根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴，
解得m=-1，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的定义并应用是解题的关键．
7．－2
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵不等式是关于的一元一次不等式，
∴k 2≠0，，
解得：k＝－2，
故答案为：－2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式．
8．2
【分析】根据一元一次方程的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，|m-3|=1且m-4≠0．
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
9．D
【详解】，去分母得；去括号得；移项，合并同类项得；系数化为1，得，故选D.
10．，数轴见解析
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
在数轴上表示为：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
11．；数轴见解析
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示其解集即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，
将解集表示在数轴上，如图，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的顺序，依次运算；
（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的顺序，依次运算．
【详解】（1）解：去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
解集在数轴上表示为：
（2）解：去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法与在数轴上表示解析，注意实心表示能取等号，空心表示不能取等号，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键，注意系数化为1时，不等号开口的变化是解题的易错点．
13．(1)
(2)
【分析】(1)先去括号，移项合并同类项，最后系数化为1得到不等式的解集，注意当系数是负数时不等号的方向要改变，最后在数轴上把解集表示出来即可，注意不等号有等于号要画出实心圆点．
(2)先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1得到不等式的解集，注意当系数是负数时不等号的方向要改变，最后在数轴上把解集表示出来即可，注意不等号没有等于号要画出空心圆点．
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，
（2）去分母，得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则和在数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键．
14．A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
15．B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
16．B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
17．，图见解析
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：．
由②得，，
∴，
解得：．
把两个不等式的解表示在数轴上，如图．
∴原不等式组的解是．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
18．不等式组的解集为﹣4＜x＜2，不等式组的解集表示在数轴上见解析.
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集
【详解】解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，
解不等式（x+8）﹣2＞0，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.
19．，数轴见解析
【分析】根据解不等式组的一般步骤，先解出①式解集，再解出②式的解集，①式和②式的解集的公共部分就是原不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查的是解不等式组，利用数轴找出两个不等式的公共部分是解题的关键．
20．－1≤x＜2；数轴见解析
【分析】根据不等式性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：
把它们的解集在数轴上表示如下：
∴原不等式组的解集为
【点睛】本题考查了解已于一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集，也考查了用数轴表示不等式的解集．
21．不等式组的解集为，在数轴上表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．
【分析】求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．
【详解】解：不等式组无解，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．
23．
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集求参数，掌握求不等式组的解集是解题的关键．
24．C
【分析】解不等式组可得x≥2， ，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解．
【详解】解： ，
由①得x≥2，
由②得，
∵不等式组无解，
∴，
∴m≤4，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
25．A
【分析】表示出不等式组的解集，由已知解集确定出与的值，代入计算即可求出的值．
【详解】解：不等式组的解集为，
，，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，代数式求值，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
26．D
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
【详解】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0.
故选D.
【点睛】本题考查了不等式组的解集的确定.
27．C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
∴该不等式的正整数解为：3，2，1，共有3个正整数解，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
28．B
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的最大正整数解即可．
【详解】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则正整数解有2，1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
29．D
【分析】先求解一元一次不等式，再得出非负整数解即可；
【详解】解：解不等式得，，
不等式的非负整数解是0，1，2，3，一共4个．
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，准确理解非负整数解的意义是解题的关键．
30．0
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解，再取它们的公共部分，最后取正整数解即可．
【详解】解：
,
,
,
符合条件的整数解：,
故答案为0．
【点睛】本题主要考查求不等式组的特殊解，熟练掌握解不等式组的基本步骤，求出不等式组的解，是解题的关键．
31．，
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出所有整数求和．
【详解】，
解①得：
解②得：
∴
∴x的整数解为，
和为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
32．##
【分析】首先解不等式，再根据不等式的正整数解，可得，据此即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
∵不等式的正整数解是1，2，3，4，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，熟练掌握和运用根据不等式的解集求参数的方法是解决本题的关键．
33．A
【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根据不等式只有三个正整数解，可得到一个关于a的不等式，最后求得a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式，解得： ，
不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，
根据题意得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，正确求解不等式得到解集是解答本题的关键．
34．B
【分析】先解不等式，再根据不等式的正整数解恰好为1，2，3，得到．
【详解】解：解不等式得，
∵不等式的正整数解恰好为1，2，3，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了已知不等式的整数解求参数，正确理解整数解得到不等式是解题的关键．
35．B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
36．C
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有3个整数解，即可求得m的取值范围，再根据多项式能在有理数范围内因式分解，可知，然后即可写出符合条件的m的值．
【详解】解：由不等式组
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有解
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组至多有个整数解，
，
解得，
∴整数的值为，，
又多项式能在有理数范围内因式分解，
当时，，不合题意，
当时，，
当时，，
符合条件的整数的值为，，
即符合条件的整数的个数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，运用平方差公式因式分解，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
37．A
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中只有个正整数解，确定出的范围即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组只有个正整数解，
不等式组的正整数解为、、，
，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
38．C
【分析】首先表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定a的取值范围为，接着表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有三个偶数解，得到a的值相加即可．
【详解】解：，
去分母得：，
得：，
∵关于x的方程有非负数解，
∴，
∴，
∵不等式组整理得：
，
解得：，
由不等式组恰好有三个偶数解，得到偶数解为2，0，-2，
∴，
∴，
而，
∴，
∴满足a的值有-15，-14，-13，
则符合条件的所有整数a的和是
．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解题关键．
39．D
【分析】解不等式组得到，再由最多3个整数解可推出m的取值范围；解方程可得，再由解为非负整数可推出m的取值范围，综合两个取值范围即可确定m的取值为10或13或16，相加即可得到答案．
【详解】解关于x的不等式组，得：，
该不等式组有解且至多3个整数解，
，解得：
解关于y的方程，得，
该方程的解为非负整数
或或
则符合条件的所有整数m的和为：．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式组与一元一次方程的求解，熟练掌握各自的解法，根据题目设定的要求列出关于参数m的不等式并求解，是本题的解题关键．
40．C
【分析】求二元一次方程组的解，得到整数的取值范围，再解不等式组，根据不等式组的解集判断整数的取值范围，从而得出的取值，最后根据题意，即可求解．
【详解】解：，
解方程组得，，
∴，
∵方程的解为正整数，
∴，即，
又∵，
∴解不等式组上式得，；不等式组下式得，，
∴不等式组的解集是：，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴，，，，即，
∴，
∴整数的值是，，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
∴整数的值是， ，
故选：．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组与不等式组的综合应用，掌握解二元一次方程组的方法，以及解不等式组的方法，判断不等式组的解集从而确定参数的值是解题的关键．
答案第1页，共2页
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