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第2课时——勾股定理逆定理
知识点一：勾股定理逆定理：
勾股定理逆定理内容：
在△ABC中，如果三角形的三边分别是a，b，c且满足a2+b2=c2，则该三角形一定是有一个直角三角形．
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形．
判断三角形为直角三角形的其他方法：
①三角形中有一个角是90°．
②三角形中有两个角之和为90°．
【类型一：判定直角三角形】
1．在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在边长为1的正方形方格中，，，，均为格点，构成图中三条线段，，．现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
3．下列线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
5．如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【类型二：勾股定理逆定理的应用】
6．如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ．
7．如图，已知．求图中阴影部分的面积．
8．如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，．
(1)求线段的长；
(2)求证：．
9．如图，．请你连结．
(1)求线段的长；
(2)求四边形的面积
知识点二：勾股数：
勾股数的定义：
满足勾股定理：即的三个正整数称为勾股数．
注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数．
勾股数的类型：
基本勾股数：3，4，5
①倍数型勾股数：
②奇数规律：满足的三个正整数．（为奇数）
③偶数规律：满足的三个正整数．（为偶数）
【类型一：判断一组数是否为勾股数】
10．下列各组数中，是勾股数的（ ）
A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，41
11．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．1，， B．，， C．，， D．，，
12．下列四组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13
C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5
13．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
【类型二：根据勾股数求值】
14．若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）
A． B．13 C．或13 D．14
15．若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
16．下列各数中，可以和3，5组成勾股数的是（ ）
A．3 B．4 C． D．4或
【类型三：勾股数的证明】
17．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，那么a，b，c为勾股数，你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
18．若m、n为整数，且，，，．请你证明a、b、c为勾股数．
19．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
20．定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5是一组“勾股数”．
(1)判断8，15，17是不是一组“勾股数”，并说明理由；
(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
知识点三：勾股定理的实际应用：
在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【类型一：实际应用题】
21．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（　　）
A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米
22．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A．2m B． C． D．
23．某中学的师生们要测量某段渠水的深度，他们在离岸边的位置把一根竹竿插到水底，竹竿高出水面，然后把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，如图，则渠水的深度与竹竿的长度分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
24．如图，某火车站内部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处．
(1)该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
(2)如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
25．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路线（即与是否垂直）？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】A、由得到：
，∴，
故能判定是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
又∵，则，
故不能判定是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，
∴，
故能判定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、由，
∴，
∴，
能判定是直角三角形，故本选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．B
【分析】根据勾股定理分别求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解；由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3．D
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4．D
【分析】根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形，根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．
【详解】解：b2﹣c2＝a2
则b2＝a2+c2
△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
a2+b2＝c2，
△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
∠C＝∠A﹣∠B，
则∠A＝∠B+∠C，
∠A＝90°，
△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
∠A：∠B：∠C＝9：12：15，
设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，
则9x+12x+15x＝180°，
解得，x＝5°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，
△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用以及三角形内角和定理，正确利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义是解题的关键．
5．C
【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则，
∵三条边长同时扩大5倍为，
∴，，
∴，
∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．
【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键．
7．
【分析】在中，利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再用两个三角形面积作差即可.
【详解】在中，，
根据勾股定理，，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴.
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的使用，需要熟练掌握此定理.
8．(1)
(2)见解析
【分析】（1）设，，根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出的长；
（2）先在和中，利用勾股定理分别求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴
即的长为；
（2）证明：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理并灵活运用是解答的关键．
9．(1)5
(2)24
【分析】（1）根据勾股定理得出即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，直角三角形面积计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．
10．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】A．，故不是勾股数；
B．，故不是勾股数；
C．存在小数，故不是勾股数；
D．，故是勾股数；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
11．B
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】A.，但不是正整数，不符合题意；
B.，能构成直角三角形，符合题意；
C.，不能构成直角三角形，不符合题意；
D.三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足，则△ABC是直角三角形．
12．D
【分析】勾股数必须都是正整数，同时还满足较小的两数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
D、，但是三边不是整数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数需要满足的条件：①三个数必须是正整数，②满足勾股定理．
13．C
【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵或或
∴7不是广义勾股数，即①正确；
∵
∴13是广义勾股数，即②正确；
∵，，不是广义勾股数
∴③错误；
设
则
当ad=bc或ac=bd时,两个广义勾股数的积不—定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误；
故①②正确
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解．
14．B
【分析】分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①a为最长边，a=，三边是整数，能构成勾股数，符合题意；
②12为最长边，a=，不是正整数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
15．B
【分析】根据勾股数可进行求解．
【详解】解：由题意得：；
故选B
【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．
16．B
【分析】勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】A．32+32≠52，故不是勾股数，故选项A不符合题意；
B．32+42=52，故是勾股数，故选项B符合题意；
C．勾股数是正整数，而不是正整数，故选项C不符合题意；
D．勾股数是正整数，而不是正整数，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：①作为勾股数的三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
17．对，4，3，5；6，8，10；8，15，17．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：对，理由如下：
因为，
所以a，b，c为勾股数．
用等大于1的整数代入，得4，3，5；6，8，10；8，15，17；等等．
【点睛】此题考查勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
18．见解析
【分析】先证明a、b、c均为正整数，再证明，可得结论．
【详解】证明：、n为整数，且，，，，
、b、c均为正整数，
又，
，
∴a、b、c为勾股数．
【点睛】本题考查了利用勾股定理求三角形三边的关系，完全平方公式的应用，熟练掌握和运用利用勾股定理求三角形三边的关系是解决本题的关键．
19．（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律： 第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．
【分析】（1）先找出勾股数组中间数的规律，然后观察数组中两端数组相差2，利用方程求出第一个数，可得第六组勾股数为（48，14，50）
（2）先找出勾股数中中间数的规律，然后利用方程求出勾股数中的一个数与第三个数规律：第n组勾股数为第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；(n2-1)2+(2n)2= n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，可得 (n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
【详解】（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，
两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2
则（x+2）2-x2=142,
解得x=48
∴第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）
设第一个数为 x，第三个数为x+2
则，
解得，
第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；
证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
(n2+1)2=n4+2n2+1，
∴(n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
【点睛】本题考查勾股数，方程，平方差公式，关键在于找出式子变化的规律．
20．(1)8，15，17是一组“勾股数” ，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要验证两个较小边的平方和是否等于最大边的平方即可；
（2）只需要证明即可．
【详解】（1）解：8，15，17是一组“勾股数”．
∵，
∴8，15，17是一组“勾股数”；
（2）解：∵，
∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形，即x，y，z为勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股数问题，整式的混合计算，正确理解勾股数的定义是解题的关键．
21．A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，
中
（米）
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
22．D
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长．
【详解】解：在中，
，
∴，
在中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
23．B
【分析】由测量过程可知，的长度比的长度多，中为斜边，．
【详解】解：由题意可知．
设，则．
是直角三角形，
，
解得：，
此时，．
故渠水的深度为，竹竿的长度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意，正确表示各边长．
24．(1)该火车站墙面破损处距离地面的高度为
(2)梯子底部需要向墙角方向移动
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，则；
（2）设是梯子移动后的位置，利用勾股定理求出，则．
【详解】（1）解：根据题意，得在中，，，
由勾股定理，得．
∵，
∴．
答：该火车站墙面破损处距离地面的高度为．
（2）解：如图，此时是梯子移动后的位置．
∵在中，，．
∴由勾股定理，得．
∴．
答：梯子底部需要向墙角方向移动．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，即直角三角形两角直角边长平方的和等于斜边长的平方．
25．(1)是；理由见解析
(2)原来的路线AC的长为5千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：是；理由如下：
在中，
，
，
，
∴是直角三角形，
∴，
，
是从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为5千米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
答案第1页，共2页
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