资源简介

第3课时——二次根式的加减运算
知识点一：同类二次根式：
1. 同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为 最简二次根式 后，如果它们的被开方数 相同 ，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2. 合并同类二次根式的方法：
只合并 根式外 的因式，即 系数 相加减， 被开方数 和 根指数， 即
【类型一：同类二次根式的判断】
1．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中,与属同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．二次根式①，②，③，④中，与是同类二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【类型一：根据同类二次根式的定义求值】
5．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　）
A． B． C．或 D．不存在
6．若最简二次根式与是同类二次根式，则m = ．
7．最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
8．若最简二次根式3与5可以合并，则m＝ ．
9．若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a、b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
知识点二：二次根式的加减运算：
1. 运算法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数相同的二次根式进行合并．
2. 具体步骤：
①若式子有括号，按照去括号的方法去括号．
②对二次根式进行化简．
③合并同类二次根式．
【类型一：二次根式的加减运算】
10．计算的结果是（　　）
A． B．﹣1 C． D．
11．计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．计算：
13．计算：
14．计算下列各题；
(1)
(2)
知识点三：二次根式的混合运算：
1. 二次根式的混合运算法则：
同有理数的混合运算法则相同，先去 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号
【类型一：二次根式的混合运算】
15．计算：
(1)；
(2)．
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)
(2)
【类型二：结合乘法算式对二次根式化简求值】
19．已知，．求∶
(1)的值；
(2)的值．
20．已知，，求下列代数式的值：
(1)
(2)
21．已知．求下列各式的值．
(1)；
(2)．
22．已知x＝，y＝，求x2＋y2＋2 016的值．
23．已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【类型三：二次根式的实际应用】
24．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
25．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
26．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，， 所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
27．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A． B．
C． D．或
28．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
(2)求阴影部分的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．，与是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．，与是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝﹣5，与是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝4，与不是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查二次根式的化简，同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题的关键．
2．D
【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】A．化简后不能与合并，不合题意；
B．化简后不能与合并，不合题意；
C．化简后不能与合并，不合题意；
D．化简后能与合并，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键．
3．D
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．
【详解】A.=3，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项错误；
B、=与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项错误；
C、=3|b|，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项错误；
D、=3|b|，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
4．C
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴①③④与是同类二次根式，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
5．A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
6．3
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再解出m即可．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．
7．
【分析】根据最简二次根式定义、同类二次根式定义可得，且，解出，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，解得，
．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及最简二次根式定义、同类二次根式定义、解二元一次方程组等知识，熟记最简二次根式定义、同类二次根式定义，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键．
8．4
【分析】根据同类二次根式定义可得2m+5=4m-3，再解即可．
【详解】解：由题意得：2m+5=4m-3，
解得：m=4，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式．
9．A
【分析】根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可．
【详解】解：∵与是同类二次根式，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键．
10．D
【分析】根据二次根式的减法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的减法，正确计算是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接合并同类二次根式；
（2）根据二次根式加减法运算法则，先化成最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（3）先化成最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（4）先逆用二次根式的乘法法则将二次根式化简为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和二次根式加减运算法则，准确计算．
12．
【分析】先将二次根式化简，然后合并同类项即可．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
13．0
【分析】根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键．
15．(1)
(2)1
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可；
（2）先根据二次根式的乘法进行计算，再算减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案；
（3）直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方差公式和零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则运算，再根据绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先进行化简，去括号，再算加减即可；
（2）先算括号内的，同时计算除法，再算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）先根据完全平方公式计算x，y，再代入计算，用平方差公式和积的乘方公式计算即可；
（2）先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
又∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴的值为195．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，积的乘方．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；
（2）利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）∵，，
∴
（2）∵，，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
21．(1)5
(2)
【分析】（1）先计算的值，继而根据完全平方公式变形即可求解；
（2）先计算的值，根据分式的减法进行计算，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
；
（2）∵
∴
∴
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式变形求值，平方差公式，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
22．2114
【详解】试题分析：先把x、y进行分母有理化再代入求值.
解：∵x＝＝＝5＋2，
x＝＝＝5－2，
∴x2＋y2＋2 016＝2＋2＋2 016＝2114.
23．(1)
(2)4
【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可；
（2）先根据完全平方公式的变形求出，再由进行求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴
；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键．
24．B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
25．D
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
26．B
【分析】根据题意，直接代入确定，然后代入面积计算公式即可．
【详解】解：∵，，，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】题目主要考查求代数式的值，理解题意是解题关键．
27．A
【分析】先根据三角形的三边关系判断第三条边的长度，然后再求周长．
【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，，，这不满足三角形的三边关系；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为．
综上可知，三角形的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论和三角形三边关系，通过二次根式的比较确定第三边的长度，再求周长．
28．(1)正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4
(2)阴影部分的面积为12
【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；
（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，
∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．
（2）阴影部分的面积为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑