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第1课时——勾股定理
知识点一：勾股定理
勾股定理的内容：
在直角三角形中，　 　．
如图，在Rt中，∠C＝90°，，，所对的边分别是，，，则有 ．
注意：直角三角形是勾股定理的前提条件．
变形： ； ； ．
【类型一：勾股定理求线段长度】
1．直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）
A．8 B．10 C．8或 D．10或
2．如图，在中，，，，则点到直线的距离是（ ）

A． B．3 C． D．2
3．如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
4．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的三边，过内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且，则的长是（　　）
A．18 B． C．19 D．17
【类型二：勾股定理求面积】
6．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（ ）
A．7 B．5 C．25 D．1
7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　）
A．25 B．175 C．600 D．625
9．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
10．李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如右图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ．
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为 ．
【类型三：利用勾股定理表示数轴上的点】
12．如图，将面积为的正方形放在数轴上，以表示实数的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
13．如图所示，在长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为 ．
14．如图，O点为数轴原点，A点对应的数是3，，连接AB，，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为 ．
15．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为 ．
知识点二：勾股定理的证明：
勾股定理的证明均是用等面积法进行转化．利用不同的方法表示同一图形的面积进行转化．
如图①：由边长为a，b，c的4个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： ．
用各部分面积之和表示面积： ．
整理可得：．
如图②：由边长为a，b，c的4个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： ．
用各部分面积之和表示面积： ．
整理可得：．
如图③：由边长为a，b，c的2个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： ．
用各部分面积之和表示面积： ．
整理可得：．
【类型一：勾股定理的证明】
16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
17．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如下图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为．右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式正确的是（　　）

A． B． C． D．
18．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为 ．
19．如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
20．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
21．如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的值是（　　）
A．32 B．80 C．38 D．48
知识点三：利用勾股定理计算特殊直角三角形三边的比值：
含30°的直角三角形三边的比值：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 ．令30°角所对直角边为
，则斜边为 ，由勾股定理可知，另一直角边为 ．所以含30°直角三角形三边的比为 （从小到大比）．
等腰直角三角形三边的比值：
在等腰直角三角形中，若令直角边为，根据勾股定理斜边为 ．
所以直角三角形三边的比值为 （从小到大比）．
【类型一：特殊直角三角形三边比值的应用】
22．如图，中，是角平分线，若，则线段的长（　　）
A．1 B．2 C． D．3
23．如图，在中，，，平分，，P是边上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
24．如图，在四边形中，，则的长为 ．
25．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
26．将一副直角三角板如图放置，已知，，，点D在线段的延长线上，点F在边上，于点D，若直角边，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
知识点四：利用勾股定理计算平面直角坐标系中两点间的距离：
若在平面直角坐标系中有和两个点．则A，B两点间的距离公式用勾股定理表示为 ．
表示两点间的水平距离；
表示两点间的竖直距离；
注意两个减法式子里面的对应关系．若要换成，则后面必须换成．
【类型一：利用勾股定理求两点间的距离】
27．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
28．平面直角坐标系内，点到原点的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
29．已知平面直角坐标系中，点到坐标原点距离为5，则的值为 ．
30．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，若点N的坐标为，则点N到坐标原点O的距离的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】分别以10为直角边、10为斜边两种情况按勾股定理解答即可．
【详解】解：当10为直角边时，斜边=；
当10为斜边时，另-条直角边= =8．
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和分类讨论思想是解答本题的关键．
2．C
【分析】作于点，根据勾股定理可以求得的长，然后根据三角形的面积为定值即可求出点到直线的距离．
【详解】解：作于点，如图所示，
，，，
，
，
，
解得，
故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是明确三角形的面积为定值，点到直线之间垂线段最短．
3．A
【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，即．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．
4．C
【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
【详解】解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1．
△BCE的面积是：1×1．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC．
设AC边上的高线长是x．则AC xx，
解得：x．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键．
5．A
【分析】连接，设，则，，利用勾股定理分别列出三个方程，化简可得，从而得出，进而得出答案．
【详解】解：连接，
设，
则，，
由勾股定理得，
①，
同理得，②，
③，
①+②+③得，
，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线建立直角三角形，得到勾股定理的等式是解题的关键．
6．A
【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵正方体A的面积为3，正方体B的面积为4，
∴正方体C的面积=3+4=7，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，是解答此题的关键．
7．A
【分析】根据勾股定理的几何意义，可知，，然后代入数值求解即可．
【详解】解：如下图，
由题意：，，
∴，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的几何意义，理解直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
8．D
【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：在中，，由勾股定理得，，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键在于熟练掌握勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，则有．
9．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据勾股定理可得，最后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】在Rt△ABD中，
∴
∴
同理，
在Rt△ABC中，
∴
故答案为：B．
【点睛】本题考查了阴影部分的面积问题，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
10．24
【分析】直接根据勾股定理求出的长，再根据=以为直径的扇形的面积+以为直径的扇形面积-以为直径的扇形面积+的面积即可得出结论．
【详解】解：在Rt中，，，，
．
．
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
11．256
【分析】
根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．
【详解】
解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B的面积和等于正方形M的面积．
正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．
并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此的面积之和是为最大正方形的面积 ，
故答案为：256．
【点睛】
本题考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．C
【分析】由正方形的面积可得的长，再根据数轴上点的特征可得答案．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴，
∴，
∵点表示的数是，点在点的左边，
∴点表示的数是，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，数轴上点的坐标特征，掌握正方形的性质是解题的关键．
13．##
【分析】根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点，能求出是解题的关键．
14．
【分析】先由OC⊥OB，则利用勾股定理可计算出OB，然后利用画法可得到OB=OC，于是可确定点C对应的数．
【详解】∵AB=4，OA=3，
又OA⊥OB，
在Rt△OBA中，
OB= ，
∴以O为圆心， OB长为半径画弧交数轴于点C，
∴ OB= OC=，
点C对应的数为，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，也考查了数轴上的点表示的数．
15．
【分析】根据勾股定理，计算得；根据圆的对称性和数轴的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵Rt△ABC的直角边AB在数轴上
∴
∴
∵以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D
∴
∴点D表示的实数为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、数轴、圆的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
16．D
【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴ ，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．
17．B
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【详解】解：观察图形可知：S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
18．2
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为16，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵大正方形的面积为16，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．B
【分析】如图2，由题意可设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决．
【详解】解：设图2中，则，

∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
20．A
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【详解】解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2＋y2＝AB2＝49，故本选项正确；
②由图可知，x y=CE==2，故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy＋4＝49，即2xy＋4＝49；
故本选项正确；
④由2xy＋4＝49可得2xy＝45①，
又∵x2＋y2＝49②，
∴①＋②得，x2＋2xy＋y2＝49＋45，
整理得，（x＋y）2＝94，
x＋y＝≠9，故本选项错误．
∴正确结论有①②③．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
21．D
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，，求出的值即可．
【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键．
22．B
【分析】首先根据直角三角形的性质推出的度数，然后由角平分线的性质求出，最后根据特殊角的三角函数值即可求出的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质以及含30度角的直角三角形．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23．B
【分析】根据角平分线的性质可得点H，P之间的最小距离为点H到的垂线段的长，根据含角直角三角形的性质可得的长，由此可得答案．
【详解】解：过点H作，即的长即可为H，P之间的最小距离，
在中，，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，即H，P之间的最小距离为3．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，点到直线的距离，以及含角直角三角形的性质等，能够熟练运用角平分线的性质，以及含角直角三角形的性质是解题关键．
24．4
【分析】延长交于点E，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键．
25．A
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
26．B
【分析】过点F作于点H，根据三角形内角和定理可得，，进一步可知是等腰直角三角形，根据勾股定理，求出，设，在中，根据勾股定理，求出的长，进一步可得的长．
【详解】解：过点F作于点H，如图所示：
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
根据勾股定理，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得，负值舍去，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，根据勾股定理求出，．
27．C
【分析】根据勾股定理列出算式计算即可求解．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点的坐标为，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
28．B
【分析】根据勾股定理可求点P到原点的距离．
【详解】点到原点的距离是．
故选：B．
【点睛】考查了勾股定理，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握勾股定理．
29．5或 1
【分析】在平面直角坐标系中，利用勾股定理得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：由勾股定理可得：
两边平方得：
移项：
∴
解得：或
故答案为；5或 1
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，涉及了一元二次方程的求解，根据题意列出关于m的方程是解题的关键．
30．C
【分析】先根据点M在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，求得，的值，再根据两点间的距离公式即可求解．
【详解】解：∵点在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，
∴，
解得：，
∴点N的坐标为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标，两点间的距离公式，解题的关键是正确得出，的值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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