资源简介

第1课时—平方根与立方根
知识点一：算数平方根
1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为．所以就表示的算术平方根．其中叫做根号，叫做被开方数．规定0的算术平方根是 0 ．
2.算术平方根的性质：①算术平方根的双重非负性：只有非负数才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 非负数．所以算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0，即≥ 0，≥ 0．
3.非负性的应用：①几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0．即若，则0．
②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身．即．
③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．再根据这个数的正负去绝对值符号．即．
4.求算术平方根：求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
【类型一：求一个数的算术平方根】
1．2的算术平方根是（）
A．4 B．±4 C． D．
2．4的算术平方根是（ ）．
A．16 B． C． D．2
3．(﹣9)2的算术平方根是（　　）
A．9 B．3 C．﹣9 D．±9
4．的值等于（ ）
A．3 B． C． D．5
5．的算术平方根是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
6．的算术平方根是（　　）
A．±6 B．6 C． D．
【类型二：算术平方根的非负性应用】
7．若，则3x+2y的值等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13
8．若a，b为实数，且满足，则的值为 ．
9．若，则的值是 ．
10．已知，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．-4 D．4
【类型三：算术平方根性质】
11．计算的结果是（ ）
A．2022 B． C． D．
12．下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ）
A． B． C． D．
13．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．化简： ．
知识点二：平方根
1. 平方根的定义：如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．表示为．
2. 平方根的性质
①正数的平方根有2个，分别是与，他们互为相反数．
②规定0的平方根是0．所以0的平方根只有一个，就是它本身．
③负数没有平方根．
3. 求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算．即，则，可表示为，．
【类型一：求平方根】
15．4的平方根是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
16．9的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
17．的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【类型二：利用一个数的两个平方根的关系求值】
18．若是16的一个平方根，则x的值为 ．
19．一个正数的两个平方根为和，则这个数为 ．
20．某正数的平方根分别是和，则 ．
21．已知：和是正数的两个平方根，则的值是 ．
22．已知一个正数a的两个平方根分别是和，则（ ）
A．49 B．7 C． D．
【类型三：利用平方根解方程】
23．解方程：．
24．求式中的的值：．
25．已知2（x＋1）2﹣8＝0，求x的值．
知识点三：立方根
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作．其中叫做三次根号，根指数3不能省略．
2.求立方根：求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算．
3.立方根的性质：由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有一个立方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类型一：求立方根】
26．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
27．(-8)2的立方根是
28．计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
29．下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2
C．3 D．没有平方根
30．的立方根与9的平方根之和是　　
A．0 B．6 C．0或 D．或6
31．已知的立方根为，则的算术平方根是( )
A． B． C． D．
32．一个整数的两个平方根是和，则的立方根为( )
A．2 B．8 C． D．
33．一个正数b的平方根为和，则的立方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．
【类型二：利用立方根解方程】
34．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
35．求下列各式中的的值：
(1)
(2)
36．求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：2的算术平方根是
故选C.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
2．D
【分析】利用算术平方根的定义，一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，进行求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是；
故选D．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
3．A
【分析】先计算（﹣9）2＝81，再求解81的算术平方根即可．
【详解】解：∵（﹣9）2＝81，
∴81的算术平方根是9．
故选：A．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握“求解一个非负数的算术平方根的方法”是解本题的关键．
4．A
【分析】根据算术平方根定义解答．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
5．A
【分析】由于，即求4的算术平方根，这很容易结果．
【详解】∵
∴
即的算术平方根是2
故选：A
【点睛】本题考查求一个正数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键，这里还要仔细审题，以免出现选B的错误．
6．D
【分析】先求出36的算术平方根＝6，然后再求6的算术平方根即可．
【详解】解：∵＝6，
6的算术平方根为,
∴的算术平方根为．
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，先将进行化简，然后再求算术平方根是解决此题的一般步骤，注意算术平方根与平方根的区别．
7．A
【分析】根据非负数的性质即可求出x和y的值，再代入3x+2y中求值即可．
【详解】∵，
∴，
解得：．
∴．
故选A．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．
8．
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性可求出a和b的值，再代入中求值即可．
【详解】∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
9．
【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，正确根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键．
10．D
【分析】根据绝对值的非负性、二次根式的非负性、偶数次方的非负性，求出a、b、c的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得：，，，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，绝对值的非负性、二次根式的非负性、偶数次方的非负性，根据题意求出，，，是解题的关键．
11．A
【分析】根据二次根式乘法运算法则解答即可．
【详解】解：=2022．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法运算法则是解答本题的关键．
12．C
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
13．B
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原式计算正确，故本选项符合题意；
C、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
14．##
【分析】根据二次根式的性质，即由此即可求解．
【详解】解：根据二次根式的性质得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式开根的方法是解题的关键．
15．A
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±2 ）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选A．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
16．C
【分析】根据平方根的定义，可得9的平方根．
【详解】∵，
∴9的平方根为±3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键．
17．A
【分析】由 从而可求解的平方根．
【详解】解：的平方根为，
故选A
【点睛】本题考查的是平方根的含义，掌握“求解一个数的平方根”是解本题的关键．
18．3或##或3
【分析】根据平方根的定义，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵是16的一个平方根，
∴，
∴x的值为3或．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是关键．
19．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，进而可得答案．
【详解】解：根据题意得：，解得：，
所以这个数是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，属于基础题目，熟知平方根的定义是解题的关键．
20．
【分析】根据平方根的性质列出关于a的方程，解之求出a的值，从而得出答案．
【详解】解：根据题意，得：，
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的概念．
21．##
【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可求解．
【详解】解：∵和是正数的两个平方根，
∴，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个是正数的平方根有两个，它们互为相反数解题的关键．
22．A
【分析】根据平方根的定义：正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0即可求解．
【详解】解：∵一个正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方根的概念，已知一个数的平方根求这个数，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
23．，．
【分析】直接利用开平方法求解即可．
【详解】解：，
两边直接开平方得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．注意：根据一元二次方程的形式选择适当的方法进行求解是解题关键．
24．或
【分析】根据平方根的定义计算即可．
【详解】解：，
开方，得 或，
解得 或．
【点睛】本题主要考查了平方根的知识，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．
25．1或-3
【分析】根据等式的性质和平方根的意义，将一元二次方程转化为一元一次方程，进而求出答案．
【详解】解：2（x＋1）2﹣8＝0，
移项得，2（x＋1）2＝8，
两边都除以2得，（x＋1）2＝4，
直接开方得，x＋1＝±2，
即x＋1＝2或x＋1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3，
所以x的值为1或﹣3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法，利用直接开平方法是解题关键．
26．A
【分析】依据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴8的立方根是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
27．4
【分析】先进行平方运算，然后再根据立方根的定义进行求解即可.
【详解】∵(-8)2=64，
64的立方根是4，
∴(-8)2的立方根是4，
故答案为4.
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，正确把握立方根的定义是解题的关键.
28．D
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
29．D
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意；
C．3，因此选项C不符合题意；
D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
30．C
【分析】根据立方根和平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：根据立方根和平方根的定义可得：﹣27的立方根为﹣3，9的平方根±3，
∴﹣27的立方根与9的平方根之和为：0或﹣6．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义，掌握立方根和平方根的定义是解题的关键．
31．C
【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：的立方根为，
，
解得，
，
的算术平方根为，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
32．A
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．
【详解】解：∵和是正数a的平方根，
∴，
解得，
将代入，
∴正数，
∴，
∴的立方根为：，
故选：A．
【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．
33．B
【分析】先根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a，进而求得b，然后代入代数式，最后求立方根即可．
【详解】解：∵一个正数b的平方根为和
∴，解得
∴
∴
∴的立方根是3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a成为解答本题的关键．
34．(1)或
(2)
【分析】（1）先移项，再利用平方根求解方程即可；
（2）先移项，再利用立方根求解方程即可；
【详解】（1）解：
或
解得或
（2）解：
【点睛】本题考查了平方根和立方根求解方程，熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的关键．
35．(1)-2；
(2)±3．
【分析】（1）根据立方根定义求解即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查平方根和立方根的定义，根据定义解方程是解题的关键．
36．(1)或；
(2)．
【分析】（1）整理后，根据求一个数的平方根解方程即可；
（2）整理后，根据求一个数的立方根解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即或，
解得或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根据平方根和立方根的意义解方程，掌握求一个数的平方根和立方根是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑