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第2课时—实数
知识点一：无理数
1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数．
2.无理数的三种常见形式：
①开方开不尽的数，如，，…
②无限不循环小数（特定结构的无限不循环小数）如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．
③含有π的式子．
3.无理数的估算：无理数的估算多采用夹逼法进行．例如：估算
估算：∵，
∴
计算
∴
计算
∴
∴或
【类型一：无理数的认识与判断】
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．在，，0，，，，2，，这些数中，无理数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在实数，，，，，，，0.1010010001中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【类型二：无理数——算术平方根，平方根以及立方根的估算】
5．估计的值应在（ ）
A．4 和 5 之间 B．3 和 4 之间 C．2 和 3 之间 D．6 和 7 之间
6．如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若自然数满足，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．的整数部分为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若与的小数部分分别为，则 ．
知识点二：实数
1. 实数的定义：有理数与无理数统称为实数．
2. 实数的分类：
【类型一：实数的认识与分类】
10．把下列各数填入它所属的集合内：
，，0，，2，，（每两个2之间依次增加一个1）．
正数集合：{　　…}；
无理数集合：{　　…}；
分数集合：{　　…}；
非负整数集合：{　　…}．
11．把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，，，．
正数集合：{　 　 　…}；
负数集合：{　 …}；
有理数集合：{　 …}；
无理数集合：{　 …}．
12．实数，，0，，0.15，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．5
知识点三：实数的性质
1. 实数与数轴：同有理数，实数与数轴上的点存在一一对应关系．数轴上左边的实数恒大于数轴左边的实数．
2. 数轴与绝对值：同有理数，数轴上表示实数的点到原点的距离用来表示．正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值仍然等于0．
3. 相反数与倒数：
①只有符号不同的两个实数互为相反数．
②乘积为1的两个实数互为倒数．
4. 实数的大小比较：
①定义比较法：正实数大于0大于负实数．
②数轴比较法：数轴上左边的实数恒小于数轴右边的实数．
③负实数比较：绝对值大的负实数反而小．
【类型一：实数的性质】
13．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
14．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
15．已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，则；③若，且，则；④若，，则；⑤若，则，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
17．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
18．如图所示，数轴上表示2和的对应点分别为C和B，若点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【类型二：实数的大小比较】
19．下列实数：，0，，1，其中最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．1
20．比较实数0，，2，的大小，其中最小的实数为（ ）
A．0 B． C．2 D．
21．比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【类型三：实数的简单运算】
22．计算：．
23．计算：．
24．计算：
(1)；
(2)．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意；
B、是有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是有理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．C
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、属于有理数，则此项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，熟记定义是解题关键．
3．A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在，，0，，，，2，，这些数中，无理数有，
故选A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，理解无理数的定义以及熟记初中阶段无理数的表现形式是解本题的关键．
4．C
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：，
所以无理数有，，，，共4个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
5．A
【分析】依据算术平方根的意义：如果一个正数的平方等于，即那么这个正数叫做的算术平方根，进行比较分析即可得解
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握并理解算术平方根的意义是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再得出的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据，得出的取值范围，可得，即可确定n的值．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴即，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
8．C
【分析】先算出此题结果为，再由进行求解、辨别即可．
【详解】解：，且，
的整数部分为4，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及减法运算，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数的估算是解决本题的关键．
9．1
【分析】先估算出的大小，再用含的式子表示出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得的值是解题的关键．
10．见解析
【分析】根据有理数的分类求解即可．
【详解】解：正数集合：{，2，…}；
无理数集合：{，（每两个2之间依次增加一个1）…}；
分数集合：{，…}；
非负整数集合：{ 0，2…}．
【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．
11．见解析
【分析】
根据实数分类解答即可．
【详解】
解：正数集合：{，，，，，，…}；
负数集合：{，，…}；
有理数集合：{，，，，，…}；
无理数集合：{ ， …}．
【点睛】
本题考查了实数的分类，关键是掌握无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数；有理数和无理数统称实数．
12．A
【分析】根据实数的分类，先求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
实数，，0，，0.15，中，
有理数有：，0，，0.15；无理数有：，；
∴有理数的个数为4，无理数的个数为2，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
13．A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
【详解】解：的绝对值是．
故选：A
【点睛】本题考查了实数的绝对值，“正数的绝对值等于本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数”，熟知求一个实数的绝对值的法则是解题关键．
14．B
【分析】利用相反数的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A、，和不是互为相反数，故选项不符合题意；
B、和互为相反数，故选项符合题意；
C、，和不是互为相反数，故选项不符合题意；
D、，，与不是互为相反数，故选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握相反数的概念是解答本题的关键．
15．A
【分析】分别根据绝对值的性质，相反数的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①，且，互为相反数，
，本小题符合题意；
②，
，本小题不符合题意；
③，，
．
，
，本小题不符合题意；
④，，
，，
，
，本小题不符合题意；
⑤，
．
，
，本小题不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查的是实数，解题的关键是熟知绝对值的性质，相反数的定义．
16．A
【分析】利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，，
∴，，，，
∴选项A正确，选项B、C、D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会利用数轴进行判断．
17．B
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE，
∴AB＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
18．C
【分析】根据已知先求出BC的长，然后利用中点的性质即可解答．
【详解】解：由已知得：，，
C是AB的中点，
，
，
点A表示的数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的中点计算方法，解题的关键是熟练运用中点公式．
19．C
【分析】根据有理数的大小比较规则，即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
∵，
∴最小的数是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握正数负数，负数绝对值大的反而小．
20．B
【分析】利用正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较即可．
【详解】解：∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键．
21．
【分析】利用平方运算比较 与的大小，即可解答．
【详解】解：，， ，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，不等式的基本性质，掌握二次根式的大小比较的基本方法是解题的关键.
22．
【分析】先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合计算，正确计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值是解答本题的关键．
23．
【分析】先计算立方根、算术平方根和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确计算立方根、算术平方根和绝对值是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、平方根、乘方运算，掌握实数的运算顺序是关键．
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